Wahrscheinlichkeitstheorie - Abteilung für Mathematische Stochastik

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wobei a = (a 1 ,...,a k ), b = (b 1 ,...,b k ). λ k heißt Lebesgue-Maß. Auch
definieren wir
λ k ([a,b]) := lim
ε→0
λ((a−ε,b]).
Beweis: Mittels (∗) wird auf I k = { (a,b] |a,b ∈ R k , a < b } ∪{∅} eine σ-
additive Mengenfunktion erklärt, die sich eindeutig auf den von I k erzeugten
Ring fortsetzen lässt. I k ist durchschnittsstabil und erzeugt B ( R k) . Außerdem
ist λ k σ-endlich auf I k . Damit gibt es nach Satz 4.6 und Satz 4.8 eine
eindeutige Fortsetzung von λ k zu einem Maß auf σ(I k ). Diesist aber B ( R k) .
Warum ist λ k σ-additiv auf I k ?
Dies liegt daran, dass gilt λ k ([a+ε n ,b]) ր λ k ((a,b]) für alle a,b ∈ R k und
ε n , n ≥ 1 Nullfolge im R k .
DieDetailsdazufolgenspäterimallgemeinerenRahmenunterdemStichwort
“Innere Regularität”.
Satz 4.18 (Eigenschaften von λ k ):
1) Sei B ∈ B ( R k) und sei a ∈ R k . Dann ist B + a ∈ B ( R k) mit
B +a = {b+a | b ∈ B} .
2) λ k ist translationsinvariant. Das heißt, λ k (B) = λ k (B +a) für alle
a ∈ R k und B ∈ B ( R k) .
3) λ k ist das einzige translationsinvariante Maß auf B ( R k) mit
λ k ((0,1]) = 1. Dabei bedeutet ′′ 0 ′′ = (0,0,...,0) und ′′ 1 ′′ =
(1,1,...,1).
Beweis:
Zu 1): Sei D a = { B ∈ B ( R k) |B +a ∈ B ( R k)} .
I k ⊂ D a , denn (b,c] + a = (a+b,a+c]. D a ist außerdem σ-Algebra: