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2.3. ERSTER HAUPTSATZ FÜR HOMOGENE EINKOMPONENTENSYSTEME 13
Differenzial der inneren Energie U = U(T,V) und dem 1. HS
( ) ( ) ∂U ∂U
dU = dT + dV , dU = δQ−pdV (2.6)
∂T
V
∂V
T
folgt:
δQ =
( ) [( ) ]
∂U ∂U
dT + +p(T,V) dV . (2.7)
∂T
V
∂V
T
Die Wärmekapazität ist also allgemein über die innere Energie gegeben:
C = δQ
dT = ( )
∂U
∂T V +[( )
∂U
∂V T +p(T,V)] dV
dT . (2.8)
2.3.2 Erwärmung bei konstantem Volumen
Für konstantes Volumen folgt dV = 0 und aus (2.8) ergibt sich:
C v ≡
( ) δQ
dT
V
=
( ) ∂U
∂T
V
, (2.9)
d.h. C v kann bei Kenntnis der kalorischen Zustandsgleichung U(T,V) sofort berechnet werden.
Für das Beispiel des idealen Gases U = 3 2 nRT erhält man C v = 3 2 nR bzw. c v = 3 2 R.
Weiterhin ist ( ) ∂U
= 0 bzw. U = U(T) , (2.10)
∂V
T
d.h. die innere Energie des idealen Gases hängt nicht vom Volumen ab. Dieses Experiment
wurde 1807 zuerst von J.L. Gay-Lussac (1778-1850) durchgeführt und später mit höherer
Präzision von J.P. Joule (1845) wiederholt.
p,T
V
V 1 2
Abbildung 2.4: Gay-Lussac-Versuch.
Die irreversible Gasexpansion (in das Vakuum)
beim Gay-Lussac-Versuch erfolgt adiabatisch isoliert,
d.h. δQ = 0. Beim Entspannen des Gases
von V 1 auf V 1 +V 2 wird keine Arbeit geleistet, d.h.
δA = 0. Damit ist laut 1. HS auch dU = 0, d.h.
die innere Energie des idealen Gases hängt nicht
vom Volumen ab, was über Temperaturmessung
bestätigt ist: T = const.
Welche Konsequenzen hat das für C v ? Untersuchen wir die Abhängigkeit vom Parameter V
mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung
( ( ) ) ( ( ) )
∂ ∂U ∂ ∂U
= ,
∂V ∂T
V T
∂T ∂V
T V
erhalten wir für das ideale Gas
( ) ∂
∂V C V
T
= 0 ,
da (∂U/∂V) T = 0. Damit ist C v = C v (T) für ideale Gase allein eine Funktion von der Temperatur
und durch eine, z.B. kalorimetrische Messung die innere Energie U(T) bestimmbar:
U(T) =
∫ T
0
C v (T ′ )dT ′ . (2.11)