Wahrscheinlichkeitstheorie - Abteilung für Mathematische Stochastik

Zu 1)
{
{
sup
n
}
f n ≤ α
inf
n f n < α
= ⋂ {f n ≤ α} ∈ A
} n≥1
= ⋃ {f n < α} ∈ A
n≥1
limf n = inf sup f k ist meßbar. Entsprechendes gilt für limf n .
n n n
k≥n
Zu 2) Seien f und g numerisch. Dann ist {ω|f (ω) = g(ω)} ∈ A.
Denn: {ω|f (ω) < g(ω)} = ⋃ {ω|f (ω) < r,g(ω) ≥ r}
r∈Q
Die rechte Seite liegt aber in A und damit
{f ≠ g} = {f < g}∪{f > g} ∈ A
sowie {f = g} = {f ≠ g} c ∈ A.
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Zu 3)
Nun
{
ist wegen 1)
} {
}
∣
∣
ω∣limf n (ω) existiert = ω∣limf n = limf n auch in A.
{
n
} n n
} { }
∣
ω∣limf n (ω) = f (ω) =
{limf n = limf n ∩ limf n = f
n n n n
Nun kommen wir zu einer wesentlichen Teilklasse von meßbaren Funktionen.
Definition 5.11: Eine A-meßbare Funktion f heißt einfach, falls
∑
f (ω) = k α i 1 Ai (ω) mit α i ∈ R und A i ∈ A mit A i ∩A j = ∅ für i ≠ j
mit ⋃ i
i=1
A i = Ω.
Satz 5.12: Zu jeder A-meßbaren Funktion f gibt es eine Folge f 1 ,f 2 ,...
von einfachen Funktionen mit |f n | ≤ |f| und f n (ω) → f (ω) für alle ω ∈ Ω
und n → ∞.
Wenn f ≥ 0 ist, so gilt f n (ω) ր f (ω) für n → ∞ und alle ω ∈ Ω.
Ist f beschränkt, so gilt sup|f n (ω)−f (ω)| → 0.
n
Beweis: