Einführung des Omega - Mesons in das N ambu-J ona-Lasinio Modell

Einführung des Omega - Mesonsin dasN ambu-J ona-Lasinio Modell

Einführung des Omega-Mesonsin dasNambu-}ona-Lasinio ModellDiplomarbeit angefertigt amII. Institut für Theoretische PhysikderRuhr-Universität BochumvonCornelia SchürenReferent: Prof. Dr. K. Goeke

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellINHALTSVERZEICHNIS1. Einleitung . . .. ...••2. Das Nambu-Jona-Lasinio Modell2.1 Lagrangediehte2.2 Quantisierung und Bosonisierung2.3 Wiek-Rotation2.4 Sattelpunktentwieklung .2.5 Pauli-Villars-Regularisierung3. Das Vakuum . . .. . .3.1 Festlegung der freien Parameter3.1.1 Bewegungsgleiehungen und PCAC3.1.2 Massenidentifizierung3.1.3 Cutoff-Bestimmung .3.2 0(4) und Pauli Villars-Regularisierung3.3 Observablen des Vakuums3.3.1 Quarkkondensat und Quarkstrommasse3.3.2 Bag-Konstante .4. Das Soliton4.1 Energie des Diracsees4.2 Valenzbeitrag zur Energie .4.3 Das parametrisierte Soliton4.4 Das selbstkonsistente Soliton4.5 Observablen des Solitons4.5.1 Mean-Field-Energie .4.5.2 L:1r,N' < r 2 >, und GA5. Die Gradienten-Entwicklung14568912171818192021222224293035394247475055InhaltsverzeichnisI

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell5.1 Die Methode von Lai-Hirn Chan . . . .5.2 Gradienten-Entwicklung des NJL-Modells5.3 Die Gasser-Leutwyler-Koeffizienten6. Das Nambu-Jona-Lasinio Modell mit Omega-Meson.6.1 Einführung in das erweiterte NJL-Modell6.2 Die Heat-Kernel-Entwicklung . . . . .6.2.1 Vorstellung der Heat-Kernel-Entwicklung6.2.2 Die Heat-Kernel-Entwicklung ohne w-Meson6.2.3 Die Heat-Kernel-Entwicklung mit w-Meson6.2.4 Die Anwendung der Heat-Kernel-Entwicklungauf ein Pauli-Villars-regularisiertes Modell7. Das Soliton mit Omega-Meson ...... .7.1 Real- und Imaginärteil der effektiven Wirkung .7.2 Energie des Diracsees7.3 Lösung der Dirac-Gleichung7.4 Valenzbeitrag zur Energie.7.5 -Das parametrisierte Soliton7.6 Das selbstkonsistente Soliton8. Zusammenfassung und Ausblick56617075768081858688919195102109115124129Anhang A..•....132A.1 Minkowski-Metrik .A.2 Euklidische MetrikAnhang BB.1 Feynman-Integrale (1)B.2 RegularisierungsmethodenB.3 Pauli-Villars-RegularisierungB.4 Feynman-Integrale (2) . . .132133135135136139140InhaltsverzeichnisII

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellAnhang CAnhang DAnhang EAnhang FBerechnung der Bag-Konstanten .Berechnung notwendiger IntegraleBewegungsgleichung .Dirac-G leichung143144149150InhaltsverzeichnisIII

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell1. EinleitungEs gehört zu den wichtigsten Entdeckungen der Physik des 20.J ahrhunderts, daß die Atomeatomos: griech. 'unteilbar') keineswegs unteilbar oder elementar sind, sondern im Gegenteileine sehr komplexe Struktur aufweisen. Heute weiß man, daß der Atomkern aus Neutronen undProtonen besteht, welche sich wiederum aus noch elementareren Teilchen, den Quarks [2] , zusammensetzten.Teilchen, welche aus Quarks aufgebaut sind, unterliegen der starken vVechselwirkungund heute gilt die Quantenchromodynamik ( QCD ) [1] als die im wesentlichen richtige Theoriezur Beschreibung dieser Wechselwirkung.Es gibt nach dem heutigen Wissensstand 6 verschiedene Quarks, welche sich durch den sogenanntenflavour unterscheiden: u ( 'up' ), d ( 'down'), s ( 'strange' ), c ( 'charm' ), b ( 'beauty' ) undt ( 'top'). Mesonen stellen in diesem Zusammenhang Quark-Antiquark-Paare dar und Baryonengelten als drei Quark~Zustände. Die eigenartigste Charakteristik dieser Quarks bildet ihre drittelzahligeLadung. Überlegungen ftihrten im weiteren aufgrund des Pauli-Prinzips zur Einführungeiner neuen Quantenzahl für die Quarks, der sogenannten Farbe ( colour ). Jedes Quark kannhiernach in drei verschiedenen Farben - rot, blau und gelb - auftreten. In diesem Zusammenhangstellt die QCD nun eine nichtabelsche Eichtheorie bezüglich der Farb-SU(3)-Gruppe dar. Diesbedeutet, daß die Quarks über den Austausch von Vektorbosonen, den sogenannten Gluonen, alsEichteilchen miteinander wechselwirken. Aufgrund der Existenz von drei unterschiedlichen Farbengibt es acht verschiedene Gluonenfelder , welche jedoch wiederum eine Farbe tragen und somit auchuntereinander wechsel wirken. Diese komplexe Struktur führt dazu, daß es nicht einfach ist mit derQCD zu arbeiten. Herauszust.ellende Eigenschaften der QCD sinda) asymptotische Freiheit [3]b) confinement [4]c) chirale Symmetrie [5],wobei man unter asymptotischer Freiheit die Tatsache versteht, daß bei hohen Energien, alsokleinen Distanzen der Quarks, diese fast frei erscheinen. Auf der anderen Seite ist es jedoch nichtmöglich freie, isolierte Quarks zu beobachten. Diese Charakteristik wird confinement genannt undEinleitung 1

Einführung des w-Mesons in das NJL-Mode/lpostuliert, daß nur farbneutrale Systeme als freie Teilchen auftreten. Chirale Symmetrie, welcheunter der Annahme massenloser Quarks exakt erfüllt ist, ist verknüpft mit der Erhaltung derHelizität. Es sei schon jetzt angemerkt, daß diese Symmetrie sponton gebrochen ist.Aufgrund der asymptotischen Freiheit ist im Bereich der Hochenergiephysik die QCD mittelsder Störungstheorie lösbar. In dem restlichen Energiebereich jedoch ist die prinzipielle Behandlungder Baryonen mittels der QCD nicht möglich. 1974 hat daher K.G.Wilson erstmalsden Vorschlag gemacht, die QCD auf einem kubischen Gitter zu formulieren und anstelle desRaum-Zeit-Kontinums nur diskrete Punkte zu berechnen. Diese sogenannte Gittereichtheorie [6]führt jedoch zu numerisch sehr aufwendigen Rechnungen, so daß in den letzten Jahren verstärkteBemühungen unternommen wurden, sogenannte effektive Modelle der starken Wechselwirkungzu entwickeln, von denen man erhofft, daß sie die QCD näherungsweise im Niederenergiebereichlösen. Diese Modelle - bestehend aus Quarks, Mesonen oder Quarks und IÜesonen - zeichnen sichdurch ihre solitonischen Lösungen aus, welche als Baryonen interpretiert werden, und den gleichenSymmetrieeigenschaften wie die QCD genügen. In diesem Zusammenhang sei auf die Arbeiten vonG.t'Hooft [7] und E.Witten [8] hingewiesen, deren Hauptresultat es war, daß eine Entwicklung derQCD für große Ne ( Anzahl der colours ) zu einer Mesonentheorie fUhrt. Im weiteren zeigte sich,daß die Baryonen als Solitonen dieser Mesonentheorie entstehen.Als reine Mesonetheorie gilt das Skryme-Modell [9] , welches als die am häufigsten untersuchteTheorie gilt. Des weiteren ist das Sigma-Modell [10] von Gell-Mann und Levi zu nennen, welchessowohll'vlesonen als auch Quarks enthält. Als reine Quark-Theorie gilt das N ambu-J ona-Lasinio( NJL ) -Modell [11] , welches immer mehr an Bedeutung gewinnt und Thema dieser Diplomarbeitsein wird. Bemerkenswert ist, daß sich das NJL-Modell unter Verwendung von verschiedenenApproximationen aus der QCD ableiten läßt [12] [13]. Renormierbar ist dieses Modell nichtund somit muß eine Regularisierung eingeführt werden, um die Unendlichkeiten zu beseitigen. Indiesem Zusammenhang sind unterschiedliche Regularisierungsschemen bezüglich der hervorzubringendenObservablen betrachtet worden [60] [54] [55] . In dieser Diplomarbeit wird unter anderemdas bisher noch nicht ausgetestete Pauli-Villars-Regularisierungschema [14] eingeführt unduntersucht, da seine Anwendung im Rahmen meiner Problemstellung - im Gegensatz zu den schonausgetesteten Schemen - geeigneter schien.Es sei im weiteren angemerkt, daß es mittels der chiralen Störungstheorie möglich ist, die QCDim Bereich kleiner Energien in die sogenannte Gasser-Leutwyler-Theorie [36] zu überführen,welche 10 Parameter enthält, die durch Experimente bestimmt werden können. In diesem Zusammenhangist es sinnvoll, effektive Modelle mit dieser Theorie zu vergleichen. Im Rahmen dieserArbeit wird im Bezug auf das Nambu-Jona-Lasinio Modell diese Untersuchung durchgeführt.Obwohl das bisher untersuchte NJL-Modell selbstkonsistente Lösungen hervorbringt [62] unddie Ergebnisse der Observablen sich als befriedigend ergeben, existiert doch ein unbefriedigendesResultat: die Mean-Field-Energie. Sie ergibt sich als um einige hundert MeV zu hoch. Auch derVergleich - in dieser Diplomarbeit ausgeführt - mit der Gasser-Leutwyler-Theorie fuhrt zu keinenEinleitung 2

