Wahrscheinlichkeitstheorie - Abteilung fÃ¼r Mathematische Stochastik

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40 KAPITEL 5. MESSBARE ABBILDUNGEN UND FUNKTIONEN 1) Sei zunächst f ≥ 0. Sei f n (ω) = n·2n ∑ k=1 k−1 2 n 1 { k−1 2 n ≤f< k 2 n}(ω)+n·1 {f≥n}. f n ist einfach und f n ≤ f, da f n = k−1 2 n auf { k−1 2 n ≤ f < k 2 n } und f n ր f. 2) Sei nun f beliebig. Seien f + = max(f,0) und f − = max(−f,0) = −min(f,0). Dann sind f + und f − meßbar, f + ≥ 0, f − ≥ 0 und f = f + −f − . Nun wende man 1) auf f + und f − an. Dann gibt es h n → f + und g n → f − und mit h n −g n → f + −f − . Nun gilt weiter ∣ ( f + −f −) −(h n −g n ) ∣ ∣ ≤ ∣ ∣f + −h n ∣ ∣+ ∣ ∣f − −g n ∣ ∣. Ist f beschränkt durch N, so gilt |f + −h n | ≤ 2 −n für alle n > N und |f − −g n | ≤ 2 −n ebenso, woraus die letzte Behauptung folgt. Sei T eine meßbare Funktion auf (Ω,A). Sei A T die von T erzeugte σ- Algebra.Dieseist A T = T −1 (B).Dannist ϕ(T) eine A T -meßbareFunktion, falls ϕ Borel-Funktion ist; denn (ϕ(T)) −1 (B) = T −1 (ϕ −1 (B)) ∈ A T für B Borelsch. Interessanterweise sind alle A T -meßbaren Funktionen so darstellbar. Satz 5.13: Sei g eine A T -meßbare Funktion. Dann gibt es eine Borel- Funktion ϕ, so dass g = ϕ(T) ist. Beweis: Sei zunächst g = 1 A mit A ∈ A T . Dann gibt es nach Definition eine Menge B ∈ B so daß A = {ω | T(ω) ∈ B} gilt. Das heißt g = 1 A = 1 B (T). ∑ Sei nun g einfach, dann ist g = n α i 1 Ai mit A i ∈ A T und A i ∩A j = ∅ für i=1 ⋃ i ≠ j und n ∑ A i = Ω. Da 1 Ai = 1 Bi (T) ist, folgt g = n ∑ α i 1 Bi (T) mit n α i 1 Bi i=1 als Borelfunktion. Nun sei g beliebig und A T -meßbar. Nach Satz 5.12 gibt es eine Folge von A T -meßbaren einfachen Funktionen g n mit lim n g n = g. Nun gilt g n = ϕ n (T) mit passender Borelfunktion ϕ n . Folglich existiert lim n ϕ n (T). Sei nun ϕ = limsup n ϕ n . Dann gilt ϕ(T) = limsupϕ n (T) = limϕ n (T) = g. n n Beispiel: Sei T : R → S mit S = {(x,y) | x 2 + y 2 = 1} und T(u) = i=1 i=1
41 (cosu,sinu). Sei B die Borelsche σ-Algebra auf S. Dann ist f(t) = cos(2t) T −1 (B)-meßbar.Dennmitϕ(x,y) = x 2 −y 2 folgtf(t) = ϕ(T(t)),dacos(2t) = (cost) 2 −(sint) 2 gilt.
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