Wahrscheinlichkeitstheorie - Abteilung für Mathematische Stochastik

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eindeutig.
Wesentlich dabei ist die Durchschnittsstabilität von R.
Definition 4.9: Ein Mengensystem E heißt durchschnittsstabil, falls
für A,B ∈ E gilt, dass auch A∩B ∈ E ist.
Satz 4.10: Seien µ i , i = 1,2 Maße auf einer σ-Algebra A über Ω. Sei E
ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem von A. Es gelte µ 1 = µ 2 auf
E und µ sei σ-endlich auf E. Dann ist µ 1 = µ 2 auf A.
Den Beweis dieses Satzes führt man mit Dynkin-Systemen.
Definition 4.11: Ein Mengensystem D ⊂ P(Ω) heißt Dynkin-System,
falls gilt: a) Ω ∈ D,
b) A,B ∈ D mit A ⊂ B ⇒ B \A ∈ D,
c) für jede disjunkte Folge (A n ) n≥1
mit A n ∈ D:
⋃
n≥1
A n ∈ D
Lemma 4.12:
1) Jedes durchschnittsstabile Dynkin-System D ist eine σ-Algebra.
2) Ist E durchschnittsstabiles Erzeugendensystem, so ist σ(E) = D(E),
d.h. die von E erzeugte σ-Algebra ist gleich dem von E erzeugten
Dynkin-System.
Beweis:
Zu 1): Zeige: D enthält endliche Vereinigungen.
Nach Voraussetzung ist A∩B ∈ D, falls A,B ∈ D. Dann ist B\A∩B ∈ D
und es gilt A∩(B \A∩B) = ∅. Folglich ist A∪B = A∪(B \A∩B) ∈ D.
Nun zu abzählbaren Vereinigungen:
A i ∈ D für i = 1,...,k. Dann ist A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A k ∈ D und damit
B i = A i \ ((A 1 ∪A 2 ∪...∪A i−1 )∩A i ) ∈ D. Die B i , i ≥ 1 sind paarweise
disjunkt und in D und es gilt ⋃ B i = ⋃ A i .
Zu 2): σ(E) ist Dynkin-System ⇒ D(E) ⊂ σ(E).
i≥1
i≥1