Wahrscheinlichkeitstheorie - Abteilung für Mathematische Stochastik

Kapitel 3
Additive und σ-additive
Mengenfunktionen
C sei ein System von Teilmengen von Ω mit ∅ ∈ C.
Definition 3.1:
a) Eine Mengenfunktion µ : C → [0,∞] heißt endlich-additiv, falls
gilt: i) µ(∅) = 0
( n
)
⋃ ∑
ii) µ A i = n µ(A i ) fürpaarweisedisjunkte A i ∈ C
i=1 i=1
⋃
für i = 1,...,n und n A i ∈ C.
b) Eine Mengenfunktion µ : C → [0,∞] heißt σ-additiv, falls gilt:
i=1
i) µ(∅)
(
= 0
∞
)
⋃ ∑
ii) µ A i = ∞ µ(A i ) für paarweise disjunkte A i ∈ C für
i=1 i=1
⋃
i = 1,...,n und ∞ A i ∈ C.
i=1
⋃
Bemerkung: Die Annahmen n A i ∈ C bzw.
i=1
∞⋃
A i ∈ C sind nötig, damit
µ auf diesen Mengen definiert ist. Ist S z.B. ein Semiring, so sind Vereinigungen
nicht notwendig in S.
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i=1