Kapitel 12

Aus dA=−S⋅dT − p⋅dV⇒⎛ ∂S⎞ ⎛ ∂p⎞⎜ ⎟ =−⎜ ⎟⎝∂V⎠ ⎝∂T⎠TV(54)Aus dG= V ⋅dp−S⋅ dT ⇒⎛∂V⎞ ⎛∂S⎞⎜ ⎟ =−⎜ ⎟∂T∂p⎝ ⎠p⎝ ⎠T(55)1 ⎛∂V⎞Im letzeren Fall können wir den Volumenausdehnungskoeffizienten α = ⋅ ⎜ ⎟V ⎝∂T⎠erhalten:⎛∂S⎞⎜ ⎟⎝∂p⎠T= V ⋅α(56)peinsetzen, und14.4.1. Anwendungsbeispiel: Innere Energie bei isothermer Expansion∂USuche: Die Volumenkapazität: = ???∂VTVgl. Kap. 11.7.1Dazu beginnen wir mit der Gibbs´schen Gl. (44): dU = T ⋅dS −p⋅dVWir halten T fest und leiten nach dV ab (formal durch dV teilen):⎛∂U⎞ ⎛ ∂S⎞⎜ ⎟ = T⋅⎜ ⎟ −p(57) (dies ist nur eine andere Schreibweise der Gibbs´schen Gl.)⎝∂V⎠T⎝∂V⎠T⎛ ∂S⎞ ⎛ ∂p⎞Nun können wir die Maxwellgleichung (54) ⎜ ⎟ =−⎜ ⎟ einsetzen und erhalten:⎝∂V⎠T⎝∂T⎠V∂U⎛ ∂p⎞= T⋅⎜⎟ −p(58)∂V⎝∂T⎠TV ideales Gas⎛ ∂p⎞ nR ⋅Wir nutzen das ideale Gasgesetz und erhalten: ⎜ ⎟ = und setzen ein:⎝∂T⎠VV∂U n⋅R n⋅RT⋅= T⋅ − = 0∂V TV VpWie erwartet erhalten wir, dass die innere Energie bei der isothermen Expansion eines idealen Gaseserhalten bleibt (hängt nur von T ab!!, da keine zwischenmolekulare Wechselwirkung vorhanden ist,die sich bei der Expansion ändern könnte)! reales Gas⎛ ∂p⎞Wir berechnen ⎜ ⎟⎝∂T⎠⎛ a ⎞⎜p+ 2 ⎟⋅( Vm− b)= RT⎝ Vm⎠wir setzen (59) und (60) in (58) ein:Vfür ein reales Gas anhand der van der Waals Gleichung:RT ap= −V −b V(59)⇒( )2mm⇒⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂ ⎛ RT a ⎞⎞R⎜ ⎟ = − ⎟ =⎝∂T ⎠ ⎜∂T ⎜ V −b ⎟⎝ ⎝ ⎠⎠V −b2( ) V ⎟ ( )V m mVm(60)WS2012 Entropie, freie Enthalpie + Gibbs´sche Gl. 268 3.Entwurf © Dr. Ogrodnik