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KAPITEL 3. DIE BEDINGTE ERWARTUNG 21
Bemerkung 3.3. 1. Sei X ∈ L 2 . Wie der Beweis von 1. in Theorem 3.2 zeigt, ist X −
E[X|F] senkrecht auf dem linearen Teilraum aller F-messbaren Funktionen. Insbesondere
ist E[X|F] diejenige F-messbare Zufallsvariable, die (im Sinne der L 2 -Norm) der
Zufallsvariable X am nächsten kommt. Deswegen kann man sagen, dass E[X|F] die
beste Schätzung von X ist, wenn Informationen aus der σ-Algebra F zur Verfügung
stehen.
2. Die fast sicher eindeutige Existenz der bedingten Erwartung mit der Eigenschaft 1.
in Theorem 3.2 kann man anders als oben mit Hilfe des Satzes von Radon-Nikodym
(Korollar 2.28) beweisen:
Sei zunächst X ≥ 0. Setze � P := P|F, die Einschränkung von P auf F, und µ(.) := � E[X; .]
ein endliches Maß. Dann gilt offenbar µ ≪ � P. Der Satz von Radon-Nikodym stellt sicher,
dass µ eine Dichte bzgl. � P hat, d.h. es eine F-messbare Zufallsvariable Z gibt mit
E[X; A] = � E[X; A] = µ(A) = � E[Z; A] = E[Z; A]
für alle A ∈ F. Damit erfüllt Z die Eigenschaften von 1. aus Theorem 3.2.
Im allgemeinen Fall (d.h. X kann auch negative Werte annehmen) sei E[X + |F] eine
Version der bedingten Erwartung von X + und E[X − |F] eine Version der bedingten
Erwartung von X − . Setze E[X|F] := E[X + |F] − E[X − |F]. Dann ist
E � E[X|F]; A � = E � E[X + |F]; A � − E � E[X − |F]; A � = E[X + ; A] − E[X − ; A] = E[X; A].
Zum Beweis der (fast sicheren) Eindeutigkeit der bedingten Erwartung sei Z ′ eine
weitere, F-messbare Zufallsvariable mit E[Z ′ ; A] = E[X; A]. Dann muss E[Z ′ ; A] =
E � E[X|F]; A � für alle A ∈ F gelten, d.h. Z ′ = E[X|F] fast sicher.
P:jensenBed Proposition 3.4 (Jensen’sche Ungleichung für bedingte Erwartungen). Sei I ein offenes Intervall,
F ⊆ A und X ∈ L 1 mit Werten in I und ϕ : I → R konvex. Dann gilt
E[ϕ(X)|F] ≥ ϕ(E[X|F]).
Beweis. Da I offen ist, liegt E[X|F] ∈ I fast sicher. Beachte die Definition von λ in Lemma
1.18. Weiter ist nach Lemma 1.18 für x ∈ I
und damit
ϕ(x) ≥ ϕ(E[X|F]) + λ(E[X|F])(x − E[X|F])
E[ϕ(X)|F] ≥ E[ϕ(E[X|F])|F] + E[λ(E[X|F]) · (X − E[X|F])|F]
= ϕ � E[X|F] � .
Theorem 3.5 (Majorisierte und monotone Konvergenz für bedingte Erwartungen). Sei F ⊆
A und X1, X2, ... ∈ L 1 . Sei eine der Bedingungen erfüllt:
1. Sei X ∈ L 1 , so dass Xn ↑ X fast sicher.
2. Ist Y ∈ L 1 , so dass |Xn| ≤ |Y | für alle n, und Xn n→∞
−−−→ X fast sicher.