Manuskript

KAPITEL 4. EINFÜHRUNG IN STOCHASTISCHE PROZESSE 29
2. Definition Regulärer Inhalt: Sei K ein kompaktes System und µ ein Inhalt auf einem
Mengensystem R. Der Inhalt µ heißt von innen K−regulär, falls für alle A ∈ K
gilt.
µ(A) = sup
K∋K⊆A
µ(K)
3. Satz 11.4 aus der Wahrscheinlichkeitstheorie I: Sei H ein Halbring (∅ ∈ H, A, B ∈ H =⇒
A ∩ B ∈ H und es gibt paarweise disjunkte C1, ..., Cn mit A \ B = � Ci) und K ⊆ H ein
kompaktes System. Jeder von innen K-reguläre endliche Inhalt µ auf H ist σ−additiv,
d.h. ein Prämaß.
4. Lemma 11.5 aus der Wahrscheinlichkeitsthroeie I: Sei (E, r) vollständig und separabel
und E := B(E), K das Mengensystem der kompakten Mengen. Dann ist jedes endliche
Maß µ auf E von innen K-regulär.
Beweis. Sei
H := {π −1
J (× Aj) : J ⋐ I, Aj ∈ E}.
j∈J
und µ ein Inhalt auf H, definiert durch die projektive Familie mittels
� �
�
µ
= PJ .
π −1
J × Aj
j∈J
�
× Aj
j∈J
Man prüft nach, dass H ein Halbring und µ ein wohldefinierter Inhalt auf H ist. Weiter ist
K := {π −1�
�
J
Kj : J ⋐ I, Kj kompakt} ⊆ H
× j∈J
ein kompaktes System.
Wir zeigen nun, dass µ von innen K-regulär ist. Sei ε > 0, π −1�
�
J ×j∈J Aj ∈ H für J ⋐ I
und Aj ∈ E, j ∈ J. Da Pj für j ∈ I ein Maß ist, gibt es nach Bemerkung 4.8.4 kompakte
Mengen Kj ∈ E mit Kj ⊆ Aj und Pj(Aj \ Kj) ≤ ε. Damit ist
�
µ π −1�
� � � −1
J × Aj \ πJ × Kj
j∈J
j∈J
� �
= µ π −1
�
�
J (× Aj) \ (× Kj
j∈J j∈J
��
�� � � �
= PJ × Aj \ × Kj
j∈J j∈J
�
� �
≤ PJ (π J j ) −1 �
(Aj \ Kj)
≤ �
j∈J
j∈J
PJ
�
(π J j ) −1 �
(Aj \ Kj)
= �
Pj(Aj \ Kj)
j∈J
≤ |J|ε.
Da J endlich und ε > 0 beliebig war, ist also µ von innen K-regulär. Nach Bemerkung
4.8.3 ist µ also σ-additiv, d.h. ein Prämaß. Insbesondere lässt es sich eindeutig zu einem
Wahrscheinlichkeitsmaß PI auf σ(H) = E I fortsetzen.