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KAPITEL 3. DIE BEDINGTE ERWARTUNG 25
2. Sei (E, E) ein Messraum, Y eine messbare Zufallsvariable mit Werten in E und F ⊆
A. Ein stochastischer Kern κY,F von (Ω, F) nach (E, E) heißt reguläre Version der
bedingten Verteilung von Y , gegeben F, falls
für P-fast alle ω und jedes B ∈ E.
κY,F(ω, B) = P({Y ∈ B}|F)(ω)
3. Sei (E, r) ein metrischer Raum. Zur Erinnerung: (E, r) heißt vollständig, wenn jede
Cauchy-Folge konvergiert, und separabel, wenn es eine abzählbare, dichte Teilmenge
gibt.
rem:33 Bemerkung 3.13. 1. In Definition 3.12.1 reicht es, die Eigentschaft (a) nur für einen
durchschnittsstabilen Erzeuger von A ′ zu fordern. Es ist nämlich stets
D := {A ′ ∈ A ′ : ω ↦→ κ(ω, A ′ ) ist A-messbar}
ein Dynkin-System. Damit ist nach einem Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie I die
durch den durchschnittsstabiler Erzeuger erzeugte σ-Algebra gleich A ′ .
2. Sei F = σ(X) für eine Zufallsvariable X in Definition 3.12.2. Ist dann κ Y,σ(X) eine reguläre
Version der bedingten Erwartung von Y gegeben σ(X), so ist ω ↦→ κ Y,σ(X)(ω, A ′ )
σ(X)-messbar für alle A ′ ∈ A ′ . Damit gibt es nach Korollar 3.7 eine σ(X) − B([0; 1])messbare
Abbildung ϕA ′ : Ω → [0; 1] mit ϕA ′ ◦ X = κ Y,σ(X)(., A ′ ). Wir setzen dann
κY,X(x, A ′ ) := ϕA ′(x)
und sagen κY,X ist die reguläre Version der bedingten Verteilung von Y gegeben X.
T:exRegBed Theorem 3.14 (Existenz der regulären Version der bedingten Verteilung). Sei (E, r) ein
vollständiger und separabler metrischer Raum, ausgestattet mit der Borel’schen σ-Algebra,
F ⊆ A eine σ-Algebra und Y eine A-messbare Zufallsvariable mit Werten in E. Dann existiert
eine reguläre Version der bedingten Verteilung von Y gegeben F.
Bevor wir das Theorem beweisen können, zitieren wir ein Hilfsresultat (Proposition 3.16)
über vollständige, separable metrische Räume.
Definition 3.15. 1. Zwei Messräume (Ω, A) und (Ω ′ , A ′ ) heißen isomorph, falls es eine
bijektive, A − A ′ -messbare Abbildung ϕ : Ω → Ω ′ gibt, so dass ϕ −1 A ′ − A-messbar ist.
2. Ein Messraum (Ω, A) heißt Borel’scher Raum, falls es eine Borel’sche Menge B ∈ B(R)
gibt, so dass (Ω, A) und (B, B(B)) isomorph sind.
P:polBor Proposition 3.16 (Polnische und Borel’sche Räume). Jeder vollständige und separable metrische
Raum (E, r), ausgestattet mit der Borel’schen σ-Algebra, ist ein Borel’scher Raum.
Beweis. Siehe etwa Dudley, Real analysis and probability, Theorem 13.1.1.
Beweis von Theorem 3.14. Wir beweisen das Theorem unter der schwächeren Voraussetzung,
dass E, ausgestattet mit der Borel’schen σ-Algebra, ein Borel’scher Raum ist. Œ können
wir also annehmen, dass E ∈ B(R) ist. Die Strategie unseres Beweises besteht darin, eine