{V}erifikation der diskreten - Embedded Systems Group

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Von dem jeweiligen Ausgang der beiden DCT-Versionen werden jedesmal die beidenDifferenzen DCT1-DCT2 und DCT2-DCT1 gebildet. Im folgenden seidie Differenz der beiden DCT-Versionen., undδ(p i )=(DCT1)mod p i −(DCT2)mod p iε(p i )=(DCT2)mod p i −(DCT1)mod p iWenn man nun zeigen kann, daß für die Residuen-Basis {p 1, ... , p j} gilt:((δ(p 1 )=δ(p 2 )) ∧ (δ(p 2 )=δ(p 3 )) ∧ ... ∧(δ(p j−1 )=δ(p j )))∨((ε(p 1 )=ε(p 2 )) ∧ (ε(p 2 )=ε(p 3 )) ∧ ... ∧(ε(p j−1 )=ε(p j ))),dann ist der Betrag der Differenz der beiden Ausgänge kleiner als die kleinste Zahl dereingegebenen Basis. Eine schematische Darstellung zeigt Abb. 19.L:L0,00,7:DCT 1modulo-p1p1p j:DCT 2 :modulo-:::DCT 1modulo-:DCT 2modulop j-DCT 1 = einfache DCT aus Abb. 3DCT 2 = DCT von Loeffler, Ligtenberg undMoschytz. (Abb. 4)Abb. 19: Schematische Darstellung der SMV-Beschreibung zur Ermittlung der oberenSchranke der Differenz für die Ausgänge 1 und 737
Diese Spezifikation konnte jedoch nicht bewiesen werden, da der Fehler mit derEingangsbitbreite stark anwächst. Die Schaltungen verwenden nämlich eineFestpunktdarstellung, welche auf der folgenden Konvertierung von R beruht: f : R→Z mitf(x) := ⎣x ⋅ 2 n ⎦ . Multiplikation mit einer Cosinus-Konstanten führt in dieser Zahldarstellungsomit zu einer impliziten Multiplikation mit 2 n , so daß sich vorhandene Fehler ebenfalls umden Faktor 2 n vergrößern. Die Cosinus-Konstanten entstanden, indem der echte Cosinus mit2 n multipliziert und dann nach n Bit abgeschnitten wurde.Die Ergebnisse an den Ausgängen 1 und 7 der beiden DCT-Versionen sind also nichtvergleichbar, solange man nur die Ergebnisse modulo eines p ihat. Es ist jedoch möglich, dieErgebnisse aus der Darstellung modulo der p iwieder in die normale Notationzurückzuwandeln. In der normalen Notation ohne die Verwendung des ChinesischenRestsatzes ließen sich die Ergebnisse an den Ausgängen 1 und 7 nämlich vergleichen. DasZurückwandeln der Werte läßt sich entweder parallel oder sequentiell bewerkstelligen. Dieparallele Variante hat den Nachteil, daß wieder eine große Zahl von Multiplizierern benötigtwird, was ja eigentlich vermieden werden sollte, und man dadurch einen großen Teil dererzielten Ressourcenersparnis wieder aufgibt. Da BDD's eine Normalform darstellen, wird hierals Resultat wieder dasselbe BDD enstehen, welches man ohne Verwendung des ChinesischenRestsatzes erhalten hätte. Die sequentielle Variante hat wiederum den Nachteil, daß in diesemFall zusätzlich ein Controller und mehrere Register benötigt werden, was den Aufwand bei derVerifikation auch beträchtlich steigert. Eine experimentelle Analyse wurde hierzu jedoch nichtmehr durchgeführt.Es ist jedoch anzunehmen, daß das Zurückwandeln der Ergebnisse in die normale Notation istalso nicht mit vertretbarem Aufwand zu machen ist. Daher läßt sich also über die Ergebnisseder Ausgänge 1 und 7 der beiden DCT-Versionen lediglich sagen, daß sie nicht gleich sind.Die Existenz einer oberen Schranke konnte mit Hilfe des SMV jedoch nicht gezeigt werden.7. SchlußfolgerungenEs ließ sich zeigen, daß Modellprüfung auch auf die Schaltungsklasse der diskretenCosinus-Transformation anwendbar ist. Es ist jedoch nicht ohne weiteres möglich größereEingangsbitbreiten zu verifizieren, da schon bei einer Eingangsbitbreite von 4 Bit dieVerifikation nicht mehr mit vernünftigem Zeitbedarf durchzuführen ist. Es ist notwendigAbstraktionsverfahren wie den Chinesischen Restsatz anzuwenden, um auch größereEingangsbitbreiten verifizieren zu können.Nach der Anwendung des Chinesischen Restsatzes kann eine Rückkonvertierung in dienormale Notation durchgeführt werden, um auch Fehlerschranken für die Ausgänge 1 und 7verifizieren zu können. Da Modellprüfer eine Normalform herstellen bringt eine paralleleRückkonvertierung keinen Gewinn, da das resultierende BDD dasselbe ist, das man ohneVerwendung des Chinesischen Restsatzes erhalten würde. Es ist also erforderlich einesequentielle Rückkonvertierung durchzuführen.38
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