3 - math-learning

Wege zu einem langfristigen
Kompetenzaufbau im
Mathematikunterricht
Prof. Dr. Regina Bruder
www.math-learning.com
Technische Universität Darmstadt
FB Mathematik
Magdeburg, 30.10.2009

Überblick
1. Kompetenzen erwerben im MU? Wunsch und Wirklichkeit…
2. Was soll eigentlich im MU gelernt werden ? Wie hängen die
verschiedenen Kompetenzen zusammen?
3. Schnittstellen bewusst machen zwischen Mathematik und Welt:
„Mit der Mathebrille durch die Welt …“
4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben
5. Ausblick

1. Kompetenzen erwerben im MU? Wunsch und
Wirklichkeit…
Noch immer aktuelle Phänomene:
In den Medien: „In Mathe war ich immer schlecht“
Eltern: „Er könnte das ja alles, Sie müssen ihn nur richtig motivieren!“
Schüler: „Wozu brauche ich das denn?“ – „ Kommt das in der Arbeit dran?“
Problem:
Wertschätzung der Mathematik und von Mathematikkönnen in
der Gesellschaft
Parallelproblem:
Wertschätzung und Akzeptanz von Anstrengung beim Lernen

1. Kompetenzen erwerben im MU? Wunsch und
Wirklichkeit…
- Gesellschaftliches Umfeld: Wertschätzung von Leistung und
Anstrengung?
Verantwortung übernehmen für das eigene Lernen?
Schüler(in) in der Klassenarbeit: Das habe ich noch nie
verstanden. Mache ich nicht. Nächste Aufgabe!
- Aufbau der Mathematiklehrpläne nach der Fachlogik – Effekte des MU ?
Der gesunde Menschenverstand bleibt auf der Strecke ?
In einem Zwinger leben Hasen und Fasanen. Man kann 24 Köpfe
zählen und 60 Beine. Wie viele Tiere sind es von jeder Art?

Ergebnisse aus dem Projekt PALMA (v.Hofe/Pekrun, 2004)

1. Kompetenzen erwerben im MU? Wunsch und
Wirklichkeit…
- Gesellschaftliches Umfeld: Wertschätzung von Leistung und
Anstrengung?
Verantwortung übernehmen für das eigene Lernen?
Schüler(in) in der Klassenarbeit: Das habe ich noch nie
verstanden. Mache ich nicht. Nächste Aufgabe!
- Aufbau der Mathematiklehrpläne nach der Fachlogik – Effekte des MU ?
Der gesunde Menschenverstand bleibt auf der Strecke ?
In einem Zwinger leben Hasen und Fasanen. Man kann 24 Köpfe
zählen und 60 Beine. Wie viele Tiere sind es von jeder Art?
- Die Sinnfrage für die Lerninhalte im MU stellen – Zieltransparenz ?
Rätsel, eingekleidete Aufgaben mit unrealistischen
Fragestellungen, „Kapitänsaufgaben“, FERMI-Aufgaben...

Märchen: Der Froschkönig
7

Fermi- Aufgaben
Wie viele Zahnärzte gibt es in Magdeburg?
Wie lang wird der Streifen, den man aus einer Zahnpastatube drücken kann?
8

… Phänomene
Beispiel:
Die Summe dreier aufeinanderfolgender
Quadratzahlen beträgt 434.
Wie lauten diese drei Quadratzahlen?
Erwartungshorizont: (n-1)² + n² + (n+1)² = 434
3n² +2 = 434
n² = 144
Alternative Schülerlösung – mit EXCEL!
Was fördert diese Aufgabe als Übungsaufgabe im Unterricht mit
welcher Rahmung und was prüft eine solche Aufgabe in einem Test?