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellherausragenden Ergebnissen. Es ist in diesem Zusammenhang somit sinnvoll, das bisher verwendeteNambu-Jona-Lasinio Modell zu erweitern, um bessere Resultate zu erhalten. Eine Erweiterungsmöglichkeitbildet die Einführung von Vektormesonen, welche schon im Skryme-Modell [15]und Sigma-Modell [17] untersucht wurde und zu besseren Resultaten führte. Auch im NJL-Modellwurde schon von R.Alkofer und H.Reinhardt mit der Einführung eines Mesons - dem p-Meson - begonnen[18] . Hierbei ergab sich, daß das Soliton an Stabilität gewinnt und die Mean-Field-Energieerheblich herabgesetzt wird. Ziel dieser Diplomarbeit soll nun die bisher noch nicht untersuchtezusätzliche Berücksichtigung des w-Mesons im NJL-Modell sein.Zum Abschluß dieses Einführungskapitels möchte ich noch auf den Aufbau meiner Diplomarbeiteingehen. Prinzipiell besteht sie aus drei Teilen:Im ersten Teil, welcher sich über die Kapitel 2, 3 und -I erstreckt, werde ich das Nambu-Jona­Lasinio Modell in seiner bisherigen Form unter Berücksichtigung der Pauli-Villars-Regularisierungvorstellen und Observablen berechnen. Hierzu wird die Vorstellung des Modells Inhalt des zweitenKapitels sein, im Kapitel 3 folgt dann die Untersuchung des Vakuums und anschließend wird dasSoliton im Kapitel 4 betrachtet.Im zweiten Teil meiner Arbeit - siehe Kapitel 5 - werde ich das bosonisierte NJL-Modell imFall kleiner mesonischer Störungen entwickeln und sowohl mit dem Sigma-Modell als auch mit derGasser-Leutwyler-Theorie vergleichen.Im dritten Teil, welcher Inhalt von Kapitel 6 und 7 ist, folgt schließlich die Einführung desw-Mesons in das Nambu-Jona-Lasinio Modell. Hierbei gehe ich analog zum ersten Teil meinerDiplomarbeit vor, indern ich im 6ten Kapitel das erweiterte Modell vorstelle und des weiteren imKapitel 7 das Soliton untersuche. Da das Vakuum des erweiterten NJL-Modells dem des ursprünglichenModells gleicht, ist in diesem Zusammenhang keine erneute Untersuchung nötig.Im Kapitel 8 werde ich noch einmal die Ergebnisse meiner Betrachtungen zusammenfassen undeinen Ausblick auf weitere sich unmittelbar ergebende noch nicht untersuchte Themen geben.Einleitung 3

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell2. Das Nambu-Jona-LasinioModellIm Jahre 1960 entwickelten Y.Nambu und G.Jona-Lasinio [11] ein dynamisches Modell rurNukleonen und Mesonen, welches sich insbesondere dadurch auszeichnete, daß es das Prinzip derspontanen Symmetriebrechung [50] beinhaltete und auf dieser Weise die Nukleonenmasse erzeugte.Ein System ist spontan gebrochen, wenn eine Symmetrieeigenschaft der Lagrangefunktion für dessenGrundzustand, das Vakuum, nicht existiert. Angeregt wurden die Wissenschaftler Nambu undJona-Lasinio durch die Theorie der Supraleitung (BCS-Theorie), welche von Bardeen, Cooper undSchrieffer [19] drei Jahre zuvor veröffentlicht wurde. Durch die theoretische Entdeckung der Quarksim Jahre 1963 [2]- 1970 gelang der experiment.elle Nachweis - wurde das Nambu-Jona-Lasinio Modellsehr schnell wieder verworfen, da es die Mesonen und Nukleonen als Elementarteilchen auffaßte.Heute wird dem Nambu-Jona-Lasinio Modell wieder großes Interesse beigemessen, indem man nundie Fermionenfelder als Quarkfelder interpretiert und somit die schon vergessene Theorie als effektiveTheorie der Quantenchromodynamik (QCD) [1] für niedrige Energien untersucht. Wie schonin der Einleitung erwähnt, gibt es gute Gründe, die dieses Vorgehen rechtfertigen.In diesem zweiten Kapitel werde ich das NJL-Modell für den 2 Flavor Fall (up- und down­Quark) mit skalarer und pseudoskalarer Kopplung, also ohne w-Meson, vorstellen. Es sei nochmalserwähnt, daß dieses Modell nicht renormierbar ist, so daß nur durch die Einführung eines UV­Cutoff's Divergenzen beseitigt werden können. Im Gegensatz zu früheren Arbeiten wird in dieserDiplomarbeit, im Hinblick auf die Einführung des w-Mesons, die Pauli-Villars-Regularisierung [14]verwendet, welche ich ebenfalls in diesem Kapitel einführe.Das Nambu-Jona-Lasinio Modell 4

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell2.1. LagrangedichteDie Lagrangedichte des von uns verwendeten NJL-Modells ohne w-Meson für den zwei FlavorFall lautet:LNJL = ij(x)i-yllollq(x) + ~ [(ij(x)q(x))2 + (ij(x)iT'YSq(x))2] + moij(x)q(x) (2.1.1)Hierbei steht q( x) für das zwei Flavor-Quark-Feld Cl) mit Ne = 3 Farben und mo für die Quarkstromrnasse,welche sich als Mittelwert der up- (u) und down- (d) Quarkmassen, also mo = !(mu + md),ergibt. G ist die Vier-Fermion-Kopplungskonstante und hat die Dimension (Energie)2. Dies er-3gibt sich aus der Tatsache, daß die Fermionenfelder von der Dimension (Energie) 2 sind und dieLagrangedichte die Einheit (Energie)4 hat.Der erste Term der Lagrangedichte zeigt den freien Anteil, ihm folg ~n ein skalarer und pseudoskalarerVier-Fermion-Kopplungsterm. Der letzte Beitrag stellt den Quark-Massenterm dar.Im nächsten Schritt werde ich nun auf die Symmetrien der Lagrangedichte zu sprechenkommen. Sie ist invariant unter der U (1)-Transformationq -> q! = exp( -io:)q(2.1.2)als auch unter der chiralen SU(2)v x SU(2)A - Transformationmit den Pauli-Matrizen(. T _)q -> q! = exp -:2'0: q.... T_)q -> q! = exp -%'YS 2'0: q(T3=(10),(2.1.3)(2.1.4)(2.1.5)o -1wobei die letzte Invarianz nur unter der Annahme mo = 0 gilt. Nach dem Theorem von EmmaNoether [51] [4i] , hergeleitet im Jahre 1918, existiert zu jeder Symmetrie der Lagrangedichte einlokal erhaltener (divergenzfreier) Strom. In unserem Fall ergeben sich folgende Noether-StrömeB il= ij'Yllq(skalarer Strom)(2.1.6)(2.1.7)(2.1.8)welche die ErhaltungssätzeollB Il = 0OIlV Il = 0Oll Ä ll = -moijiT'Ysq(2.1.9)(2.1.10)(2.1.11)erfüllen. Im weiteren ist diese Lagrangedichte invariant unter der Poincare-Transformation.Das Nambu-lona-Lasinio Modell 5

