Manuskript

KAPITEL 1. WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE I 3
2. Zwei messbare Funktionen f, g stimmen genau dann bis auf eine µ-Nullmenge überein,
falls µ[f; A] = µ[g; A] für alle A ∈ A. Hierbei ist µ[f; A] = µ[f1A].
Folgende Konvergenzsätze sind wichtige Hilfsmittel für das Integral.
Theorem 1.8 (Satz von der monotonen Konvergenz). Seien f, g, f1, f2, ... messbar mit fn ≥ g
und µ[g] > −∞ sowie fn ↑ f fast sicher. Dann ist µ[fn] n→∞
−−−→ µ[f]. Beide Seiten können ∞
annehmen.
Theorem 1.9 (Lemma von Fatou). Seien g, f1, f2, ... messbar mit fn ≥ g fast überall und
µ[g] > −∞. Dann ist
µ[lim inf
n→∞ fn] ≤ lim inf
n→∞ µ[fn].
Theorem 1.10 (Satz von der majorisierten Konvergenz). Seien g, f, f1, f2, ... messbar mit
|fn| ≤ g und g integrierbar. Falls fn n→∞
−−−→ f fast überall, dann ist µ[|fn − f|] n→∞
−−−→ 0.
Stochastik
Im Folgenden sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (Ω ′ , A ′ ) ein Messraum. Messbare
Abbildungen X : Ω → Ω ′ heißen Zufallsvariable. Wir schreiben E[X] := P[X] für das Integral
von P über X.
Proposition 1.11 (Tschebyscheff-Ungleichung). Sei a, p > 0 und X eine Zufallsvariable, so
dass |X| p integrierbar ist. Dann ist
P{|X| > a} ≤ E[|X|p ]
ap .
Definition 1.12 (Unabhängigkeit).
Ei ⊆ A heißt unabhängig, falls
1. Eine Familie {Ei : i ∈ I} von Mengensystemen
� �
P
�
= �
P(Aj)
j∈J
Aj
für alle endlichen J ⊆ I und Aj ∈ Ej, j ∈ J.
Eine Familie von Zufallsvariablen {Xi : i ∈ I} ist unabhängig, wenn {σ(Xi) : i ∈ I}
unabhängig ist.
Eine Familie von Mengen {Ai : i ∈ I} mit Ai ∈ A ist unabhängig, falls {1Ai : i ∈ I}
unabhängig ist.
j∈J
2. Sei A1, A2, ... ⊆ A eine Folge von σ-Algebren. Dann ist
T (A1, A2, ...) = � � �
σ
n≥1
m≥n
die σ-Algebra der terminalen Ereignisse von A1, A2, ....
Unter Unabhängigkeit ist die σ-Algebra der terminalen Ereignisse besonders einfach.
Theorem 1.13 (Kolmogoroff’sches 0-1 Gesetz). Sei A1, A2, ... ⊆ A eine Folge unabhängiger
σ-Algebren. Dann ist T := T (A1, A2, ...) trivial, d.h. P(A) = 0 oder P(A) = 1 für A ∈ T .
Am
