Wahrscheinlichkeitstheorie - Abteilung für Mathematische Stochastik

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Satz 4.13: Sei µ σ-endlicher, σ-additiver Inhalt auf R und µ ∗ das äußere
Maß zu µ. Dann gilt B ∈ A ∗ genau dann, wenn es ein A ∈ R σδ und eine
Menge N mit µ ∗ (N) = 0 gibt, sodass B = A\N gilt.
Beweis: Für A ∈ R σδ gilt, dass A ∈ σ(R) ⊂ A ∗ . Außerdem ist N mit
µ ∗ (N) = 0 in A ∗ . Damit folgt A\N = A∩N c ∈ A ∗ .
Umgekehrt sei B ∈ A ∗ . Seien Ω i , i ≥ 1 disjunkt mit Ω i ∈ R und µ(Ω i ) < ∞
⋃
sowie Ω = ∞ Ω i . Seien B i = B ∩Ω i . Seien A n i ∈ R σ mit A n i ⊃ B i und
i=1
Seien A n = ⋃
A n i
i≥1
µ ∗ (A n i) ≤ µ ∗ (B i )+(n2 i ) −1 .
⇒ B ⊂ A n und A n \B ⊂ ⋃ (A n i \B i)
Dann folgt µ ∗ (A n \B) ≤
i≥1µ ∑ ∗ (A n i \B i) ≤ 1.
n
Da A n ∈ R σ , folgt A = ⋂ A n ∈ R σδ ⇒ A ⊃ B.
n≥1
Aber N := A\B ⊂ A n \B für alle n ≥ 1.
⇒ µ ∗ (N) ≤ limµ ∗ (A n \B) = 0
□
n
Bemerkung: Nach Satz 4.6 enthält A ∗ alle µ ∗ -Nullmengen. Damit ist der
Maßraum (Ω,A ∗ ,µ ∗ ) vollständig in folgendem Sinn:
Ein Maßraum (Ω,A,µ) heißt vollständig, wenn jede Teilmenge einer µ-
Nullmenge zu A gehört.
Lebesgue-Stieltjes-Maße
Wir wissen bereits aus Kapitel 3, dass σ-additive Inhalte und monotone,
rechtsstetige Funktionen von R nach R in eineindeutiger Beziehung zueinander
stehen.
Sprechweise: Eine monotone, rechtsstetige Funktion von R nach R heißt
maßerzeugend.
Satz 4.14: Sei G maßerzeugend. Dann gibt es genau ein σ-endliches Maß
µ auf (R,B), für das
(∗) µ((a,b]) = G(b)−G(a) für a < b und a,b ∈ R gilt.
B bezeichne die Borelsche σ-Algebra auf R.
Beweis: Zu G maßerzeugend definiere µ((a,b]) = G(b)−G(a).
i≥1