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell2.2. Quantisierung und BosonisierungUm diese Theorie zu quantisieren verwende ich den Pfadintegralformalismus [47]. Zur Vereinfachungder komplizierten Vier-Fermion-Wechselwirkung des NJL-Modells erfolgt anschließendeine Bosonisierung, d.h. die Einftihrung von bosonischen Hilfsfeldern. Vor der Einftihrung möchteich mit einigen Wort.en den Pfadintegralformalismus erklären.Es existieren zwei Formulierungen der Quantenfeldtheorie, wobei die erste auf der Verwendungvon Feldoperatoren und ihrer kanonische Quantisierung basiert.. Das zweite Verfahren, entwickeltvon P.Dirac und R.P.Feynman, verwendet Pfadintegrale ( oder Funktionalintegrale ) über klassischeFelder.In Letzterem läßt sich die Vakuum-Vakuum-Übergangsamplitude in Anwesenheit von äußerenQuellen 1) und ij als folgendes Pfadintegral darstellen:(0, -0010, 00)1),1)= J1JqDqexp {i J-ZNJL[ij,1)]d 4 x [L:(x) + ij(x)q(x) + q(X)1)(X)]} (2.2.1)Es ist nun sehr wichtig zu beachten, daß ein Funktionalintegral ( siehe (2.2.1) ) ein Integral überalle möglichen Fermionenfelder q und q ist und somit unendliche Dimension hat. Dieses steht imUnterschied zur klassischen Feldtheorie, in welcher nur ein Integrationspfad möglich wäre. Dieserist durch die Bedingung der Existenz einer stationären Wirkung(2.2.2)festgelegt. Um Funktionalintegrale über Fermionenfelder zu lösen, muß man die Fermionenfelder,also 1), ij, q und q, als anticommutierende C-Zahlen - sog. Grassmann-Variablen [47]- ansehen.Für die grundlegende Diskussion werden im weiteren die äußeren Quellen gleich Null gesetzt.Es ergibt sich somit in diesem Fall folgendes erzeugende FunktionalZNJL = J1JqDqexp {i Jd 4 XL:NJL(X)}, (2.2.3)- L:NJL ist durch Gleichung (2.1.1) gegeben - welches gleichbedeutend dem PfadintegralZ'NJL = J 1JqDq1J(11Jifexp {i J d 4 XL:'NJL(X)} (2.2.4)mit2 2r' -' /HCl -( .- -) Ji (2 -2) moJi"-'NJL = qz'Y u/-Iq - gq (1 + ZT' 1r'Ys q - "2 (1 + 1r + -g-(1 (2.2.4a)Das Nambu-lona-Lasinio Modell 6

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellist. Diese Äquivalenz ergibt sich aus der Tatsache, daß das erzeugende Funktional nur bis auf seineNormierung definiert ist, und somit ist es möglich dieses mit einer Konstanten zu multiplizieren.Man kann mit Hilfe der Gleichung-00 -00zeigen, daß der ZusammenhangZ'=AZgilt ,wobei(2.2.5)* J Vuexp {-i%~ J d 4 XU 2 (x)} J Viexp {-i%~ J d 4 Xi 2 (x)} (2.2.6)ist. Bei der letzten Gleichheit wurde die für bosonische Felder geltende Beziehung(2.2.7)benutzt. Führt man nun noch eine neue Größe 11 ein, welche die Vier-Fermion- KopplungskonstanteG und die Quark-Meson-Kopplungskonstante g über die Beziehungg2G=2J1-(2.2.8)verknüpt, so ist die Gültigkeit der Formel (2.2.4) gezeigt*. Das neue erzeugende Funktional Z,zeigt die bosonisierte Version des NJL-Modells [21] mit den bosonischen Hilfsfeldern u(x) und i(x). Die Lagrangedichte ,C' hängt nur noch quadratisch von den Fermionenfeldern ab. Die zuletztdurchgerührten Umformungen sind äquivalent zu der Festlegung folgender Identitäten(2.2.9a)(2.2.9b)welche sich im noch folgenden Kapitel über die Sattelpunktentwicklung [47] auch als klassische Bewegungsgleichungenergeben. Diese Gleichungen zusammen mit (2.1.4) liefern die chiralen Transformationsgesetzefür u(x) und i(x). Es gilt:SU(2)v: u -> U' = UI - - - -t - ...SU(2)A: U =u-ß·7r 7r-> 7r = 7r + ßu(2.2.10)(2.2.11)* J1- werde ich im folgenden Kapitel als Bosonisierungsparameter deklarieren.Das Nambu-Jona-Lasinio Modell7

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellEs sei noch anzumerken, daß ein dem u-Feld entsprechendes Teilchen in der Natur noch nichtentdeckt wurde. Das Pion-Feld dagegen wird durch die PCAC-Relation (Partial conservation ofaxial current) [20] [51] [49] zu einem physikalischen Pion. Unter der PCAC-Relation versteht man,daß rur den Axialvektorstrom die Beziehung(2.2.12)gilt, wobei m1l" die Pionmasse und f1l"(2.1.11) und (2.2.9)die Pionzerfallskonstante ist. Daraus folgt mit Gleichung(2.2.13)Im Zusammenhang mit der Fixierung der freien Parameter im nächsten Kapitel werde ich dieseBeziehung noch einmal aufgreifen. Um den Freiheitsgrad des unphysikalischen 17- Feldes zu eliminieren,beschränke ich mich in meinen späteren Rechnungen auf den chiralen Zirkel d.h.(2.2.14)2.3. Wiek - RotationMit (2.2.3) bzw (2.2.4) hat man nun eine Gleichung [ur das erzeugende Funktional gefunden,welche es zu behandeln gilt. Man erkennt jedoch, daß dieser Ausdruck nicht wohl definiert ist,da der Integrand oszilliert. Zur Behandlung dieses Problems ist es üblich, die sogenannte Wick­Rotation durchzufuhren d.h. von der Minkowski- zur Euklidischen Metrik ( Anhang A ) überzugehen.Die Rechtfertigung [ur diesen Übergang ergibt sich aus dem Verständnis, das Pfadintegralim Minkowski-Raum als analytische Fortsetzung zu interpretieren. Hierzu ein Beispiel:Gegeben sei das Integrallei) =00 . 2/ -00e'x dx(2.3.1)Es ist nicht möglich diesem Integral auf Anhieb einen Wert zu zuordnen. Um zu einer Lösung zugelangen, sollte man erst die Funktion/00 2l(z) = -00 e Zx dx (2.3.2)betrachten, von der man weiß, daß diese gleichbedeutend mit ~ ist. Dies gilt jedoch nur unterder Voraussetzung Rez < O. Da aber die Funktion fez) = ~ analytisch im Bereich Izl > 0 ist,kann man I(z) durch fez) analytisch auf diesem Gebiet fortsetzen, was zur Gleichunglrl( ') A.F. ~ r= _i1 = "7 = V 1fe 4t(2.3.3)Das Nambu-lona-Lasinio Modell8

Einführung des w-Mesons in das NiL-Modellfuhrt, wobei AX· verdeutlichen soll, daß dieses Ergebnis mittels analytischer Fortsetzung erhaltenwurde.Wendet man dieses \\Tissen auf den Pfadintegralformalismus an , so kann man ein Pfadintegralder Form(2.3.4)also z.B. Gleichung (2.2.3), durch ähnliche Methodik lösen. Dies ist die Aussage des Euklidizitäts-Axioms[22] Praktisch vollzieht man zuerst einen Übergang vom Minkowski-Raum in denEuklidischen Raum, berechnet dort das Integral und wickrotiert danach das Ergebnis zurück inden Minkowski-Raum, d.h man folgt der Vorgehensweise zur Berechnung des Integrals I(i). Andieser Stelle sei noch ergänzend angemerkt, daß die Wiek-Rotation in der Feldtheorie mittbweileals Standardverfahren gilt. Ihre mathematische Rechtfertigung ist in der heutigen Wissenschaftjedoch immer noch sehr umstritten.2.4. SattelpunktentwicklungNach DurchfUhrung der Wiek-Rotation ergibt sich folgendes erzeugende FunktionalZ"NJL = J 'DifDq'Der'Di exp -SE (ii, q, er, if),(2.4.1)wobei(2.4.1a)ist. Hierbei führte ich der Einfachheit halber das Funktional U[er, *l mit(2.4.2)em. Unter Verwendung der Formel(2.4.3)welche im Gegensatz zu (2.2.7) fur fermionische Felder gilt, ist es möglich, die Quarkfelder herauszuintegrierenund zur Fermionendeterminante überzugehen. Nutzt man nun noch den Zusammenhangzwischen Determinanten und SpurbildungDetA = e SplnA , (2.4.4)so ergibt sich(2.4.5)Das Nambu-iona-Lasinio Modell 9

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellmit(2.4.5a)Hierbei stellt Sp die funktionale Spur(2.4.6)über Farben, Isospin und Spin dar. Im weiteren werde ich auf den Index E, der die Verwendungder euklidischen Metrik aufzeigt, verzichten.Als nächsten Schritt fuhrt man nun eine Loop-Entwicklung durch, welche einer Entwicklungin Ordnungen von Ti entspricht [23] [13] Aus diesem Grunde ist es angemessen, als Methode dieSattelpunktentwicklung zu verwenden. Unter dieser verstent man folgende Prozedur:Sei das Integral(2.4.7)gegeben und f(x) ist stationär an der Stelle xo. Unter dieser Voraussetzung ist es möglich, f(x) umdie Stelle Xo zu entwickeln, so daß sich das Gaußintegral(2.4.8)ergibt.Wendet. man diese Methode auf ein Pfadintegral der Form(2.4.9)mit.(2.4.9a)an - 4> sei ein reelles bosonisches Feld - so ergibt sich als stationäres Feld, also der Bedingung(2.2.2) genügend, das klassische Bosonenfeld 4>0 . Der Methode folgend [52] erhält man schließlichfür das FunktionalintegralJ = e-se f![ol= e -S[ol-f d 4 xd 4 y(x)G-l (x,y)(y)-O(h 2 )= e-S[ol-!hSp lnG- 1 _O(1l 2 )(2.4.10)wobei(2.4.10a)Das Nambu-Jona-Lasinio Modell 10

