Manuskript

KAPITEL 2. L P -RÄUME 13
2. ||Xn||p n→∞
−−−→ ||X||p,
3. Die Familie {|Xn| p : n = 1, 2, ...} ist gleichgradig integrierbar.
Beweis. Die Äquivalenz 1. ⇔ 3. ist klar aus Theorem 2.15.
1. ⇒ 2.: folgt aus der Minkowski’schen Ungleichung mit
�
�||Xn|| p∧1
p − ||X|| p∧1
�
�
p ≤ ||Xn − X|| p∧1 n→∞
p −−−→ 0.
2. ⇒ 3.: Für festes K ist
E[|Xn| p ; |Xn| > K] ≤ E[|Xn| p − (|Xn| ∧ (K − Xn) + ) p ] n→∞
−−−→ E[|X| p − (|X| ∧ (K − X) + ) p ].
Die Konvergenz folgt hierbei, da E[|Xn| p ] n→∞
−−−→ E[|X| p ], und (|Xn| ∧ (K − Xn) + ) p n→∞
−−−→ L1 |X| ∧ (K − X) + ) p , da die Konvergenz nach Proposition 1.21 stochastisch gilt und ((|Xn| ∧
(K −Xn) + ) p )n=1,2,... beschränkt, insbesondere gleichgradig integrierbar ist. Da E[|X| p−(|X|∧ (K − X) + ) p ] K→∞
−−−−→ 0 nach majorisierter Konvergenz, ist {|Xn| p : n = 1, 2, ...} gleichgradig
integrierbar.
2.3 Der Raum L 2
In diesem Abschnitt ist (Ω, A, µ) ein Maßraum (und nicht notwendigerweise ein Wahrscheinlichkeitsraum);
insbesondere verwenden wir f, g, ... für reellwertige Funktionen auf Ω. Auch
hier identifizieren wir zwei Funktionen f, g, falls f = g µ-fast überall. Beachte, dass die
Vollständigkeit von L 2 (Proposition 2.7) auch für den allgemeinen Fall gilt.
Definition 2.18. Sei V eine Vektorraum über R. Eine Abbildung 〈., .〉 : V × V → R heißt
Skalarprodukt, falls
1. (Linearität) 〈x, αy + z〉 = α〈x, y〉 + 〈x, z〉 für alle x, y, z ∈ V und α ∈ R
2. (Symmetrie) 〈x, y〉 = 〈y, x〉
3. (Positive Definitheit) 〈x, x〉 > 0 für jedes x ∈ V \ {0}.
Durch das Skalarprodukt wird die Norm ||x|| := 〈x, x〉 1/2 auf V definiert. Ist (V, ||.||) vollständig,
so heißt (V, 〈., .〉) ein Hilbertraum.
Beispiel 2.19. Auf V = L2 definieren wir
�
〈f, g〉 := µ[fg] :=
fgdµ.
Dann ist 〈., .〉 offensichtlich linear, symmetrisch und (falls 0 ∈ L 2 aus allen Funktionen besteht,
die µ-fast überall 0 sind) positiv definit. Da ||f|| := ||f||2 = 〈f, f〉 1/2 , ist nach Proposition 2.7
||.|| vollständig, (L 2 , 〈., .〉) also ein Hilbertraum.
Lemma 2.20. Sei 〈., .〉 ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum V und ||.|| die davon
erzeugte Norm. Dann gilt für x, y ∈ V die Parallelogrammidentität
||x + y|| 2 + ||x − y|| 2 = 2||x|| 2 + 2||y|| 2 .