… Phänomene
Eine Lehrkraft: „Ungleichungen kommen jetzt nicht mehr vor in der
Oberstufe, also machen wir das auch nicht mehr.“

… Phänomene
Eine Lehrkraft: „Ungleichungen kommen jetzt nicht mehr vor in der
Oberstufe, also machen wir das auch nicht mehr.“
Ungleichungen sind der Zugang zu Abschätzungen und damit zu einem
angemessenen Bild von Mathematik.
Anwendungen:
- Fehlerschranken
- lineare Optimierung
- Problemlösetraining mit heuristischen Strategien
Erforderliche Kenntnisse: - Umformungsregeln
- Standardungleichungen

Eine Standardungleichung:
Beobachtung:
Fragen:
Das arithmetische Mittel ist etwas größer
als das geometrische Mittel.
Ist das immer so? Warum denn?
Beschreibungsebene der Mathematik:
Vermutung: a
+
b
> a,b pos. reell
2 a ⋅
b
a ⋅ b
a
a
+
2
b
b
Begründung durch eine geometrische Interpretation

Gleichungstypen
Lineare Gleichungen a•x + b= c, a • x = d… Proportionalität
Lineare Gleichungssysteme Gleichsetzungsverfahren !
Diophantische Gleichungen
Ungleichungen

Gleichungstypen
Lineare Gleichungen
a•x + b= c, a • x = d… Proportionalität
Lineare Gleichungssysteme Gleichsetzungsverfahren !
Diophantische Gleichungen
Ungleichungen
Quadratische Gleichungen
Warum ist die p-q-Formel richtig?
Äquivalenzen: Bin. Formeln

Gleichungstypen
Lineare Gleichungen
a•x + b= c, a • x = d… Proportionalität
Lineare Gleichungssysteme Gleichsetzungsverfahren !
Diophantische Gleichungen
Ungleichungen
Quadratische Gleichungen
Warum ist die p-q-Formel richtig?
Äquivalenzen: Bin. Formeln
Potenz- und Wurzelgleichungen, Exponentialgleichungen,
Logarithmengleichungen
Variation von a^b = c x^b=c, a^x=c, a^b=x (Gesamtorientierung!)

Gleichungstypen
Lineare Gleichungen
a•x + b= c, a • x = d… Proportionalität
Lineare Gleichungssysteme Gleichsetzungsverfahren !
Diophantische Gleichungen
Ungleichungen
Quadratische Gleichungen
Warum ist die p-q-Formel richtig?
Äquivalenzen: Bin. Formeln
Potenz- und Wurzelgleichungen, Exponentialgleichungen,
Logarithmengleichungen
Variation von a^b = c x^b=c, a^x=c, a^b=x (Gesamtorientierung!)
Trigonometrische Gleichungen (trig. Pythagoras)
a • sin bx = c
Differenzen- und Differenzialgleichungen

Überblick
1. Kompetenzen erwerben im MU? Wunsch und Wirklichkeit…
2. Was soll eigentlich im MU gelernt werden ? Wie hängen die
verschiedenen Kompetenzen zusammen?
3. Schnittstellen bewusst machen zwischen Mathematik und Welt:
„Mit der Mathebrille durch die Welt …“
4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben
5. Ausblick

2. Ziele für nachhaltiges Lernen von Mathematik
Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik
verstanden,
Mathematische Gegenstände ... als eine
deduktiv geordnete Welt eigener Art ...
begreifen.
behalten und
Problemlösefähigkeiten (heuristische
Fähigkeiten, die über die Mathematik
hinausgehen)
angewendet
werden können?
Erscheinungen der Welt um uns ... in einer
spezifischen Art wahrzunehmen und zu
verstehen.
Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995

Die Lernenden
- - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in
Alltagssituationen, und können solche
Fragestellungen formulieren und erläutern.
-
- kennen Mathematisierungsmuster und verschiedene
heuristische Vorgehensweisen sowie Darstellungsarten
zur Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und
können diese situations- und sachgerecht anwenden,
interpretieren und begründen.
- entwickeln Anstrengungsbereitschaft und
Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln.