Einführung des w-Mesons in das NIL-Modellist und Gleichung (2.4.4) benutzt wurde. Se! ![o] nennt man hierbei die effektive Wirkung*.Nachdem ich die Sattelpunktentwicklung bezüglich der Bosonenfelder auf die Wirkung ((2.4.5))angewandt habe, nehme ich die bosonischen Felder als klassisch an , d.h. ich fuhre eine O-Boson­Loop-Approximation durch. Da die klassischen Felder den Bewegungsgleichungen (2.2.9) genügen,ist dies mit einer 1-Fermion-Loop-Entwicklung verbunden*. Daraus ergibt sich für das erzeugendeFunktionalZ = exp -Se!! . (2.4.11)Hierbei entspricht die effektive Wirkung Se!! der Wirkung aus Gleichung (2.4.5) mit klassischenMesonenfelder d.h.(2.4.12)mit fermionischen,mesonischen und symmetriebrechenden Anteil:(2.4.12a)(2.4.12b)(2.4.12c)Ergänzend zu (2.4.5) wurde hierbei der Grundzustandsbeitrag - Vakuumbeitrag - subtrahiert.Dazu wurden im Vorgriff auf das nächste Kapitel die Vakuumerwartungswerte des 0'- und 1T-Feldes(O'v = f7r; 7TV = 0) eingesetzt. Man erkennt, daß der meson ische Anteil auf dem chiralen Zirkel(2.2.14) verschwindet.Im Hinblick auf weitere Rechnungen ist es günstig, die Fermionendeterminante, also den fermionischenAnteil, in Real- und Imaginärteil aufzuspalten.Im allgemeinen gilt:Sp InX = Sp {ln lXI + i arctan (~::) }(2.4.13)mitlXI = (xxt) 2I mX = ;i (X - xt)ReX=~(X+xt)!(2.4.13a)(2.4. 13b)(2.4.13c)*Diese Methode ist natürlich auch für komplexe Bosonenfelder und Fermionenfelder anwendbar.Hierbei ergeben sich ähnliche Ergebnisse [13] [52]*h = 1Das Nambu-Iona-Lasinio Modell 11

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellWendet man diese Formel auf unser Problem an, so ergibt sich für den Realteil der Fermionendeterminanteder Ausdruckwobei die IdentitätR 5 --~S I {I i9/J(u+h'5T.i)+92(u2+i2-f;)}e f - 2 P n + -02 + 2f2 '9 r.(2.4.14)(2.4.15)nenutzt wurde. Der Imaginärteil der Fermionendeterminante verschwindet wie im siebten Kapitelgezeigt wird.Im nächsten Unterkapitel werde ich die divergente Fermionendeterminante der effektiven Wirkungmit Hilfe der Pauli-Villars-Methode regularisieren.2.5. Pa uli-Villars-RegularisierungNachdem die zu berechnende Wirkung (2.4.12) hergeleitet wurde, soll als letzter Punkt indiesem zweiten Kapitel die Regularisierung eingeführt werden. Hierzu muß ich jedoch zuerst aufdas fünfte und sechste Kapitel vorgreifen, in welchem der Realteil der Fermionendeterminante umden von Mesonenfelder nicht gestörten Anteil entwickelt wird. In diesem Zusammenhang werdenzwei unterschiedliche Entwicklungsmethoden aufgezeigt. Neben der Anwendung der Gradientenentwicklung[26], erfolgt die Vorstellung der Heat-Kernel-Methode [25], welche in Verbindung mitdem w-Meson eine wichtige Rolle spielt. Es ergibt sich, daß jeder Summand dieser Entwicklungenproportional einem Integral der FormJ d4k 1In (m) = -(2-7r)-4 -:":( k72 -+-m--;2~)3;:---n (2.5.1)ist, wobei m = gfr. die Konstituentenmasse darstellt. Im Anhang B.1 zeige ich, daß dieses Integralim Fall n = 2 quadratisch, rur n = 1 logarithmisch divergent und alle weiteren Integrale, also fürn ::; 0, konvergent sind. Aufgrund dieser Überlegungen und durch die Entwicklungen verdeutlichtenthält also der Realteil der Fermionendeterminante eine logarithmische und eine quadratischeDivergenz, welche nun mit Hilfe der Regularisierung beseitigt werden sollen, um eine wohldefinierteTheorie zu schaffen. An dieser Stelle sei vorgreifend erwähnt, daß der Imaginärteil der Fermionendeterminantemit w-Meson einen endlichen Beitrag liefert und somit für die Überlegungenbezüglich der Regularisierung keine Rolle spielt.Nachdem die Notwendigkeit einer Regularisierung aufgezeigt wurde, stellt sich nun die Frage,welche Regularisierung für die Lösung des Problems - der Einf'ührung des w-Mesons - amgeeignetesten ist. Es ergibt sich, daß sie folgende Eigenschaften haben sollte:Das Nambu-Jona-Lasinio Modell 12

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell1) Die Eichinvarianz der Lagrangedichte sollte trotz Regularisierung erhalten bleiben.2) Die Gleichung ln(a . b) = ln(a) + ln(b) sollte ihre Richtigkeit auch nach Einführung derRegularisierung behalten d.h. ln(a . b) Ireg= lna Ireg +lnb Ireg.Die erste Bedingung ergibt sich aus der Tatsache, daß das w-Meson im Falle verschwindenderMasse die Rolle eines Eichfeldes spielt. Das Logarithmusgesetz wird bei der Bestimmung der Wirkungim sechsten bzw. siebten Kapitel benötigt. Zur unmittelbaren Verfügung stehen die Eigenzeit[24] , 0(3) [55] ,0(4) [54] und die Pauli -Villars -Regularisierung [14] . Untersucht man diese, soerkennt man, daß nur Letzere beide Eigenschaften besitzt. Die Eigenzeit-Regularisierung ist trotzdemnoch für mein Problem eine ernstzunehmende Methode, da sie wenigstens eine, nämlich diewichtigere erste Bedingung, erfüllt. In Kapitel 3 werde ich jedoch zeigen, daß sie im Gegensatz zurPauli-Villars-Regularisierung sehr schlechte Werte für die Vakuumobservablen hervorbringt undsomit ihre Anwendung nicht geeignet ist.N ach diesen Vorüberlegungen gilt es nun, die Pauli-Villars-Regularisierung vorzustellen. Erstmalsverwendet und veröffentlicht wurde sie im Jahre 1949 von ihren Namensgebern W.Pauliund F.Villars [14] . Das Prinzip der Pauli-Villars-Regularisierung besteht darin, die divergentenIntegrale In(m) zu regularisieren, indem man von diesen eine Linearkombination von Integralenderselben Art, aber mit einem Cutoff bzw einer Regulatormasse mj subtrahiert. Das heißt, manmacht folgenden Ubergang:(2.5.2)wobeiCo = 1mo=mgewählt wird*. Aufgrund der Summenbildung verschwinden die Divergenzen bei geeigneter Wahlder Ci 's, wie man an dem folgenden Beispiel, in welchem ich die Diverenz zweier logarithmischdivergenter Integrale h bestimme, erkennt.Bezüglich der Rechnung sei noch einmal auf Anhang B.I verwiesen.Als Realteil der Fermionendeterminante ergibt sich somit der Ausdruck:(2.5.3)(2.5.4)*Dieser Übergang gilt auch für die konvergenten Integrale.Das Nambu-Jona-Lasinio Modell 13

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellMan könnte an dieser Stelle auf die Idee kommen, auch im Zähler des Logarithmusargumentes denMassenterm durch eine Regulatormasse mi zu ersetzen. Rechnungen von E.Ruiz Arriola habenjedoch ergeben, daß fur diesen Fall die im nächsten Kapitel behandelte Bag-Konstante, welcheeinen positiven Wert haben muß, negativ ist und somit diese Art der Regularisierung zu keinemsinnvollen Resultat fUhrt. Des weiteren werde ich im Rahmen des sechsten Kapitels zeigen, daß dieregularisierte Wirkung (2.5.4) die Anwendung der im Anfang dieses Unterkapitels erwähnten Heat­Kernel-Entwicklung erlaubt. Wendet man die Heat-Kernel-Entwicklung auf (2.5.4) an, so erhältman eine Summe, wobei jeder Summand proportional einem regularisiertem Feynman-Integral ist,welches die im folgenden hergeleitete Gestalt besitzt.Es erfolgt nun die Bestimmung der Pauli-Villars-regularisierten Feynman-Integrale.In diesemZusammenhang ist es günstig, die Integrale 1 n (m) in eine andere Form zu bringen. Hierfür gibtes unterschiedliche Möglichkeiten, indem man sich andere Regularisierungen zunutze macht. ImAnhang B.2 wird die Herleitung für die regularisierten Integrale der 0(4), 0(3) und Proper­Time-Regularisierung zusammengefaßt dargestellt. Diese Ergebnisse werden nun im unendlichenCutoff-Limes betrachtet und Pauli-Villars- regularisiert. Aus diesen drei Rechnungen ergeben sichnatürlich die gleichen Ergebnisse, der Vollständigkeit halber werde ich sie jedoch alle aufführen.Der Übersicht wegen befinden sich die Berechnungen, welche auf der 0(3) bzw Proper-Time­Regularisierung aufbauen, im Anhang B.3.Im Falle der O( 4)-Regularisierung gilt fUr die regularisierten Feynman-Integrale:(2.5.5a)(2.5.5b)Wendet man nun Gleichung (2.5.2), also die Pauli-Villars-Regularisierung an, so erhält man:I, ~ zt" I,(m"A) ~ zt I~' {In (I + !;) -A' ~'m; }1, ~ zt" l,(m"A) ~ zt I~' {A' -m;l+

