Wahrscheinlichkeitstheorie - Abteilung für Mathematische Stochastik

Satz 5.7:
1) Sei f eine A-meßbareFunktion. Dannsind f α für α > 0, max(f,0),
min(f,0) und |f| A-meßbare Funktionen.
2) Es seien f 1 ,f 2 ,...,f k A-meßbar. Dann sind f 1 +f 2 +...+f k ,
max(f 1 ,f 2 ,...,f k ), min(f 1 ,f 2 ,...,f k ) A-meßbar.
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k∏
f i ,
Beweis:
1) Die Funktionen von x ϕ(x) = x α , ψ(x) = max(x,0) und so weiter
sind stetig und damit Borel-Funktionen. Damit lässt sich Satz 5.6
anwenden.
2) Auch die Funktionen ψ(x 1 ,...,x k ) = x 1 +...+x k ,
∏
ϕ(x 1 ,...,x k ) = k x i ,
i=1
η(x 1 ,...,x k ) = max(x 1 ,...,x k )
u.s.w. sind Borel-Funktionen. Wieder lässt sich Satz 5.6 anwenden.
Es ist nützlich den Wertebereich von meßbaren Funktionen auf [−∞,∞] zu
erweitern, z.B. um 1/f meßbar zu haben, falls f = 0 ist.
Seien R := R∪{−∞}∪{∞},
B := {B,B ∪{∞},B ∪{−∞},B ∪{−∞,∞} |B ∈ B}.
B heißt Borelsche σ-Algebra über R.
i=1
Definition 5.8: Sei (Ω,A) Meßraum. f : Ω → R heißt numerische
Funktion, falls {ω|f (ω) ∈ B} ∈ A für jedes B ∈ B gilt.
Lemma 5.9: Sei f : Ω → R numerisch. Dann gilt:
f ist ( A,B ) -meßbar genau dann, wenn eine der folgenden Aussagen gilt:
1) {f ≥ α} ∈ A für alle α ∈ R
2) {f > α} ∈ A für alle α ∈ R
3) {f ≤ α} ∈ A für alle α ∈ R
4) {f < α} ∈ A für alle α ∈ R
Beweis: Zeige nur die erste Äquivalenz.