{V}erifikation der diskreten - Embedded Systems Group

2y 0 := C(4)(x 0 + x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 )2y 1:= C(1)x 0+C(3)x 1+C(5)x 2+C(7)x 3-C(7)x 4-C(5)x 5-C(3)x 6-C(1)x 72y 2:= C(2)x 0+C(6)x 1-C(6)x 2-C(2)x 3-C(2)x 4-C(6)x 5+C(6)x 6+C(2)x 72y 3:= C(3)x 0-C(7)x 1-C(1)x 2-C(5)x 3+C(5)x 4+C(1)x 5+C(7)x 6-C(3)x 72y 4:= C(4)x 0-C(4)x 1-C(4)x 2+C(4)x 3+C(4)x 4-C(4)x 5-C(4)x 6+C(4)x 72y 5:= C(5)x 0-C(1)x 1+C(7)x 2+C(3)x 3-C(3)x 4-C(7)x 5+C(1)x 6-C(5)x 72y 6:= C(6)x 0-C(2)x 1+C(2)x 2-C(6)x 3-C(6)x 4+C(2)x 5-C(2)x 6+C(6)x 72y 7:= C(7)x 0-C(5)x 1+C(3)x 2-C(1)x 3+C(1)x 4-C(3)x 5+C(5)x 6-C(7)x 7Abb. 2: Eindimensionale DCT als Gleichungssystem.Zur Nutzung gemeinsamer Teilterme werden diese Gleichungen nun folgendermaßenzusammengefaßt:L 0,0:= x 0+ x 7L 1,0:= L 0,0+ L 0,32y 0:= C(4)(L 1,0+ L 1,1)L 0,1:= x 1+ x 6L 1,1:= L 0,1+ L 0,22y 1:= C(1)L 0,7+ C(3)L 0,6+ C(5)L 0,5+ C(7)L 0,4L 0,2:= x 2+ x 5L 1,2:= L 0,0- L 0,32y 2:= C(2)L 1,2+ C(6)L 1,3L 0,3:= x 3+ x 4L 1,3:= L 0,1- L 0,22y 3:= C(3)L 0,7- C(7)L 0,6- C(1)L 0,5- C(5)L 0,4L 0,4:= x 3- x 42y 4:= C(4)(L 1,0- L 1,1)L 0,5:= x 2- x 52y 5:= C(5)L 0,7- C(1)L 0,6+ C(7)L 0,5+ C(3)L 0,4L 0,6:= x 1- x 62y 6:= C(6)L 1,2- C(2)L 1,3L 0,7:= x 0- x 72y 7:= C(7)L 0,7- C(5)L 0,6+ C(3)L 0,5- C(1)L 0,4Abb. 3: Eindimensionale DCT nach Zusammenfassen von gemeinsamen SubtermenDiese Implementierung benötigt nur noch 22 Multiplikationen und 28 Additionen statt dervorher nötigen 64 Multiplikationen und 56 Additionen.Das Wiederverwenden gemeinsamer Subterme, die durch die Ausnutzung der Symmetrienvon cos und sin entstanden sind, führt zu einer ersten einfachen Optimierung.Eine weitere Optimierung kann durch die Verwendung einer auf den trigonometrischenGesetzen beruhenden Rotationsoperation erreicht werden. Die Rotation um einen Winkel α istdefiniert als:y0y1:=cos() sin(), sin() cos()x0x1Diese Form der Rotation benötigt 4 Multiplikationen und 2 Additionen. Da Multiplikationenbei der Darstellung mit OBDDs einen exponentiellen Aufwand verursachen, sind sie bei der14