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellDie schon im Anhang B.I aufgezeigten Divergenzen treten nun wieder in Erscheinung. Das Integralh birgt einen Summanden, welcher proportional In A und somit logarithmisch divergent ist.Dagegen besitzt h zwei divergente Summmanden - In A und A 2 - , d.h. es ist sowohl logarithmischals auch quadratisch divergent, wobei jedoch die quadratische Divergenz von großerer Bedeutungist und man somit ein quadratisch divergentes Integral vorliegt. Um die vorhandenen Divergenzenzu beseitigen, gilt es folgende Bedingungen für die Koeffizienten Ci und Regulatormassen mi aufzustellen,was zum Verschwinden der divergente Summanden in den Reihenentwicklungen (2.5.7a)und (2.5. 7b) führt.LCi = 0 und Lmtcj = 0 (2.5.8)Diese Bedingungen können für ein Minimalsystem von zwei Koeffizienten Cl , C2 - d.h. Ci = 0 furi = 3,'" - erftillt werden, rur welche sich s(>ffiit die folgenden Bedingungen ergeben:(2.5.9a)(2.5.9b)Hierbei wurde sinnvollerweise mo = m und Co = 1 gewählt. Unter Verwendung der Gleichungen(2.5.8) ergibt sich für die Feynman-Integrale:C·h = - ~ 16~2 In mt (2.5.10a)II "Ci 2 1 m~2 = ~ 167r2 mi n I(2.5.10b)IEs sei angemerkt, daß ich hierbei - wie auch im folgenden - für 2:;=0 die abkürzende Schreibweise2:i verwende.Im nächsten Schritt soll nun der Grenzüberganggemacht werden, so daß nur noch ein Cut off, also freier Parameter, existiert. Man kann zeigen,daß im Fall des Cutoff-Limes m2 -+ ml = A allgemein die Formel. " 2 (2 2 (2 2) df(A 2)hm L.JCi f(md = f m ) - f(A ) + A - m d(A2) ,m2-+ml=A .I(2.5.11)gilt, wobei f eine differenzierbare Funktion ist. Diese Gleichung ergibt sich ausDas Nambu-Jona-Lasinio Modell 15

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellwobei im weiteren die Bedingungen (2.5.9a) und (2.5.9b) benutzt werden. Auf unseren Spezialfallangewandt folgt:(2.5.13a)(2.5.13b)Nachdem nun die effektive Wirkung inklusive ihrer Regularisierung eingeftihrt wurde, gilt esnun das hervorbringende Vakuum ( Kapitel 3 ) und Soliton ( Kapitel 4 ) zu untersuchen.Das Nambu-Jona-Lasinio Modell 16

Einführung des w-Mesons in das NIL-Modell3. Das VakuumN ach der Einführung der effektiven Wirkung (2.4.12) werden in diesem folgenden drittenKapitel den freien Parametern des Modells, soweit es möglich ist, Werte zu geordnet. Bis zudiesem Zeitpunkt besitzt unser NJL-Modell sechs freie Parameter:1) Quark-Meson-Kopplungskonstante g2) Quarkstrommasse mo3) Cutoff A4) Vakuumerwartungswert für das er-Feld erv5) Vakuumerwartungswert für das i-Feld 7l"V6) Bosonisierungsparameter J.'Als ein Ergebnis des dritten Kapitels wird sich herausstellen, daß nach der Fixierung nur nochein Parameter, nämlich die Quark-Meson-Kopplungskonstante g, als freier Parameter übrig bleibt[63] [65] . Die Wertzuweisung der anderen Parameter erfolgt über folgende Bestimmungsgleichungen:1) PCAC - Relation2) Bewegungsgleichung für das er-Feld im Vakuum3) Bewegungsgleichung für das i-Feld im Vakuum) fJ2Vxff I 24 a7f~ Vakuum = m?r5) Definition der PionzerfallskonstanteIm folgenden werden die Forderungen 1) - 5) erfüllt und somit die freien Parameter festgelegt.Im weiteren wird die Pauli-Villars-Regularisierung mit der O( 4)-Regularisierung in Verbindunggebracht und die sich aus dem Vakuum ergebenden Observablen in Abhängigkeit von derKopplungskonstante g bzw Konstituentenmasse m untersucht. In diesem Zusammenhang wird einVergleich mit der Proper-Time-Regularisierung im Hinblick auf die Einiührung des w-MesonsDas Vakuum 17

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellvorgenommen. Im letzten Abschnitt des dritten Kapitels werde ich zeigen, daß das zuvor betrachteteVakuum, welches zur spontanen Symmetiebrechung führt, das wahre Vakuum ist.3.1. Festlegung der freien Parameter3.1.1. Bewegungsgleichungen und PCACSchreibt man die effektive Wirkung geordnet in Potenzen der klassischen Felder und ihrenAbleitungen, so ergibt sich(3.1.1)wobei der Integrand O-ter Ordnung V ef f effektives Potential [23] genannt wird. Auf dem klassischenNiveau, d.h. nach einer Sattelpunktentwicklung bis zur O-ten Ordnung, entspricht es dem klassischenPotential. Aus der effektiven Wirkung des NJL-Modells ergibt sich somit für das effektivePotential2 2.Jll ) J.L (2 -2) J.L moV eff = -SPTC'y ln( -ll" + g!-rr U + 2" U + 7r - -g-U , (3.1.2)da keine Ableitungsterme existieren. Will man nun die Bewegungsgleichungen für das Vakuumermitteln, führt dies mit (2.2.2) zur Minimierung des effektiven Potentials d.h. zu den beidenBedingungen:aVeff----a;- Iv akuum = 0aVeffai IVakuum = 0 (3.1.3)Vor der Durchführung dieser Ableitungen ist es sinnvoll, das effektive Potential in eine andereForm zu bringen. Es giltwobei die hier geltende Identität(3.1.4)= (27r)4 < kif I k > (3.1.5)benutzt wurde. Weiter wurde die schon im zweiten Kapitel erwähnte PCAC- Relation (2.2.12) mitder Folgegleichung (2.2.13) verwendet. Führt man nun die Ableitungen in (3.1.3) aus, so ergibtsich folgendes Gleichungssystem:UV { -8Ncg 2 12 ( Ju~ + 7r~ ,A) + /12 } - f1rm; = 0i v {-8Nc9212 (Ju~ + 7r~ ,A) + /12} = 0 (3.1.6)Das Vakuum18

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellBei der Herleitung wurde nach Ausführung der Ableitungen der Integrand der k-Integration durchden Term f-gf7r U erweitert. Führt man anschließend Sp"! aus, so ergeben sich Terme zu Null undmit nachfolgender Anwendung der Regularisierung ergibt sich (3.1.6) , Die zweite Gleichung desSystems fUhrt zu dem Pionvakuumerwartungswert ;rv = 0, da ansonsten aus der ersten Gleichungdie Beziehung m;f7r = 0 folgt. Als Ergebnis des Systems ergeben sich somit prinzipiell im chiralenLimes ( m 7r = 0 ) zwei Lösungen:1) ;rv = 0 0'V = 02) ;rv = 0 (3.1.7)Die erste Alternative wird Wigner-Mode genannt d.h. die Symmetrieeigenschaften der Lagrangedichtegelten auch für das Vakuum. Im zweiten Fall ist die ~ymmetrie spontan gebrochen undman spricht von der sogenannten Nambu-Goldstone-Phase. Die vorher masselosen Quarks erhalteneine dynamische Masse, die Konstituentenmasse m = go'V. Entscheidet man sich für die zweiteLösungsmöglichkeit, folgt hieraus die Schwinger-Dyson-Gleichung bzw. gap-Gleichung(3.1.8)Der Name ergibt sich aus der Entstehung einer Energielücke (gap) zwischen dem oberen und unterenEnergiespektrum der Einteilchenquarkzustände. Die Rechtfertigung für die Wahl der Phasewird sich in Zusammenhang mit der Berechnung der Bag-Konstante am Ende dieses Kapitelsergeben.3.1.2. MassenidentifizierungN ach Ausnutzung der stationären Phasenbedingungen erfolgt nun die Festlegung des Wertesvon 0'V über die Krümmung des effektiven Potentials am Minimum, welche der Pion- bzwSigmamasse entspricht. Es gilt also2 [PVeff 2 2m 7r = o;r2 IVakuum = -8Ncg h(go'V,A) + J.l (3.1.9)und daraus folgend mit (3.1.8)Der Vollständigkeit halber sei an dieser Stelle noch die Sigmamasse angegeben:(3.1.10)2 o2Vef f 2 2 ')m cr = ou 2 IVakuum = 16Ncg m Il(m,A) + m; (3.1.11)wobei m = gf7r ist.Das Vakuum 19

