Wahrscheinlichkeitstheorie - Abteilung für Mathematische Stochastik

Kapitel 5
Meßbare Abbildungen und
Funktionen
Dieses Kapitel behandelt meßbare Funktionen. Diese hängen eng mit den
später einzuführenden Zufallsvariablen und deren Verteilungen zusammen.
UmaufallgemeineGrundräumeΩdieseGrößensinnvolldefinierenzukönnen,
bedarf es der Meßbarkeitseigenschaft.
(Ω,A) heißt meßbarer Raum oder Meßraum, falls A σ-Algebra über
Ω ist.
Definition 5.1: Seien (Ω,A) und (Ω ′ ,A ′ ) meßbare Räume. Eine Abbildung
f : Ω → Ω ′ heißt (A,A ′ )-meßbar, wenn f −1 (A ′ ) ∈ A ist für alle A ′ ∈ A ′ .
Zur Nachprüfung der Meßbarkeit kann man sich auf Erzeugendensysteme
von A ′ beschränken.
Satz 5.2: Ist E ′ ein Erzeugendensystem von A ′ , so ist f genau dann meßbar,
wenn f −1 (E ′ ) ∈ A für alle E ′ ∈ E ′ ist.
Beweis:Seià := {A ′ ⊂ Ω ′ |f −1 (A ′ ) ∈ A}.à isteine σ-AlgebramitE ′ ⊂ Ã.
Da A ′ = σ(E ′ ) ist, folgt A ′ ⊂ Ã; und damit f−1 (A ′ ) ∈ A für A ′ ∈ A ′ .
Beispiel: B n bezeichne die Borelsche σ-Algebra über R n . Jede stetige Abbildung
f : R k → R m ist ( B k ,B m) -meßbar. Denn wegen der Stetigkeit von
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