Wo kann es individuell schwierig werden? „Problemlösen“!
Mathematisches
Modell
3
Mathematische
Ergebnisse
Mathematik
2 4
Realität
Realmodell
1
5
Reale
Ergebnisse
Realsituation

Einbettung der Kompetenzen …
- mathematisch Argumentieren K1
- Probleme mathematisch lösen K2
- mathematisch Modellieren K3
- mathematische Darstellungen verwenden K4
- mit symbolischen,formalen und technischen
Elementen der Mathematik umgehen K5
- Kommunizieren K6
Mathematisches
Modell
3
Mathematische
Ergebnisse
Mathematik
2 4
Realität
Realmodell
1
5
Reale
Ergebnisse
Realsituation

Einbettung der Kompetenzen …
- mathematisch Argumentieren K1
- Probleme mathematisch lösen K2
- mathematisch Modellieren K3
- mathematische Darstellungen
verwenden K4
Mathematisches
Modell
3
Mathematische
Ergebnisse
- mit symbolischen,formalen und technischen
Elementen der Mathematik umgehen K5
- Kommunizieren K6
Mathematik
2 4
Realität
Realmodell
1
5
Reale
Ergebnisse
Realsituation

Einbettung der Kompetenzen …
- mathematisch Argumentieren K1
- Probleme mathematisch lösen K2
- mathematisch Modellieren K3
- mathematische Darstellungen verwenden K4
- mit symbolischen,formalen und
technischen Elementen der
Mathematik umgehen K5
Mathematisches
Modell
3
Mathematische
Ergebnisse
- Kommunizieren K6
Mathematik
2 4
Realität
Realmodell
1
5
Reale
Ergebnisse
Realsituation

Einbettung der Kompetenzen …
- mathematisch Argumentieren K1
- Probleme mathematisch lösen K2
- mathematisch Modellieren K3
- mathematische Darstellungen verwenden K4
- mit symbolischen,formalen und technischen
Elementen der Mathematik umgehen K5
Mathematisches
Modell
3
Mathematische
Ergebnisse
- Kommunizieren K6
Mathematik
2 4
Realität
Realmodell
1
5
Reale
Ergebnisse
Realsituation

Überblick
1. Kompetenzen erwerben im MU? Wunsch und Wirklichkeit…
2. Was soll eigentlich im MU gelernt werden ? Wie hängen die
verschiedenen Kompetenzen zusammen?
3. Schnittstellen bewusst machen zwischen Mathematik und Welt:
„Mit der Mathebrille durch die Welt …“
4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben
5. Ausblick

Ziele des MU – langfristiger Kompetenzaufbau
-
Die Lernenden
erkennen mathematische Fragestellungen, auch in
Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren.
• Rundgang mit der „Mathematikbrille“...
Frage: Wo ist Mathematik versteckt ?
• Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes...-
Frage: Wo wird Mathematik benötigt?

a) Schätze das Volumen dieser Schachtel und beschreibe, wie du dabei vorgehst!
b) Wenn das Volumen des Inhalts 70% (oder weniger) des Volumens der Verpackung
beträgt, spricht man von einer Mogelpackung. Handelt es sich hier um eine
Mogelpackung? Begründe deine Meinung rechnerisch.

Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen,
auch in Alltagssituationen, und können solche
Fragestellungen formulieren.
-
• Stadtrundgang mit der „Mathematikbrille“...
Frage: Wo ist Mathematik versteckt ?
• Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes...-
Frage: Wo wird Mathematik benötigt?
• Realsituationen mathematisch beschreiben:
Wasserwechsel im Schwimmbad,
Bau einer Autobahnabfahrt, bester handy-Tarif
Frage: Wie kann man solche Situationen/Zusammenhänge
mathematisch beschreiben?
Welche Vorteile, welchen Mehrwert kann eine
mathematische Beschreibung bieten?

Reflexion:
Welches sind typische Fragen, die Mathematiker stellen und auch zu
beantworten versuchen?
-etwas optimieren
-etwas schrittweise verfeinern, annähern
-einen Algorithmus finden (eine „Formel“) für einen Zusammenhang
-Mathematische Modelle für Realsituationen finden, Simulationen
Wenn man eine Lösung für ein Problem gefunden hat:
- Ist das die einzige Lösung? Kann man das
beweisen?
- Kann man die spezielle Lösung auch
verallgemeinern?

