{V}erifikation der diskreten - Embedded Systems Group

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6.2 Ermittlung der Konstanten für die AdditionstheoremeUm diese beiden Versionen der DCT vollständig zu implementieren und dann miteinandervergleichen zu können, werden noch konkrete Werte für die Konstanten C(1), C(2), C(3),C(4), C(5), C(6) und C(7) benötigt. Nach Definition ist C(i):= cos( iπ ) , so daß alle gesuchten16C(i) irrationale Zahlen sind. Diese sind somit nicht mit endlich vielen Bits darzustellen. Einegenaue Analyse ergibt jedoch, daß zur Verifikation lediglich folgende Additionstheoremenotwendig sind:cos(x)+cos(y)=2cos( x+y x−y)cos(2cos(x)−cos(y)=2sin( x+y22 ))sin(x−y2 )Daher stellt sich nun die Frage, ob es n-Bit Zahlenfolgende Gesetze erfüllen.C ∼ (1), C ∼ (3), C ∼ (5), C ∼ (7)gibt, welcheZur Ermittlung der Werte werden nur die folgenden Gleichungen, die sich aus denAdditionstheoremen ergeben, benötigt. Diese Gleichungen werden nun in der Schreibweise derDCT dargestellt.(1) 2C ∼ (4)C ∼ (1) := C ∼ (3)+C ∼ (5)(2) 2C ∼ (4)C ∼ (3) := C ∼ (1)+C ∼ (7)(3) 2C ∼ (4)C ∼ (5) := C ∼ (1)−C ∼ (7)(4) 2C ∼ (4)C ∼ (7) := C ∼ (3)−C ∼ (5)Abb. 8: AdditionstheoremeFür diese vier Gleichungen wurde nun ebenfalls ein generisches SMV-Modul geschaffen, dasin der Lage ist, ein SMV-Modul für eine vorgegebene Bitbreite zu erzeugen. Eineschematische Darstellung dieser Schaltung ist in Abb. 7 zu sehen.Dieser SMV-Beschreibung der Additionstheoreme wurde eine Spezifikation angefügt, diebesagt, daß es keine 5 von Null verschiedene ganzen Zahlen gibt, die die obigen Gleichungenerfüllen. SMV versucht dann diese Spezifikation zu beweisen, was bedeutet, daß es für dieseBitbreite eben keine solche Zahlen gibt oder andernfalls einen Gegenbeweis anzutreten indem5 solche Zahlen genannt werden. Sollte SMV in der Lage sein für eine gewisse Bitbreite nsolche Zahlen zu finden, die alle 4 Gleichungen erfüllen, so gelten diese Zahlen natürlich auchfür alle größeren Bitbreiten m ≥ n. Die triviale Lösung, bei der alle 5 Zahlen gleich Null sind,wollen wir natürlich ausschließen.Die Ergebnisse finden sich in Tabelle 1 sowie in den Abbildungen 9 und 10. Das Experimentzur Ermittlung der Konstanten für 12 Bit wurde nach über 400 Stunden Rechenzeit ohneErgebnis abgebrochen.21
Bitbreite BDD-Knoten Bytes Spezifikation erfüllt ?2 957 17.498.112 ja4 26.599 18.087.936 ja6 577.803 27.262.976 ja8 11.731.678 206.110.720 jaTabelle 1: Experimentelle Ergebnisse zur Ermittlung von Konstanten für dieAdditionstheoremeAbb.9: Benötigte BDD-Knoten für Additionstheoreme mit SMV 2.4.322
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