Wahrscheinlichkeitstheorie - Abteilung für Mathematische Stochastik

Kapitel 4
Fortsetzung von Maßen
µ sei ein σ-additiver Inhalt auf einem Ring R.
Wie konstruiert man ein Maß ˜µ auf σ(R), so dass ˜µ| R = µ ist?
Dabei ist σ(R) die von R erzeugte σ-Algebra.
Zunächst definiert man, ausgehend von µ auf R, ein äußeres Maß.
Definition 4.1: Ein äußeres Maß µ ∗ ist eine Abbildung
µ ∗ : P(Ω) → [0,∞] mit den Eigenschaften
a) µ ∗ (∅) = 0
b) A ⊂ B ⊂ Ω ⇒ µ ∗ (A) ≤ µ ∗ (B)
c) A n , n ≥ 1, A n ⊂ Ω ⇒ µ ∗ ( ∞ ⋃
n=1
)
∑
A n ≤ ∞ µ ∗ (A n )
Bemerkung: Aus b) und c) folgt die zu diesen äquivalente Bedingung:
Gilt A ⊂
∞⋃
A i , so ist µ ∗ (A) ≤
i=1
n=1
∞∑
µ ∗ (A i ).
1. Schritt: Wir definieren zu µ { auf R ein äußeres Maß wie folgt:
∑ ∞ }
Für A ⊂ Ω sei µ ∗ ∣ ⋃
(A) := inf µ(E i ) ∣E i ∈ R, A ⊂ ∞ E i
i=1
i=1
oder = ∞, falls das Infimum von ∅ gebildet wird.
Wir werden zeigen: µ ∗ | R = µ.
2. Schritt:Wirdefiniereneineσ-AlgebraA ∗ ⊂ P(Ω),aufderdieEinschränkung
von µ ∗ σ-additiv ist!
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i=1