Manuskript

Kapitel 2
L p -Räume
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. (Viele der in diesem Abschnitt gezeigten Resultate
gelten auch für σ-endlich oder allgemeine Maßräume.)
2.1 Grundlagen
Definition 2.1 (L p -Räume). Für 0 < p < ∞ definieren wir auf dem Raum der Zufallsvariablen
die Abbildungen
X ↦→ ||X||p := (E[|X| p ]) 1/p
sowie
Wir setzen für 0 < p ≤ ∞
X ↦→ ||X||∞ := inf{K : P{|X| > K} = 0}.
L p := L p (Ω, A, P) := {X : ||X||p < ∞}.
Proposition 2.2 (Hölder und Minkowski’s Ungleichung). 1. Sei 0 < p, q, r ≤ ∞ so, dass
. Dann gilt
1
p
+ 1
q
= 1
r
2. Für 0 < p ≤ ∞ ist
||X + Y || p∧1
p
||XY ||r ≤ ||X||p||Y ||q (Hölder-Ungleichung) (2.1) eq:hoelder
≤ ||X|| p∧1
p
+ ||Y || p∧1
p . (Minkowski-Ungleichung) (2.2) eq:mink
Bemerkung 2.3. Die Hölder-Ungleichung im Spezialfall p = q = 2 ist die Cauchy-Schwartz-
Ungleichung.
Beweis von (2.1):. Im Fall p = ∞ oder q = ∞ ist die Aussage klar, sei also p, q < ∞. Ist
entweder ||X||p = 0. ||X||p = ∞, ||Y ||q = 0 oder ||Y ||q = ∞, ist die Aussage ebenso klar. Sei
also ŒX, Y ≥ 0 und 0 < ||X||p, ||Y ||q < ∞ und
�X := X
, �
Y
Y = .
||X|| p ||Y || q
Dann ist zu zeigen, dass || � X � Y ||r ≤ 1. Wegen der Konvexität der Exponentialfunktion ist
(xy) r = exp � r
r
pp log x + q q log y� ≤ r
pxp + r
q yq
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