Manuskript

KAPITEL 2. L P -RÄUME 17
und deshalb
νa = 1 A∩ e A · νa = 1 A∩ e A · ν = 1 A∩ e A · �νa = �νa,
νs = ν − νa = ν − �νa = �νs.
T:RaNy Korollar 2.28 (Satz von Radon-Nikodym). Seien µ und ν σ-endliche Maße. Dann hat ν
genau dann eine Dichte bzgl. µ, wenn ν ≪ µ.
Beweis. ’⇒’: klar.
’⇐’: Nach Theorem 2.27 gibt es eine eindeutige Zerlegung ν = νa + νs mit νa ≪ µ, νs ⊥ µ. Da
ν ≪ µ, muss νs = 0 gelten und damit ν = νa. Insbesondere existiert die Dichte von ν bzgl.
µ.
Beispiel 2.29. Im Zerlegungssatz von Lebesgue 2.27 und im Satz von Radon-Nikodym 2.28
darf man die Voraussetzung, dass µ und ν σ-endlich sind nicht weglassen, wie folgendes
Beispiel zeigt:
Sei (Ω, A) ein Messraum mit überabzählbarem Ω und
A := {A : A oder A c abzählbar}.
Seien µ und ν unendliche Maße auf (Ω, A), gegeben durch
�
0, A abzählbar,
ν(A) :=
µ(A) :=
∞, sonst
�
|A|, A endlich,
∞, sonst
Dann ist offenbar ν ≪ µ. Angenommen, es gäbe eine A-messbare Dichte von ν bzgl. µ, so
wäre für alle ω ∈ Ω
0 = ν{ω} = µ[f; {ω}] = f(ω)µ({ω}) = f(ω).
Damit wäre f = 0 und ν = 0 im Widerspruch zur Definition von ν.
.