Manuskript

KAPITEL 5. MARTINGALE 39
Beispiel 5.12. Martingaltransformierte kann man auch als Auszahlungen von Spielsystemen
interpretieren. Gegeben, eine zufällige Größe entwickelt sich gemäß des adaptierten Prozesses
X = (Xt)t=0,1,2,.... Wettet man vor Zeit t mit einem Einsatz Ht (basierend auf den Erfahrungen,
die aus X0, ..., Xt−1 gewonnen wurden) auf die Änderung der zufälligen Größe Xt −Xt−1,
so ist (H · X)t der bis zur Zeit t realisierte Gewinn. Gegeben der zugrunde liegende Prozess
X ist ein Martingal, zeigt Proposition 5.11, dass der erzielte Gewinn H · X für jede Strategie
H ein Martingal ist. Insbesondere ist der erwartete Gewinn 0.
Als Beispiel betrachten wie das Petersburger Paradoxon: eine faire Münze wird unendlich
oft geworfen. In jeder Runde setzt ein Spieler einen Einsatz in beliebiger Höhe. Kommt Kopf,
verliert er ihn, kommt Zahl, so wird der Einsatz verdoppelt wieder ausbezahlt. Das Paradox
besteht aus folgender Strategie: startend mit einem Einsatz von 1 beim ersten Münzwurf,
verdoppelt der Spieler bei jedem Misserfolg seinen Einsatz. Kommt der erste Erfolg im t-ten
Wurf, so beträgt sein bisheriger Einsatz �t i=1 2i−1 = 2t − 1. Da der letzte Einsatz 2t−1war, bekommt der Spieler also 2t zurück, hat also sicher einen Gewinn von 1 gemacht, obwohl das
Spiel fair war.
Um dieses Spiel mittels Martingalen zu analysieren, sei X1, X2, ... eine unabhängig, identisch
verteilte Folge mit P[X1 = −1] = P[X1 = 1] = 1
2 , und S0 = 0, St = �t i=1 Xi. Dann ist
S = (St)t=0,1,2,... ein Martingal. Weiter sei Ht der Einsatz im t-ten Spiel. Dann ist
(H · S)t =
t�
Hi(Si − Si−1) =
i=1
t�
i=1
HiXi
der Gewinn nach dem t-ten Spiel. Da mit S auch H · S ein Martingal ist, gilt
lim
t→∞ E[(H · S)t] = E[(S · H)1] = E[X1] = 0,
d.h. der mittlere Gewinn nach langer Zeit ist 0, unabhängig von der Strategie H. Oben haben
wir den Einsatz
Ht := 2 t−1 1 {St−1=−(t−1)} (5.3) eq:H
betrachtet und gezeigt, dass für den Gewinn (H · S)t t→∞
−−−→fs 1 gilt.
Wie bewerten wir nun die Strategie (5.3)? Sei T die zufällige Zeit des Gewinns, d.h. T ist
. Insbesondere ist T fast sicher endlich. Dann ist
geometrisch verteilt mit Parameter 1
2
� �∞
E
t=1
Ht
�
=
∞�
k=1
1
2 k (2k − 1) = ∞,
d.h. für die obige Strategie benötigt man unter Umständen sehr viel Kapital.
5.3 Optional Stopping und Optional Sampling
P:optStop Proposition 5.13 (Optional Stopping). Sei I = {0, 1, 2, ...} und X = (Xt)t∈I ein (Sub,
Super)-Martingal und T eine fast sicher endliche Stoppzeit. Dann ist X T = (XT ∧t)t∈I ein
(Sub, Super)-Martingal.