Manuskript

KAPITEL 3. DIE BEDINGTE ERWARTUNG 19
Insbesondere gilt mit J = N also E � E[X|F] � = E[X]. Die Definition der bedingten Erwartung
(3.1) lässt sich mit Hilfe der Eigenschaft (3.2) auf beliebige σ-Algebren F ⊆ A verallgemeinern.
ex:bedErw Beispiel 3.1. Sei X gleichverteilt auf [0, 1], d.h. die Verteilung von X hat Dichte 1 [0;1]. Gegeben
X = x ist Y binomialverteilt mit n und x, d.h. Y zählt die Anzahl der Erfolge in n
unabhängigen Experimenten mit Erfolgswahrscheinlichkeit x. Intuitiv ist klar, dass das
P({Y = k}|X) =
� �
n
X
k
k (1 − X) n−k
bedeuten sollte. Dies ist allerdings bisher nicht definiert, da P{X = x} = 0 gilt.
3.2 Definition und Eigenschaften
T:be Theorem 3.2 (Existenz und Eigenschaften der bedingten Erwartung). Sei F ⊆ A eine σ-
Algebra. Dann gibt es einen fast sicher eindeutigen, linearen Operator E[.|F] : L 1 → L 1 (F),
so dass für alle X ∈ L 1
1. E � E[X|F]; A � = E[X; A] für alle A ∈ F.
Weiter gilt
2. E[X|F] ≥ 0, falls X ≥ 0.
3. E � |E[X|F]| � ≤ E[|X|].
4. Falls 0 ≤ Xn ↑ X für n → ∞, so ist auch E[Xn|F] ↑ E[X|F] in L 1 , falls alle Erwartungen
existieren.
5. Falls X eine F-messbare Funktion ist, so gilt E[XY |F] = XE[Y |F], falls alle Erwartungen
existieren.
6. E � XE[Y |F] � = E � E[X|F]Y � = E � E[X|F]E[Y |F] � , falls alle Erwartungen existieren.
7. Ist F ⊆ G, so ist E � E[X|G]|F � = E[X|F].
8. Ist X unabhängig von F, so ist E[X|F] = E[X].
Beweis. 1. im Fall X ∈ L 2 : Sei M der abgeschlossene lineare Teilraum von L 2 , der aus allen
Funktionen besteht, die bis auf eine Nullmenge mit einer F-messbaren Funktion übereinstimmen.
Nach Proposition 2.21 gibt es nun fast sicher eindeutige Funktionen Y ∈ M, Z ⊥ M mit
X = Y +Z. Wir definieren E[X|F] := Y . Damit gilt X−E[Y |F] ⊥ M, also E[X−E[X|F]; A] =
0 für A ∈ F, woraus 1. für X ∈ L 2 folgt.
3. im Fall X ∈ L 2 : Wähle A := {E[X|F] ≥ 0}. Nach 1. gilt dann
E[|E[X|F]|] = E[E[X|F]; A] − E[E[X|F]; A c ] = E[X; A] − E[X; A c ] ≤ E[|X|].
1. im Fall X ∈ L 1 : Ist X ∈ L 1 ⊃ L 2 , so wähle X1, X2, ... ∈ L 2 mit ||Xn − X||1 n→∞
−−−→ 0
(etwa so, dass |Xn| := |X| ∧ n), und definiere E[X|F] := limn→∞ E[Xn|F]. Dieser Grenzwert
existiert in L 1 , da wegen 3.
E[|E[Xn|F] − E[Xm|F]|] = E[|E[Xn − Xm|F]|] ≤ E[|Xn − Xm|] n,m→∞
−−−−−→ 0
(3.3) eq:exBedErw1