Reflexion und Hintergrund
Die Lernenden
- - erkennen mathematische Fragestellungen,
- auch in Alltagssituationen, und können solche
Fragestellungen formulieren und erläutern.
-
Jedes Ziel umfasst:
Intelligentes Wissen
In welche Richtungen kann man fragen?
(Wo ist Mathematik versteckt, wo hilfreich…)
„Typische“ Mathematikerfragen kennen
Handlungskompetenz
Konkrete Fragen in
einem Kontext finden
– auf verschiedenen
„Orientierungsleveln“
1. Probierorientierung
2. Orientierung am Bsp.
3. Feldorientierung
Metakompetenz
Beurteilungskriterien für
mathematikhaltige Fragestellungen…

Modellierungskompetenz langfristig aufbauen:
Probierorientierung
Exemplarisch: Lernumgebungen
Lösen einer Beispielaufgabe (z.B. Tankenaufgabe
Kl.7)
Lösen einer weiteren Beispielaufgabe und
Vergleich der beiden Aufgaben
Input: Modellierungskreislauf und Fokussierung der Teilhandlungen im
Kontext
Lösen von Aufgaben zu den Teilhandlungen des
Modellierens in wenig variierenden Kontexten,
Orientierung am
Muster
Musterlösungen mit Kommentierung stehen zur
Orientierungsbildung zur Verfügung
Reflexion des Modellierungskreislaufes und der Teilhandlungen bzgl.
Einsatz von Mathematik und von Strategien
Feldorientierung
Vergleichen von Beispielaufgaben und
Herausarbeiten von Analogien mit
Verallgemeinerung, die im Modellierungskreislauf
verortet wird; Transfer auf andere Kontexte

1. Was Lernziele ist wesentlich? – drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik
Weinert
(1999)
30.10.2008 R. Bruder TUD
34

Was ist wesentlich?
Orientierung an der Curriculumspirale
Problemlösen
lernen
Funktionen
erkennen
untersuchen
variieren
Algorithmus
schätzen
berechnen
Informationen
zeichnen
wahrnehmen
darstellen
strukturieren
Ein mathematisches Thema
(z.B.: Zuordnungen)
Algebraische
Aspekte: Zahl
Geometrische Aspekte:
Raum

Kompetenzförderung kann untersucht werden
- innerhalb eines Schuljahres über verschiedene Unterrichtsthemen bzw.
Leitideen hinweg in horizontaler Verknüpfung (z.B. Abschätzaufgaben in
verschiedenen Kontexten)
- innerhalb einer Leitidee, aber vertikal mit fachlicher Anreicherung angelegt
über mehrere Klassenstufen. (Beispiel: Entfernungs- bzw.
Abstandsbestimmungen)
Benötigt wird ein lernförderliches unterrichtliches Umfeld.

Math. Fragen stellen können … aber wo?
Themenfelder für vernetztes Lernen
Anwendungslinien als Stützen der Curriculumspirale
• Umgehen mit Geld...
• Anteile beschreiben und vergleichen (Brüche, Dreisatz,
Prozentrechnung, Streckenteilung/Goldener Schnitt...)
• Optimieren
• Entfernung unzugänglicher Punkte bestimmen
• Zuordnungen beschreiben (Wachstum/Zerfall)
• Beziehungen zwischen Zahlen und Figuren beschreiben
• Visualisierungen (Mittelwerte, bin. Formeln...)
• Symmetrie, Kongruenz – Ähnlichkeit...
• Figuren erzeugen in Ebene und Raum
• Zufall beschreiben...