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellZusammenfassend ergeben sich nun folgende ErgebnisseGY = f7riv = 02moJl = f7r m ;9m; = -8N c g 2 12(m,A) + Jl2 (3.1.12)und somit existieren noch zwei freie Parameter, welche als Cutoff A und Quark-Meson-Kopplungskonstanteg gewählt werden.3.1.3. Cutoff-BestimmungIm noch folgenden funften Kapitel werde ich zeigen, daß sich aus der Gradientenentwicklung alsauch aus der Heat-Kernel-Entwicklung angewandt auf die effektive Wirkung* folgender Ausdruckergibt:(3.1.13)Hierbei wurden Terme höher als zweiter Ordnung und der symmetiebrechende Term vernachlässigt;weiter wurde die Beschränkung auf den chiralen Zirkel angenommen. Diese entstandene Wirkungentspricht - jedoch nur unter der Annahme, daß(3.1.14)gilt - der des Gell-Mann Levy Sigma-Modells [10] , welches wie das Nambu-Jona-Lasinio Modellursprünglich als Nukleonenmodell im Jahre 1960 entstand und später als chirales Quark-Meson­Modell interpretiert wurde. Somit schafft Gleichung (3.1.14) eine Verbindung zwischen dem NJL­Modell und dem Sigma-Modell. Erstaunlich ist nun, daß sich diese Beziehung auch von einemanderen Gesichtspunkt aus ergibt, nämlich dem Pionzerfall.Das Übergangsmatrixelement des Pionzerfalls, d.h. der Übergang vom Ein-Pion-Zustand insVakuum, ist durch(3.1.15)gegeben, wobei AJl den sich ergebenden Axialvektorstrom und f1r die Pionzerfallskonstante darstellen,welche über diesen Ausdruck definiert wird. Will man dieses Matrixelement im Pfadintegralformalismusermitteln, so gilt es den Erwartungswert des AxialstromsIVqVij AO' e- s< AO' >= JlJl I VqVij e- S (3.1.16)*Im Zusammenhang mit der Pauli-Villars-Regularisierung im Kapitel 2 wurden diese Entwicklungenschon einmal erwähntDas Vakuum 20

Eill!ührullg des w-Mc.~oJ&.~ in das NJI,-Modcl/zu berechnen. 1m Fall des Nambu-lona-Lasinio Modells crgiht. sich rür eill freies Piollfcldes [55](3.1.17)und somit im soft-Pion-Limes (p -0) die Beziehung(3.1.18)Diese Rechnung entsprach der Bestimmung der Feynman-Amplitude des Graphen [65] :._--------------~--------------igisTNach Bestimmung dieser letzten möglichen Bedingung existiert nur noch ein freier Parameter,welcher als Quark-Meson-Kopplungskonstante g festgelegt wird.3.2. 0(4) und Pauli Villars-RegularisierungFür die O(4)-regularisierten Integrale ergibt sich laut Anhang B.2:(2.5.5a)(2.5.5&)Führt man nun die Substitutiondurch, so ergeben sich neue Integrale der Form(3.2.1)(3.2.2a)(3.2.20)Das Vakuum 21

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellObwohl ich von neuen Integralen spreche, erkennt man sehr schnell durch Vergleich mit (2.5.13a)und (2.5.13b) , daß es sich hierbei um die Form der schon bekannten Pauli-Villars-regularisiertenFeynman Integrale handelt. Aufgrund der Bestimmungsgleichungen (3.1.12) und (3.1.14) , folgtsomitA = Apv , (3.2.3)wobei Apv für den Cutoff der Pauli Villars Methode steht. Dies bedeutet weiter, daß dasO( 4)-regularisierte NJL-Modell das gleiche Vakuum reproduziert wie das Nambu-Modell nachEinführung eines Pauli-Villars-Cutoffs.3.3. Observablen des VakuumsIn diesem folgenden Unterkapitel sollen die Vakuumobservablen1) Quarkkondensat < qij >2) Quarkstrommasse mo3) Bagkonstante Bdes Pauli-Villars-regularisierten NJL-Modells in Abhängigkeit von der Konstituentenmasse mbzw der Kopplungskonstante g aufgezeigt und im Hinblick auf die experimentellen Werte mit denErgebnissen der Proper-Time-Regularisierung verglichen werden.3.3.1. Quarkkondensat und QuarkstrommasseUnter dem Quarkkondensat versteht man den Vakuumerwartungswert für das Auftreten vongebundenen qij -Paaren d.h._ !'Dq'Dij qij e- S I< qq >= -!'Dq'Dq e- SVakuum(3.3.1)2welches im soft-Pion-Limes gleichbedeutend mit dem Term -Lfoy ist und somit als direkte Folgeund Maß rur die spontane Symmetriebrechung gilt, da spontane Symmetriebrechung nur bei nichtverschwindenen Vakuumerwartungswerten auftritt. Das Quarkkondensat wird aus Gitterrechnungenund Summenregeln der QCD erhalten und ergibt sich zu < qij >= -[283 ± 31]3 Me V 3 [27]giltFür die Quarkstrommasse mo, welche rur die explizite Symmetriebrechung verantwortlich ist,1mo = 2"(mu + md) = [7 ± 2.1] MeVDas Vakuum 22

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellmit den jeweiligen in der Literatur gängigen Quarkstrommassen des up(u) - und down( d) -Quark[28]m u = [5.1 ± 1.5] MeVmd = [8.9 ± 2.6] MeV.Da wir bei unserer Vorgehensweise die Parameter des NJL-Modells an mesonische Größen wie f7rund m 7r angepaßt haben, ist nicht garantiert, daß diese Werte von< qij > und mo reproduziertwerden. Für das 0(4)-Verfahren wurde diese Frage von F.Döring [114] untersucht. Da die 0(4)­Regularisierung angewandt auf das NJL-Modell gleiche Werte rur die Vakuumobservablen wiedie Pauli-Villars-Methode hervorbringt, möchte ich die Abhängigkeit dieser vorgestellten Größenvon der Konstituentenmasse im folgenden nur tabellarisch zusammenfassen und mit den schonbekannten Ergebnissen der Proper-Time-Regularisierung vergleichen.1-< qij >3 [MeV]m[MeV]rurPauli-Villars Proper-Time [16]279 288.99 241.33325 274.66 225.68372 267.85 216.75418 264.86 211.32465 264.05 207.93511 264.54 205.81Tabelle 1: Quarkkondensat < ijq >mo [MeV]m [MeV]rurPauli-Villars Proper-Time [16]279 6.79 11.40325 7.87 13.92372 8.50 15.72418 8.80 16.99465 8.90 17.87511 8.87 18.48Tabelle 2: Quarkstrommasse moAus diesen Tabellen ergibt sich, daß die Vakuumsuntersuchung des Pauli-Villars-regularisiertenNJL-Modells im Vergleich zum NJL-Modell mit Proper-Time-Cutoff zu besseren Ergebnissen führt.Das Vakuum 23

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellIn diesem Zusammenhang - wie schon im zweiten Kapitel angedeutet - scheint somit die Anwendungder Pauli-Villars-Methode geeigneter als die Proper-Time-Regularisierung zu sein. An dieserStelle sei noch angemerkt, daß der untersuchte Bereich sich aus der Forderung des Vorhandenseinseiner Konstituentenmasse von m ~ (350 - 450) MeV ergibt.3.3.2. Bag-KonstanteIm Unterkapitel 3.1 habe ich mich für die Verwendung der Nambu-Goldstone-Phase entschiedenund somit als Vakuumerwartungswert des O'-Feldes f'lr angenommen. An dieser Stelle wurdeallerdings nur gezeigt, daß dieser Vakuumwert einen Extremwert des effektiven Potentials liefert,jedoch nicht unbedingt ein globales Minimum. Es stellt sich somit die Frage, ob diese Vorgehensweisezur Untersuchung des wahren Vakuums führte oder ob der Vakuumwert O'y = 0 (also dieWigner-Mode-Phase) das wahre Vakuum aufzeigt. Um dieses festzustellen, muß man prüfen obdie Bedingung(3.3.2)- wobei B als Bag-Konstante bezeichnet wird - erfüllt ist.Das regularisierte effektive Potential ergibt sich mit Hilfe von (3.1.1) und (2.5.4) zu:/-L2 2 ( t ) mO/-L2+-1 UU -1 ---(O'-f'lr)2 'Ir 9(3.3.3)Der fermion ische Anteil kann in den Ausdrucküberführt werden, so daß sich für die Bag-Konstante die Formel(3.3.4)- wobei die PCAC-Relation und (3.1.5) verwendet wurde - ergibt. Mit Hilfe von Anhang C giltsomit(3.3.5)Das Vakuum 24

