Manuskript

Kapitel 1
Wiederholung und Nachtrag
Wahrscheinlichkeitstheorie I
Oft werden wir es mit einem Messraum (Ω, A) und einem Maßraum (Ω, A, µ) zu tun haben.
Hierbei ist Ω eine Menge, A ⊆ P(Ω) eine σ-Algebra und µ ein Maß auf A. Oft wird µ = P
ein Wahrscheinlichkeitsmaß sein.
1.1 Wiederholung
Maßtheorie
Definition 1.1. 1. Ein Mengensystem A ⊆ P(Ω) heißt σ-Algebra, falls
(a) Ω ∈ A
(b) A ∈ A =⇒ A c ∈ A
(c) A1, A2, ... ∈ A =⇒ �
n≥1 An ∈ A.
2. Für ein beliebiges Mengensystem E ist σ(E) := � {A ⊇ E : A ist σ-Algebra} die von E
erzeugte σ-Algebra.
3. Für einen topologischen Raum (Ω, T ) bezeichne B(Ω) := σ(T ) die Borel’sche σ-Algebra
auf Ω. Ist (Ω, r) ein metrischer Raum, so erzeugt die Metrik r eine Topologie T (r) und
wir setzen B(Ω) := σ(T (r)).
4. Eine Abbildung µ : A → [0; ∞) auf dem Mengensystem A heißt Prämaß, falls
(a) µ(∅) = 0
(b) Sind A1, A2, ... ∈ A disjunkte Mengen mit �
n≥1 An ∈ A, so ist
� � �
µ = �
µ(An).
n≥1
An
Die zweite Eigenschaft heißt σ-Additivität. Ist A eine σ-Algebra, so heißt µ Maß.
5. Gibt es Mengen E1, E2, ... ∈ A mit En ↑ Ω und µ(En) < ∞, n = 1, 2, ..., so heißt das
Maß σ-endlich. Gilt µ(Ω) < ∞, so ist das Maß endlich. Ein Maß mit µ(Ω) = 1 heißt
Wahrscheinlichkeitsmaß.
1
n≥1