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KAPITEL 5. MARTINGALE 37
2. X ist ein Submartingal und ϕ ist nicht-fallend
erfüllt ist, so ist ϕ(X) = (ϕ(Xt))t∈I ein Submartingal.
Beweis. Ist X ein Martingal so ist ϕ(Xs) = ϕ(E[Xt|Fs]). Ist X ein Submartingal und ϕ
nicht-fallend, gilt ϕ(Xs) ≤ ϕ(E[Xt|Fs]). In beiden Fällen ist damit für s ≤ t fast sicher wegen
der Jensen’schen Ungleichung für bedingte Erwartungen, Proposition 3.4, dass
d.h. ϕ(X) ist ein Submartingal.
ϕ(Xs) ≤ ϕ(E[Xt|Fs]) ≤ E[ϕ(Xt)|Fs],
P:doobZerl Proposition 5.5 (Doob-Zerlegung). Sei I = {0, 1, 2, ...}. Jeder adaptierte Prozess X =
(Xt)t∈I hat eine fast sicher eindeutige Zerlegung X = M + A, wobei M ein Martingal und A
prävisibel ist. Insbesondere ist X genau dann ein Submartingal falls A fast sicher nicht fällt.
Beweis. Definiere den prävisiblen Prozess A = (At)t∈I durch
At =
t�
E[Xs − Xs−1|Fs−1]. (5.2) eq:doob1
s=1
Dann ist M = X − A ein Martingal, denn
E[Mt − Mt−1|Ft−1] = E[Xt − Xt−1|Ft−1] − (At − At−1) = 0.
Kommen wir zur Eindeutigkeit der Darstellung. Falls X = M + A für ein Martingal M und
einen prävisiblen Prozess A, so ist At − At−1 = E[Xt − Xt−1|Ft−1] für alle t = 1, 2, ..., d.h.
(5.2) gilt fast sicher.
Definition 5.6. Sei I = {0, 1, 2, ...} und X = (Xt)t∈I ein quadratisch integrierbares Martingal.
Der fast sicher eindeutig bestimmte, prävisible Prozess (〈X〉t)t∈I, für den (X 2 t − 〈X〉t)t∈I
ein Martingal ist, heißt der quadratische Variationsprozess von X.
Bemerkung 5.7. Da wegen Proposition 5.4 der Prozess (X 2 t )t∈I ein Submartingal ist, nennt
man (〈X〉t)t∈I auch den wachsenden Prozess von X.
Proposition 5.8. Sei I = {0, 1, 2, ...}, X = (Xt)t∈I ein Martingal mit quadratischem Variationsprozess
〈X〉 = (〈X〉t)t∈I. Dann ist
und
〈X〉t =
t�
E[X 2 s − X 2 s−1|Fs−1] =
s=1
t�
E[(Xs − Xs−1) 2 |Fs−1]
s=1
E[〈X〉t] = V[Xt − X0].
Beweis. Wie im Beweis von Proposition 5.5 kann man den Prozess 〈X〉 mittels (5.2) schreiben.
Daraus folgt sofort das erste Gleichheitszeichen. Das zweite folgt, da E[XsXs−1|Fs−1] = X 2 s−1 .
Weiter ist
E[〈X〉t] =
t�
E[X 2 s − X 2 s−1] = E[X 2 t − X 2 0] = E[(Xt − X0) 2 ] = V[Xt − X0].
s=1