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KAPITEL 6. MARTINGALKONVERGENZSÄTZE 45
Beweis. 1. Nach Proposition 5.4 ist (|Xt| p )t∈I ein Submartingal und die Behauptung folgt
nach Lemma 6.2.
2. Die erste Ungleichung ist klar. Für die zweite Ungleichung beachte, dass nach Lemma 6.2
gilt, dass
Also ist für K > 0
λP{sup
s≤t
|Xs| ≥ λ} ≤ E[|Xs|; sup |Xs| ≥ λ].
s≤t
E[sup(|Xs|
∧ K)
s≤t
p �
] = E
� sups≤t |Xs|∧K
pλ
0
p−1 �
dλ
�
= E
� K
pλ p−1 �
1 {λ 2γ]
t→∞
−−−→ 0, im
Widerspruch zum zentralen Grenzwertsatz. Gesucht ist nun eine Funktion t ↦→ h(t), so dass
lim sup
t→∞
fast sicher. Wir werden nun folgendes zeigen:
St
h(t) = 1 (6.1) eq:iL1