Wahrscheinlichkeitstheorie - Abteilung fÃ¼r Mathematische Stochastik

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4 KAPITEL 1. DER SATZ VON BOREL = e −λnε ∑ k≥n( 1 2 +ε) ( n k = e −λnε ( 1 2 eλ 2 + 1 2 e−λ 2 = e −λnε e λ2 4 ) ( ) k ( n−k 1 1 2 eλ 2 2) 2 e−λ wegen der Binomischen Formel und der Reihendarstellung der e-Funktion. Man erhält dann ∑ k≥n( 1 2 +ε) ( n k ) n ) n )2 −n ≤ e (e −λnε λ2 λ 4 = e 2 n 4 −λnε . Da diese Abschätzung für alle λ > 0 gilt, suchen wir dasjenige λ 0 > 0, für das die rechte Seite minimal wird. Dies ist für λ 0 = 2ε der Fall. Einsetzen liefert die rechte Seite von Lemma 1.3. Nun zum Beweis von Satz 1.2: Wählen wir ε = n −1 4 in Lemma 1.3, so erhalten wir ({ P ω ∣∣ 1 n { ∣ Sei A n = ω∣ n∑ d i (ω)− 1 }) ∣ ∣≥ n −1 4 ≤ 2 ∑ 2 i=1 ∣ 1 n i=1 n∑ d i (ω)− 1 ∣ 2∣≥ n −1 4 } . Dann gilt ∑ P (A n ) ≤ 2 ∑ n≥1 n≥1e −√n < ∞. Nun ist andererseits M c ⊂ ∞ ⋃ Deswegen ist ∞∑ n=m genug gewählt ist. n=m k≥ n 2 +n3 4 A n für alle m ∈ N. ( n k) 2 −n ≤ 2e −√n . P (A n ) < ε zu jedem vorgegebenen ε > 0, sofern m groß Es bleibt zu zeigen, dass die Mengen A n disjunkte Vereinigungen von Intervallen sind. Dazu überlegt man, dass sich n ( ) ∑ di (ω)− 1 2 schreiben lässt i=1 □
als j=1 l∑ c j 1 (xj−1 ,x j ] mit Koeffizienten c j , so dass 2c j ∈ Z gilt und Zerlegungspunkten x k = k 2 n , k ∈ N. Dann folgt unmittelbar, dass die Menge A n endliche Vereinigung von disjunkten Intervallen ist. 5
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