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KAPITEL 6. MARTINGALKONVERGENZSÄTZE 47
2. Nun zeigen wir, dass für N(0, 1)-verteilte X1, X2, ... die Funktion h aus (6.2) die Gleichung
(6.1) erfüllt. Unter dieser Voraussetzung ist St ∼ N(0, t). Unsere Strategie ist
nun, in (6.1) sowohl ’≤’ als auch ’≥’ zu zeigen.
’≤’: Für θ ∈ R ist (e θSt )t∈I nach Proposition 5.4 ein Submartingal. Für alle t und alle
c > 0 gilt mit Proposition 6.3 und (6.5)
P[sup
k≤t
Mit θ = c/t gilt also
Sk ≥ c] = P[sup e
k≤t
θSk θc −θc θSt −θc+θ
≥ e ] ≤ e E[e ] = e 2t/2 P[sup Sk ≥ c] ≤ e
k≤t
−c2 /(2t)
.
Sei nun K > 1 und cn = Kh(K n−1 ) mit h aus (6.2). Dann lesen wir aus dem soeben
gezeigtem
P[ sup
k≤Kn Sk ≥ cn] ≤ e −c2n/(2Kn ) −K log((n−1) log K) −K −K
= e = (n − 1) (log K) .
Insbesondere sind diese Wahrscheinlichkeiten summierbar in n. Das Borel-Cantelli-
Lemma zeigt nun, dass sup k≤K n Sk ≤ cn für fast alle n gilt. Für t so, dass K n−1 ≤
t ≤ K n haben wir nun
für fast alle n. Mit anderen Worten,
Sk ≤ sup
t≤Kn St ≤ Kh(K n−1 ) ≤ Kh(t)
lim sup
t→∞
St
≤ K
h(t)
fast sicher. Da K > 1 beliebig war, ist also ’≤’ in (6.1) gezeigt.
’≥’: Sei N > 1 (typischerweise groß) und ε > 0 (typischerweise klein). Definiere die
Ereignisse
An := {S N n+1 − SN n > (1 − ε)h(N n+1 − N n )}.
Da S N n+1−SN n ∼ N(0, N n+1 −N n ), gilt nach (6.4) mit x = (1−ε) � 2 log log(N n+1 − N n )
�
SN n+1 − SN
P(An) = P
n
√
N n+1 − N n > (1 − ε)h(N n+1 − N n )
�
√
N n+1 − N n
= P{X1 > x} ≥ 1
√ 2π
x
1 + x 2 e−x2 /2 .
Damit sind diese Wahrscheinlichkeiten nicht summierbar in n. Da die Ereignisse A1, A2, ...
unabhängig sind, gilt nach dem Borel-Cantelli Lemma, dass unendlich viele der An zutreffen.
Also gilt für unendlich viele n
S N n+1 > (1 − ε)h(N n+1 − N n ) + SN n.
Nach der ’≤’-Richtung ist SN n > −2h(N n ) für fast alle n, d.h. SN n/h(N n+1 ) n→∞
−−−→ 0
fast sicher. Weiter ist h(N n+1 − N n )/h(N n+1 ) n→∞
−−−→ 1 und damit
lim sup
t→∞
St
≥ lim sup
h(t) n→∞
Da ε > 0 beliebig war, folgt ’≥’ in (6.1).
SN n+1
h(N n+1 ≥ 1 − ε
)