Wahrscheinlichkeitstheorie - Abteilung für Mathematische Stochastik

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≤ ∑ i≥1
µ(A 0 ∩A i ) ≤ ∑ i≥1
µ(A i )
Satz 3.6: Für einen endlichen Inhalt (d.h. µ(Ω) < ∞) auf einem Ring R
sind folgende Aussagen äquivalent:
1) µ ist σ-additiv.
2) Für jede Folge A n (n ≥ 1) mit A( n ∈ R und A n ⊂ A n+1 sowie
⋃
⋃
A n ∈ R gilt: lim µ(A n ) = µ A n
).
n≥1
n→∞ n≥1
3) Für jede Folge A n (n ≥ 1) mit A( n ∈ R und A n ⊃ A n+1 sowie
⋂
⋂
A n ∈ R gilt: lim µ(A n ) = µ A n
).
n≥1
n→∞ n≥1
4) Die Folge sei wie in 3) mit zusätzlich ⋂ A n = ∅, so gilt:
lim µ(A n) = 0.
n→∞
Bemerkung: Ist µ nicht endlich, so müssen 3) und 4) nicht gelten, auch
n≥1
wenn 1) und 2) gelten. Sei z.B. A n = [n,∞), µ(A n ) = ∞.
Dann ist ⋂ A n = ∅, aber lim µ(A n ) = ∞.
n→∞
n≥1
Beweis: (Siehe auch Stochastik-Skriptum)
Zeige zuerst 1) ⇒ 2): A n , n ≥ 1 wie in 2) angenommen.
⋃
(A n+1 \A n ), n ≥ 1 sindpaarweisedisjunktmit ∞ ⋃
A n = A 1 ∪ ∞ (A n+1 \A n )
n=1
disjunkter Vereinigung. Dann folgt aus 1):
( ∞
)
⋃
∞∑
µ A n = µ(A 1 )+ µ(A n+1 \A n )
n=1
n=1
= µ(A 1 )+ lim
m→∞
m∑
µ(A n+1 \A n )
n=1
= µ(A 1 )+ lim
m→∞ µ(A m \A 1 )
= lim
m→∞ µ(A m).
2) ⇒ 3) folgt durch ”
Komplementbildung“: Setze B n = A 1 \A n .
3) ⇒ 4) ist trivial.
Esbleibt 4) ⇒ 1)zuzeigen. Seien A 1 ,A 2 ,... aus R undpaarweisedisjunkt
n=1