Ein/tihrung (ics w-MC.'i071.'i in das NJL.ModcliProper­Time-R.---------------. Pauli-Villars-R.4oo~--------------------------------------------~100o~~~---~~-----~--~~~--~---~------~~200 400 600 800 1000Konstituentenmasse mA bb. 1: Dic Bag-K onstante B als Funktion der Konstituentenmasse mWie man mit Hilfe von Abb . 1 erkennt, ist die Bag-Konstante positiv und somit beschreibtdie Nambu-Goldstone- Phase das wahre Vakuum.Nun noch eine genauere Wertung der erhaltenen Ergebnisse:Der Wert der Konstanten in den sogenannten Bagmodellen - diese beschreiben die Grundzuständeder Baryonen und Mesonen recht gut -liegt bei Bt ~ 150MeV [49] . Gitterberechnungendagegen führen zu einem Wert von Bt = 200 MeV [29] . Somit sind die mit Hilfe der Pauli­Villars-Regularisierung erhaltenen Werte - siehe Abb . 1 - in dem für uns interessanten Bereich von350M e V < m < 450M e V zufriedenstellend. Im weiteren folgt aus einem Vergleich mi t den Ergebnissen,welche mittels der Proper-Time-Regularisierung erhalten wurden [56] I daß die Kurvenbis ca 400 MeV übereinstimmen. Für größere Konstituentenmassen liegen die Werte der Bag­Konstante im Fall der Pauli Villars-Methode niedriger als im Fall der Eigenzeitregularisierung undstimmen somit wiederum besser mit den experimentellen Werten überein.Die Berechnung von V(D'V ) erfolgt analog zur Herleitung der Bag- Konstanten B und ergibt:Das Vakuum 25

-~.oo..--0.50-cQ)-o -050a.CI)Q)>-vEirlführung dCli IJ-MCSOJl5 in dn.~ NJI,-M"dr.1l--------------MeV150~~--------------~----------------~~•äi::: -200Q)m=418.5 MeV-1.50 L...o.. ................................ .1.01.. ..................................................................... ..:...... ................... -....J-100 o 100 200VakuumerwartungswertMeV]Abb. f: Das effektive Potential V cis Fun1:tion des v'akuumcMDartungswcrtcs C'v für m", = 0und mw :f: 0+ (A 2 - m2)g2D'~-2g2C'~m21n (1 + ~:) }+m;C'v { ~C'V - fft } (3.3.6)In Abb . 2 ist. das effektive Potential bei einer Kopplungskonst.ant.e g = 4.5 für die Fälle m", = 0und Tn,r :f: 0 gezeigt. Anhand dieser Kurvenverläufe kann man sieh noch einmal die Begriffe derspontanen und expliziten Symmet.riebreehung veranschaulichen.Sei eine Lagrangedichte c., welche invariant. unter einer best.immten Transformat.ion U ist.,gegeben. Für die zugehörigen Grundzust.ände • also die ZusLände niedrigst.er Energie. exist.ierellnun zwei Möglichkeiten:1) der Grundzustand ist. eindeutig und ebenfalls invariant. unter UDu Vokuum 26

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell2) es existieren entartetete Grundzustände, welche sich formal durch die Transformation Uineinander überführen lassen und somit jeder Zustand für sich nicht invariant unter U istIm zweiten Fall spricht man von einem spontan gebrochenen System, das z.B. durch dasNJL-Modell representiert wird. In Abb . 2 erkennt man, daß im Fall iv = 0 und nl,r = 0 zweientartete Zustände existieren, welche durch die Bedingung a; + i~ = {; festgelegt sind. Würdeman sich nicht die Vorgabe iv = 0 - welche sich durch das nicht Verschwinden der Pionenmassem 7rergab - machen, so existierten unendlich viele entartete Grundzustände, die sich durch dieSU(2)A- Transformation (2.2.11) ineinander überführen lassen. Somit ist die SU(2)v X SU(2)A-Symmetrie spontan zur SU(2)v-Symmetrie gebrochen. Definiert man nun iv = 0 und ein neu esSigmafeld, dessen Vakuumerwartungswert ebenfalls verschwindet, so ist dieses neue Feld massiv,das Pionfeld entgegen massenlos und stellt ein Goldstone-Boson dar. Im weiteren ergibt sichein fermionischer Massenterm und somit eine Nukleonenmasse. Grundsätzlich ist zu sagen, daßdas Auftreten einer spontanen Symmetriebrechung gekoppelt ist an dem Nichtverschwinden desVakuumerwartungswertes eines Feldes. Wendet man sich nun der zweiten Kurve in Abb . 2 mitmll' #: 0 zu, so erkennt man, daß durch die Einführung einer Pionenmasse die SU(2)A-Invarianzexplizit gebrochen ist, da die Grundzustände nicht mehr entartet sind und sich somit nichtdurch die SU(2)A-Transformation ineinander überführen lassen.----------_.--m=418.5 MeV m=139.5 MeV m=604.5 MeV..,>301Q)20~--21CO... 0,/ic: IQ)i... i/0 -1Q. / I/ i(/)/)Q) -2\ .I> ',-...'/...-~Q) -3-200 -100 0 100 200-Q)Vakuumerwartungswert [ Me V ]A bb. :J: lJas effekiive Potential V als Funktion des Vakuumerwartungswertes C'v für verschiedeneKonstituentenmassen m = gftrDas Vakuum 27

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellAbb . 3 zeigt die Abhängigkeit des effektiven Potentials von der Kopplungskonstante g undverdeutlicht, daß bei kleinen unphysikalischen Kopplungen das Potential deformiert ist und keinezwei Minima mehr aufweist. Es sei zum Schluss noch angemerkt, daß für ov -+ 00 das Potentialgegen den Funktionswertstrebt.Im nun folgenden Kapitel werde ich - durch die Ergebnisse im Vakuum motiviert - das Solitondes Nambu-Jona-Lasinio :rvlodells im Falle der Pauli-Villars-Regularisierung untersuchen.Das Vakuum 28

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell4. Das SolitonN ach der Bestimmung des Vakuum-Sektors erfolgt nun die Untersuchung des solitonischenSektors. Unter Solitonen versteht man die Lösungen von nicht linearen Wellengleichungen, die indiesem Modell durch die Bewegungsgleichungen - welche die Mesonen und Quarkfelder verbinden- repräsentiert werden. Das sich hieraus ergebende Soliton wird dann als Baryon interpretiert [8] .In diesem vierten Kapitel werde ich, ausgehend von der effektiven Wirkung des Nambu-Jona­Lasinio Modells, die Berechnung der Gesamtenergie des Solitons behandeln. Der Unterschied zufrüheren Arbeiten - z.B. [65] [54] [55] - liegt in der Wahl der notwendigen Regularisierung, alsoder Verwendung der Pauli-Villars-Methode. Anschließend gilt es das Soliton so zu wählen, daßdie Gesamtenergie minimiert wird. Dies erfolgt numerisch über eine Selbstkonsistenz-Prozedur,welche im Unterkapitel 4.4 vorgestellt wird. Um ein Gefühl für die Abhängigkeit der Energie vonder Größe des Solitons zu erhalten, erfolgt zuvor im Unterkapitel 4.3 die Parametrisierung der mesonischenFelder mit Hilfe einer fest vorgegebenen Profilfunktion (chiraler Winkel). Hiernach sinddie Mesonenfelder nur noch von einem Parameter, der die Solitongröße darstellt, abhängig undes ist möglich die Energie als Funktion der Solitongröße aufzuzeigen. Das sich hieraus ergebendeResultat kann sowohl Hinweise auf eventuell auftretende Schwierigkeiten geben, als auch auf dieExistenz von selbstkonsistenten Lösungen hinweisen. Abschließend sei angemerkt, daß im Zusammenhangmit der Bestimmung der Gesamtenergie auch der Valenzbeitrag hergeleitet wird. Dieserfolgt in dem Unterkapitel4.2 nach der Methode von R.T.Cahill und A.G.Williams [30] durch dieEinführung eines Lagrange'schen Parameters, der den Namen chemisches Potential trägt.Als Ergebnis des vierten Kapitels werde ich neben der sich ergebenden Gesamtenergie weitereObservablen, wie quadratischen Radius< r 2 >, axiale Kopplungskonstante GA und denSigma-Kommutator 2: mit Hilfe der selbstkonsistenten Mesonenfelder bestimmen und mit experimentellenDaten vergleichen. Hieraus ergibt sich, wie im Vakuum-Sektor, sowohl eine Wertungder Pauli-Villars-Methode als auch des verwendeten NJL-Modells.Das Soliton 29