Breite eines Flusses bestimmen – mit Maßband und Winkelmessgerät

Beispiel: Laternenhöhe
a) Schätze zunächst die Höhe der Laterne anhand des Fotos. Entwickle
dann eine rechnerische Methode, um vor Ort die Höhe der Laterne mit
einer angemessenen Genauigkeit zu ermitteln, wenn ein Maßband und
ein Winkelmessgerät zur Verfügung stehen.
Aus: Bildungsstandards konkret
2006

) Eine weitere mathematische Vorgehensweise zur
Höhenbestimmung, die sogenannte „Holzfäller-Methode“, ist hier
beschrieben (zitiert nach
http://www.wdrmaus.de/sachgeschichten/baumhoehe_messen/:
.....
Erkläre, wie diese Methode mathematisch begründet werden kann und
Erkläre, wie diese Methode mathematisch begründet werden kann und
führe diese mit deinen Mitschülern an Objekten auf dem Schulhof
durch. Präsentiert Eure Gruppenergebnisse auf einem Poster!

- Überlege dir zwei verschiedene reale Situationen, in denen es notwendig
oder interessant sein kann, die Entfernung zwischen zwei Punkten zu
bestimmen, von denen mindestens einer nicht zugänglich ist.
-Versuche, möglichst viele verschiedene mathematische Vorgehensweisen
zu finden, die bei einem solchen Problem helfen können. Ordne
verschiedenen Situationen geeignete Verfahren zu.
- Begründe, warum die früheren Segelschiffe einen Ausguck auf dem
Hauptmast hatten. Wie weit konnten sie auf einem 20m hohen Ausguck im
Vergleich zu einer 3 m hohen Bordwand sehen?

Schätzen und Überschlagen von Größen (sinnhaft!!)
Schaffen es die Luftballons bis
über den nahe gelegenen Berg?
Erfüllt die Konfektschachtel die
Kriterien einer Mogelpackung?
Wie viel Liter Wasser passen in
diesen Fasswagen?

Überblick
1. Kompetenzen erwerben im MU? Wunsch und Wirklichkeit…
2. Was soll eigentlich im MU gelernt werden ? Wie hängen die
verschiedenen Kompetenzen zusammen?
3. Schnittstellen bewusst machen zwischen Mathematik und Welt:
„Mit der Mathebrille durch die Welt …“
4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben
5. Ausblick

Aktuelle didaktische Entwürfe fördern
Kompetenzerleben
Wichtig: Alle drei Erkenntnisebenen durchlaufen!
• Enaktiv (Muskelerinnerung, Körpererfahrung)
• Ikonisch (Visualisierungen – beispielhaft)
• Symbolisch (Verallgemeinerung, Abstraktion)

Aktuelle didaktische Entwürfe fördern
Kompetenzerleben
„Wie berechnet man die Nullstellen einer Funktion?“
Paul: „Was war das nochmal? Ich kann (will) mir das nicht alles merken,
diese vielen Begriffe!“
Alternative:
Woran merkst du dir, was eine Nullstelle einer Funktion bedeuten kann?
- Das Warenlager ist leer gekauft.
- Die Kerze ist herunter gebrannt.
- Das Wasser einer Fontäne ist auf dem Boden angekommen usw.
Metaphern im Lehr- und Lernprozess einsetzen und Vernetzungen fördern !

Systematisches Probieren
Aufgabe: Kerzen
Zwei Kerzen brennen mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten ab: Kerze A ist 36cm lang und brennt
mit 3cm pro Stunde ab, Kerze B ist 10cm lang und
brennt mit 1cm pro Stunde ab. Wann sind beide Kerzen
gleich lang?
Weitere Hilfsmittel und
Strategien:
Gleichung
Invarianzprinzip
Informative Figur
Überprüfung des Ergebnisses mit
der realen Situation
Kerze B: y=10-1x
Kerze A: y=36-3x
Gleichsetzen !

Welche Aufgabentypen sind grundsätzlich
notwendig für nachhaltiges Lernen und langfristigen
Kompetenzaufbau?

