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2.5. ZWEITER HAUPTSATZ: DIE ENTROPIE S 21
2.5.3 Die Entropie des idealen Gases
Für das ideale Gas gilt vereinfachend
p = nRT/V ,
( ) ∂U
∂V
T
= 0 , C v (T) =
( ) ∂U
∂T
V
,
so dass aus (2.7) die folgende Beziehung ableitbar ist:
Für die Entropie folgt sofort
δQ = C v (T)dT +nRT dV V .
dS = δQ
dT = C v(T) dT T +nRdV V , (2.30)
so dass eine Integration in der (T,V)-Ebene von Zustand (T 0 ,V 0 ) nach (T,V) das Ergebnis
∫ T,V
T 0 ,V 0
dS = S(T,V)−S(T 0 ,V 0 ) =
∫ T
C v (T)
T 0
T
∫ V
dV
dT +nR
V 0
V
(2.31)
liefert. Mit C v = const. (für ein nicht zu großes Temperaturintervall) und der Entropiekonstanten
S 0 = S(T 0 ,V 0 )−C v lnT 0 −nRlnV 0 folgt das Ergebnis für die Entropie des idealen
Gases in den Variablen (T,V):
S(T,V) = C v lnT +nRlnV +S 0 . (2.32)
Diese Beziehung kann mit Hilfe des Idealen-Gas-Gesetzes auch in andere Variablen transformiert
werden, z.B. nach S(T,p). Unter Verwendung von (2.15) erhält man aus (2.32) auch
S(T,V) = C v ln ( TV γ−1) +S 0 . (2.33)
Für einatomige Gase mit C v = 3 2nR ergibt sich aus (2.32)
( )
S(T,V) = nRln T 3/2 V +S 0 . (2.34)
Speziell für adiabatische Prozesse gilt (2.20), d.h. TV γ−1 = const., so dass diese auch immer
isentrop sind: S(T,V) = const. und dS = 0. Der Absolutwert der Entropie kann über die
Gibbs-Duhem-Relation (2.60) berechnet werden, siehe Kapitel 2.7.2. Die Bestimmung der
Entropiekonstanten ist außerdem eng mit dem 3. HS der Thermodynamik verknüpft, siehe
Kapitel 2.8.
2.5.4 Entropie für den Carnot-Prozess
Die Hauptsätze gelten für den CP: 1. HS
∮ ∮ ∮
dU = δQ+ δA = 0 → Q o +Q u +A = 0
und 2. HS
∮
∮ ∫ δQ 3
dS =
T =
2
∫
δQ 1
δQ
+ = Q o
+ Q u
= 0 .
T o 4 T u T o T u