Manuskript

Inhaltsverzeichnis
1 Wahrscheinlichkeitstheorie I 1
1.1 Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Nachtrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 L p -Räume 7
2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 L p -Konvergenz (oder Konvergenz im p-ten Mittel) . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Der Raum L 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz und Satz von Radon-Nikodym . . . . . . . . . 15
3 Die bedingte Erwartung 18
3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Der Fall F = σ(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Reguläre Version der bedingten Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Einführung in stochastische Prozesse 27
4.1 Definition und Existenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Beispiel: der Poisson-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Filtrationen und Stoppzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Martingale 35
5.1 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Stochastisches Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3 Optional Stopping und Optional Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6 Martingalkonvergenzsätze 44
6.1 Die Doob’sche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2 Konvergenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.3 Rückwärtsmartingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7 Ergodentheorie 53
7.1 Begriffe und einfache Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2 Ergodensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.3 Anwendung: Markov-Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
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