Wahrscheinlichkeitstheorie - Abteilung für Mathematische Stochastik

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Definition 2.8: S ⊂ P(Ω) heißt Semiring (oder Halbring), falls gilt:
a) ∅ ∈ S
b) A,B ∈ S ⇒ A∩B ∈ S
c) A,B ∈ S ⇒ Es existieren disjunkte Mengen C 1 ,...,C n ∈ S
⋃
mit A\B = n C i .
i=1
Beispiel: I k = { (a,b]|a,b ∈ R k} ist Semiring.
✻
✻
A∩B B A\B
❅❅❘
·
·
✲
zu b)
A
✲
zu c)
B
✲
Satz 2.9: Sei S ein Semiring über Ω. Der von S erzeugte Ring ist
{
}
n⋃ ∣ ∣∣Ai
R(S) = A = A i ∈ S, i = 1,...,n; n ∈ N, paarweise disjunkt
i=1
Beispiel: Der von I k erzeugte Ring ist
{
}
n⋃ ∣ ∣∣Ij
F k = F = I j ∈ I k , j = 1,...,n; n ∈ N, paarweise disjunkt
j=1
genannt: der Ring der k-dimensionalen Figuren.
Ein mögliches F ∈ F k !
Beweis: Bezeichne ˜R die rechte Seite in der Aussage von Satz 2.9. Dann
ist S ⊂ ˜R ⊂ R(S). Zeige ˜R ist Ring.