Manuskript

Kapitel 5
Martingale
5.1 Definition und Eigenschaften
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, I ⊆ R eine Indexmenge und F = (Ft)t∈I eine
Filtration.
Bemerkung 5.1. Für eine A-messbare Zufallsvariable X kann man einen stochastischen
Prozess definieren, nämlich (Xt)t∈I mit
Natürlich ist dann, wegen Theorem 3.2.7
Xt := E[X|Ft]. (5.1) eq:mart1
E[Xt|Fs] = E[E[X|Ft]|Fs] = E[X|Fs] = Xs.
Stochastische Prozesse X mit der Eigenschaft werden wir Martingale nennen. In Abschnitt
6 wird es dann (unter anderem) darum gehen, wann es zu einem Martingal (Xt)t∈I eine
Zufallsvariable X gibt, so dass (5.1) gilt.
Definition 5.2. Sei X = (Xt)t∈I ein adaptierter, reellwertiger stochastischer Prozess mit
E[|Xt|] < ∞, t ∈ I. Dann heißt X
Martingal, falls E[Xt|Fs] = Xs für s, t ∈ I, s < t,
Submartingal, falls E[Xt|Fs] ≥ Xs für s, t ∈ I, s < t,
Supermartingal, falls E[Xt|Fs] ≤ Xs für s, t ∈ I, s < t.
Genauer sagen wir dass X ein F-(Sub, Super)-Martingal ist.
ex:mart Beispiel 5.3. 1. Sei X1, X2, ... eine Folge unabhängiger, integrierbarer Zufallsvariablen
mit E[Xi] = 0, i = 1, 2, ... und Ft := σ(X1, ..., Xn). Weiter sei S0 := 0 und für t = 1, 2, ...
Dann ist
St :=
t�
Xi.
i=1
E[St|Ft−1] = E[St−1 + Xt|Ft−1] = St−1 + E[Xt|Ft−1] = St−1 + E[Xt] = St−1,
d.h. (St)t=0,1,2,... ist ein Martingal.
Falls E[Xi] ≥ 0 für alle i = 1, 2, ..., so ist (St)t≥0 ein Submartingal.
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