Wahrscheinlichkeitstheorie - Abteilung für Mathematische Stochastik

Lemma 4.4: Die Einschränkung des äußeren Maßes µ ∗ auf R stimmt mit
µ überein.
Beweis: Es gilt µ ∗ (A) ≤ µ(A), denn A überdeckt sich selbst und wird
damit bei der Infimumsbildung berücksichtigt.
Zum Beweis der umgekehrten Ungleichung seien E i ∈ R mit A ⊂ ∞ ⋃
i=1
21
E i , mit
∑
A ∈ R.NachSatz3.5,Teil2giltµ(A) ≤ ∞ µ(E i )unddamitµ(A) ≤ µ ∗ (A).
Satz 4.5: Sei A ∗ das System der µ ∗ -Zerleger. Dann ist A ∗ σ-Algebra.
Auf A ∗ ist dann µ ∗ ein Maß. Außerdem enthält A ∗ alle µ ∗ -Nullmengen,
das sind Mengen A mit µ ∗ (A) = 0.
Beweis:
1) Zeige: A ∗ ist σ-Algebra.
a) Ω ∈ A ∗ , da für M ⊂ Ω gilt µ ∗ (M ∩Ω)+µ ∗ (M \Ω) = µ ∗ (M)
b) A c ∈ A ∗ , falls A ∈ A ∗ , denn die Aussage ist symmetrisch in A und
i=1
A c : µ ∗ (M ∩A c )+µ ∗ (M ∩A) ≤ µ ∗ (M)
c) A,B ∈ A ∗ , dann ist A ∪ B ∈ A ∗ . Sei wieder M ⊂ Ω. Wegen
Monotonie und Subadditivität folgt
µ ∗ (M ∩(A∪B))+µ ∗ (M \(A∪B))
Damit ist A ∗ Algebra.
≤ µ ∗ (M ∩A)+µ ∗ ((M \A)∩B)+µ ∗ ((M \A)\B)
≤ µ ∗ (M ∩A)+µ ∗ (M \A), da B ∈ A ∗
≤ µ ∗ (M), da A ∈ A ∗ .