Aufgabentypen für nachhaltiges Lernen
Gege- Transfor- Gesuchbenes
mationen tes
-----------------------------------------------------------------------
X X X gelöste Aufgabe ( stimmt das?)
X X - einfache Bestimmungsaufgabe
- X X einfache Umkehraufgabe
X - X Beweisaufgabe, Spielstrategie
X - - schwere Bestimmungsaufgabe,
auch: open ended tasks, „Blüte“
- - X schwierige Umkehraufgabe
- X - Aufforderung, eine Aufgabe zu
erfinden
(-) - (-) offene Problemsituation
(Trichtermodell)

Aktuelle didaktische Entwürfe fördern
Kompetenzerleben
Ein binnendifferenzierendes Aufgabenset :
Erste und vertiefende Übung zu Nullstellenberechnungen von
linearen Funktionen
Wähle mindestens fünf der folgenden Aufgaben aus und löse sie –
es sind dafür 20min vorgesehen.
Alternative: Es soll eine bestimmte Anzahl „Sternchen“ gesammelt
werden (gut geeignet für Hausaufgaben)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gesucht ist jeweils die Nullstelle der folgenden linearen Funktionen:
1. f(x) = x - 5
2. f(x) = 2x + 6
Grundaufgabe (xx-)
3. f(x) = - 5x – 2,5
4. Zeichne eine lineare Funktion mit einer Nullstelle bei x = - 3
Umkehrung (-xx)
5. Was kann eine Nullstelle einer linearen Funktion praktisch bedeuten?
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
( - , x, (-) )

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gesucht ist jeweils die Nullstelle der folgenden linearen Funktionen:
1. f(x) = x - 5
2. f(x) = 2x + 6
Grundaufgabe
3. f(x) = - 5x – 2,5
4. Zeichne eine lineare Funktion mit einer Nullstelle bei x = - 3
Umkehrung
( - , x, - )
5. Was kann eine Nullstelle einer linearen Funktion praktisch bedeuten?
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6. Gib die Gleichungen zweier linearer Funktionen an, die bei x = 4 ihre Nullstelle haben.
7. Notiere die Gleichung einer linearen Funktion, die keine Nullstelle hat.
8. Überlege Dir einen Sachverhalt, der mit Hilfe einer linearen Funktion beschrieben werden
kann, welche bei P(1;0) eine Nullstelle hat.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gesucht ist jeweils die Nullstelle der folgenden linearen Funktionen:
1. f(x) = x - 5
2. f(x) = 2x + 6
Grundaufgabe
3. f(x) = - 5x – 2,5
4. Zeichne eine lineare Funktion mit einer Nullstelle bei x = - 3
Umkehrung
( - , x, - )
5. Was kann eine Nullstelle einer linearen Funktion praktisch bedeuten?
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6. Gib die Gleichungen zweier linearer Funktionen an, die bei x = 4 ihre Nullstelle haben.
7. Notiere die Gleichung einer linearen Funktion, die keine Nullstelle hat.
8. Überlege Dir einen Sachverhalt, der mit Hilfe einer linearen Funktion beschrieben werden
kann, welche bei P(1;0) eine Nullstelle hat.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9. Warum können lineare Funktionen nie mehr als eine Nullstelle haben?
10. Finde einen Ausdruck zur Bestimmung der Nullstelle für eine beliebige lineare Funktion:
f(x) = mx + b und gib dazu evtl. notwendige Bedingungen für m, x und b an!

Aktuelle didaktische Entwürfe fördern
Kompetenzerleben
Misserfolgserlebnisse, Entmutigung – fehlendes Kompetenzerleben
Alternativen:
Lernende zu Experten machen (Ichstärke fördern)
Wer hat Recht?
Finde den Fehler!
Berate... bei deren Entscheidungen... (schon Standard: Tanken im Ausland?
Welchen Handy-Tarif wählen? Planung einer Geburtstagsparty...) – aber auch: Welcher
Mittelwert passt auf die Situation?
Kannst Du helfen (mit Mathematik)? (Schokowaffel optimieren…)

Geburtsdatum „raten“:
„Verdopple die Tageszahl Deines Geburtstages. Addiere 5.
Das Ergebnis ist mit 50 zu multiplizieren.
Jetzt ist die Monatszahl zu addieren.
Nenne mir Dein Ergebnis!“
Niese, G.: 100 Eier des Kolumbus. Berlin 1964

