Manuskript

KAPITEL 5. MARTINGALE 43
Sei Xt der Gesamtgewinn aller Spielerinnen bis zur Zeit t und T die Zeit, zu der das
Spiel gestoppt wird, weil zum ersten Mal das Muster ZKZK aufgetreten ist. Sicher ist
|Xt| ≤ 15 · t, P[T > 4t] ≤ 15 t
.
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Damit hat (Xt∧T : t = 1, 2, ...) eine integrierbare Majorante, ist also nach Beispiel 2.11.2
gleichgradig integrierbar. Damit können wir das Optional Stopping-Theorem anwenden,
d.h. (XT ∧t)t=1,2,... ist ein Martingal.
Sicher ist
XT = 15 − 1 + 3 − 1 − (T − 4)
da die ersten T − 4 Spielerinnen, sowie Spielerinnen T − 3 und T − 1 einen Verlust von
einem Euro hinnehmen mussten. Spielerin T − 2 hat zur Zeit T einen Gewinn von drei
Euro und Spielerin T − 4 hat 15 Euro gewonnen. Also
0 = E[XT ] = E[15 − 1 + 3 − 1 − (T − 4)] = −E[T ] − 20,
also E[T ] = 20. Interessant ist, dass erwartet werden kann, dass beispielsweise das
Muster ZZKK schon nach 16 Münzwürfen auftritt.