Wahrscheinlichkeitstheorie - Abteilung für Mathematische Stochastik

Bilde nun die Differenz mit (a n ,b n ] auf beiden Seiten. Dann folgt
(a,a n ] ⊂ n−1 ⋃
(a k ,b k ] und nach Induktionsvoraussetzung ist
k=1
∑n−1
G(a n )−G(a) ≤ (G(b k )−G(a k ))
und weiter
G(b)−G(a) ≤ G(a n )−G(a)+G(b n )−G(a n )
n∑
≤ (G(b k )−G(a k )).
k=1
k=1
⋃
Sei nun (a,b] ⊂ n (a k ,b k ]. Sei ε > 0. Wegen der Rechtsstetigkeit von G
k=1
gibt es δ k > 0, so daß G(b k + δ k ) < G(b k ) + ε gibt und ein δ > 0 mit
2 k
G(a+δ) ≤ G(a)+ε. Das kompakte Intervall [a+δ,b]wir überdeckt durch
n⋃
n⋃
(a k ,b k +δ k ) ⊂ (a k ,b k +δ k ]
k=1 k=1
Es folgt
G(b)−G(a)−ε ≤ G(b)−G(a+δ)
n∑
≤ (G(b k +δ k )−G(a k ))
≤
≤
Da ε beliebig ist, folgt
k=1
n∑ (G(b k )−G(a k )+ ε )
2 k
k=1
∞∑
(G(b k )−G(a k ))+ε.
k=1
17
G(b)−G(a) ≤
∞∑
(G(b k )−G(a k )).
k=1
□
Sei S = {(a,b] |a,b ∈ R} mit der Konvention (a,b] = ∅, falls a ≥ b. S