Mit potenziellen Schülerfehlern offensiv
umgehen
a = b
a² = ab
a² + a² - 2ab = ab + a² - 2ab
2(a² - ab) = a² - ab
2 = 1

Aus 1€ wird 1 cent
1€ = 10 * 10 cent = 0,1€ * 0,1€ = 0,01€ = 1cent
Mach‘ den Otto zur Null ! (Quelle: CALiMERO, Pinkernell)
CAS im MU: Den eigenen Namen in den TR schreiben und damit
rechnen!
56

Aufgaben lösen auf verschiedenen Abstraktionsstufen,
Zulassen verschiedener Lösungswege
The semicircular disc glides along
two legs of a right angle. Which line
describes point P on the perimeter
of the half circle?
A
0
P
B
Ausprobieren mit
Bierdeckel (I)
P
Mathematik
Realität
Mathematisches
Modell
2
Realmodell
1
3
Realsituation
5
Mathematische
Ergebnisse
4
Reale
Ergebnisse
A
DGS
(II)
P
0
B
A
(III) math.
Zusammenhänge
finden
0
B

Aktuelle didaktische Entwürfe fördern
Kompetenzerleben
Wann habe ich etwas (elementar) verstanden?
„Identifizieren und Realisieren“ – Beispiel und Gegenbeispiel angeben können
Ein Beispiel für ein Prisma angeben und eins, das kein Prisma ist.
Welche Möglichkeiten kennst Du, um Zuordnungen
darzustellen?
Gib ein Beispiel für eine proportionale Zuordnung an und
nenne ein Beispiel, das keine proportionale Zuordnung ist.
Welchen Vorteil kann eine mathematische Beschreibung
von Zuordnungen haben?

Aktuelle didaktische Entwürfe fördern
Kompetenzerleben
Individualisierte Lernangebote: Flexibler Umgang mit Aufgaben
- Wahlaufgaben
- offene Aufgaben bzgl. Lösungsweg
- offene Aufgaben anforderungsgestuft: Blütenaufgabe
--offene Aufgabe bzgl. der Eingangsinformationen (Modellierungsaufgaben)

Beispiel aus dem Projekt
MABIKOM 2008-2012,
Niedersachsen

Wie schafft man es, die Schwelle etwas niedriger zu legen, damit mehr
Schüler auch an schwierige Probleme herangeführt werden?
Idee: Selbst differenzierende
Blütenaufgaben!

Aktuelle didaktische Entwürfe fördern
Kompetenzerleben
Überblick:
Wichtig: Alle drei Erkenntnisebenen durchlaufen!
Metaphern im Lehr- und Lernprozess einsetzen und Vernetzungen
fördern !
Lernende zu Experten machen (Ichstärke fördern)
Vorstellungen schulen, experimentieren, vergewissern
(Mathebrille aufsetzen)
Aufgaben lösen auf verschiedenen Abstraktionsstufen,
Ermöglichen verschiedener Lösungswege, Reflektieren der Strategien
Wann habe ich etwas (elementar) verstanden?
„Identifizieren und Realisieren“ – Beispiel und Gegenbeispiel angeben können

5. Ausblick
Unterstützungsinstrumente für eine kompetenzorientierte Lehre:
www.proLehre.de
Lehrerfortbildungskurse online für einen nachhaltigen
kompetenzorientierten MU
- Mathematisch modellieren lernen
- Problemlösen in Verbindung mit Selbstregulation
- „Basics“: Mathematisches Grundkönnen wachhalten
- Neue Technologien im MU: CAS, Dynageo, EXCEL

5. Ausblick
Unterstützungsinstrumente für eine kompetenzorientierte Lehre:
- Aufgabendatenbank www.madaba.de
Schnupperzugang: ID: magdeburg
Passwort: schnuppermagdeburg
- www.amustud.de für Arbeitsprodukte der
Studierenden
- bruder@mathematik.tu-darmstadt.de