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell4.1. Energie des DiracseesEs erfolgt nun die Bestimmung der Energie mittels der effektiven Wirkung (2.4.12) , wobeider Valenzbeitrag und der Mesonenteil noch nicht betrachtet werden, und sich somit als Ergebnisdie Energie des Diracsees, kurz Seeanteil, ergibt.Der regularisierte fermionische Anteil ist in Unterkapitel 2.5 durchR S _!"" 'S I {I igf7ffJU + g2{;(UUt - I)}e I - 2 ~ CI P n + lOl2 2i-u + mi(2.5.4)gegeben. Führt man nun die Dirac-Hamiltonians hund ho mitä·~h = -.- + gfrr/oUlä·~ho = -.- + gf7f/ol(4.1.1a)(4.1.1b)ein, so ergibt sich mittels der Gleichung(4.1.2)und der Beschränkung auf den chiralen Zirkel fur die WirkungRe SI = -~ ~CiSP In { (:r + h) (- :r + h) + mr -m 2 }I+ ~ ~ Ci Sp In { (:r + hO) (-:r + hO) + mt -m 2 } ,I(4.1.3)wobei /r die Ableitung nach der euklidischen Zeit darstellt und gleichbedeutend dem AusdruckRe Si = -~ ~c;SP In {- (:,), +h' + mi-rn'}+2 1"" ~CiSP In{(- or 0 )2 + ho 2 + mi2- m2}(4.1.4)ist. Bei der letzten Umformung wurde die Beschränkung, daß die Mesonenfelder zeitunabhängigsind, benutzt. Wendet man sich nun der Spur zu, so weiß man, daß folgendes gilt:Sp A = NcSPr"'( J d 3 x Jdr < x 1 A 1 x > mit 1 x >=1 x >I r> ( 4.1.5)Um die Spur über die Zeitkomponente auszuführen, muß man ein vollständiges System von Eigenfunktionen1 Wn > des Operators /r einfugen. Es gilt(4.1.6)Das Soliton 30

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellmitL I W n >< W n I = 1n(4.1.6a):7 I W n > = -iwn I W n > (4.1.6b)Im weiteren führt man als Hilfsgröße eine beliebig große Zeitspanne T ein, so daß die Zeitintegrationauf das Intervall [-f ' f ] beschränkt wird. Hieraus ergibt sich die Normierungsbedingung(4.1.6c)und die periodische Randbedingung211"wn="T .(4.1.6d)Angewendet führt dies zu1: dT < 7 I A (:T) 17> = L < Wn I A (:T) I Wn >2 n= LA (-iwn ) .n(4.1.7)Im Grenzfall n -+ 00 d.h. L:n -+ f dn ergibt sich dann dw = 1.;dn und somit für die Wirkung derAusdruckRe SI = -~NcT2;:>iSP-r'T JI+~NcT~CiSP')''T JId 3 x i:d 3 x i:~: < x Iln {w 2 + h 2 + m[ - m 2 } I x>~: < x Iln {w 2 + h6 + m[ - m 2 } I x >( 4.1.8)Im nächsten Schritt sollen nun die übrigen Spuren bestimmt werden. Hierzu führe ich die vollständigenSysteme von Eigenfunktionen der Operatoren hund ho - (4 .l.la und b) -L I 0' >< 0' I = 1 = L I 0'0 >< 0'0 I0ho I 0'0 > = f~ I 0'0 >(4.1.9a)(4.1.9b)(4.1.9c)ein, woraus sich die BeziehungenSP')''T J d 3 x < x I h I x > = L Co

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellherleiten lassen. Für die Wirkung ergibt sich somit:(4.1.10)Mit Hilfe der Berechnung des Integrals D 1 in Anhang D erhält man nach Ausführung der w­Integration die GleichungRe SJ = -~NcT~Ci (J(~ + m; - m 2 - J(~2 + m; - m2)t,aAn dieser Stelle gilt es nun die Regulatormassen mi durch die Ausdrücke(4.1.11)- siehe dazu Kapitel 2.5 - und die Gewichte Ci durch die Identitäten (2.5.9) zu ersetzen. ZurVereinfachung wendet man hierzu wieder die Formel (2.5.11) an und so ergibt sich als ErgebnisRe SJ = -~NcTL {lcaIR(ca, A) -1(~IR(c~,A)} (4.1.12)a(4.1.12a)wobei sich diese Formel durch die Einfuhrung des 0(4)-Cutoff's mit (3.2.1) und (3.2.3) noch weitervereinfachen läßt zu(4.1.13)Um nun die Gesamtenergie des Solitons aus dieser Wirkung zu ermitteln, muß man die sich ausder Zeitunabhängigkeit der Mesonen ergebende Formelverwenden, welche zu dem Ausdruckfuhrt.1E = y'seJJ (4.1.14)EJ = -~Nc L {ltaIR(ca,A) -I(~IR((~, A)} (4.1.15)aAn dieser Stelle möchte ich erst einmal das erhaltene Ergebnis diskutieren. Als erstes kannman erkennen, daß im Unterschied zur 0(3) [55] bzw. 0(4) [54] - Regularisierung die RegularisierungsfunktionR( (, A) im Fall der Vakuumenergien, also ungestörten Energien, gleich demDas Soliton 32

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellFall der gestörten Energien ist. Dieses Verhalten ergab sich auch schon bei der Proper-Time­Regularisierung [64] . Im Grenzfall A -See-Energie00 Colgt aus (4.1.15) die Formel für die unregularisierteEJ = -iNc: 2: ICal-lc~l·QWeitere Grenzbetrachtungen bezüglich der RegularisierungsCunktion ergeben:(4.1.16)R(! A) _ 1-! A O (4), 2 (R(!,A) --81-=f(AO{4.\)4für (-0für c- 00(4.1.17a)(4.1.17b)- .....\... 1.00Q)ro~-(/)0.800.60

Einfiihrung des w-Mesons in das NJL-ModellEs handelt sich hierbei um eine monoton Callende Funktion, welche an der Stelle Null den Wertt A:J~) = 0.8764 für g = 4.5 annimmt. Wichtig ist es herauszustellen, daß die Regularisierungsfunktiondie Energien nicht scharC abschneidet, sondern daß auch große Energien in der Gewichtung,.., c\ zur Gesamtenergie beitragen. Weiter kann man aus Abb . 4 erkennen, daß Energien, welchedurch das Vorhandensein von MesonenCeldern ein stärker gebundenes System aufzeigen als imVakuumfall - also eine vom Betrag geringere Energie besitzen - , in Verbindung mit dem Vakuumanteileinen positiven Beitrag zur Gesamtenergie leisten; umgekehrt ist der Beitrag negativ, wenndie gestörte größer als die ungestörte Energie ist ..--.> :;00q,~ 250-200500200 400 600 800 1000Konstituentenmasse m[ MeVAbb.5: Die gewichtet Energie -R(c,A) I c I als Funktion der Konstituentenmasse mDer Einfluß der Regularisierungsfunktion als Funktion der Konstituentenmasse m ist in Abb. 5 gezeigt. Diese Abhängigkeit ist eine Folgeerscheinung des expliziten Auftretens der Masse inder Funktion als auch der Beziehung (3.1.18), welche den Cutoff und die Kopplungskonstante -also Konstituentenmasse - in Verbindung setzt. Man erkennt, daß die Variation von g im Brereichkleiner Kopplungskonstanten den Wert der RegularisierungsCunktion sehr stark beeinflußt. Fürgrößere Konstituentenmassen, also auch im physikalisch motivierten Bereich, ist diese Abhängigkeitnicht so ausgeprägt. Interessant ist das Auftreten eines Minimums an der Stelle mmin, welche dieBedingung d~~) - 2m = 0 erfüllt, d.h. mmin ist nicht abhängig von der Energie c.Das Soliton 34

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellNach der Herleitung der Energie des Diracsees erfolgt nun im nächsten Unterkapitel die Bestimmungdes Valenzbeitrages zur Energie.4.2. Valenzbeitrag zur EnergieVor der Einführung des Valenzbeitrages seien noch kurz die mesonischen Energieanteile aufgefuhrt.Es gilt mit (2.4.12)Ern = ~2 J d 3 x ((12 + jf2 -{;)(4.2.1a)Ebr = -frrm ; J d 3 x((1 -frr)(4.2.1b)und daraus folgend ergibt sich fur die bisher ermittelte GesamtenergieE = E j + Ern + Ebr ,(4.2.1)wobei EJ durch die Formel (4.1.15) gegeben ist.In der vorliegenden Rechnung bin ich bisher noch nicht auf die Baryonenzahl - welche überdie Beziehung1 J 3B = N d xij")'Qq = N1< ij'YOq > (4.2.2)c cdefiniert ist - eingegangen. Gebe ich mir eine feste Baryonenzahl B ( z.B. Eins) vor, so habe icheine Nebenbedingung eingeführt, die bei der Variation der Wirkung berücksichtigt werden muß.Mittels eines Lagrange'schen Parameters, der wegen bestehender Analogien zur Thermodynamik[53] chemisches Potential PB genannt wird, ergibt sich aus der Gleichung (2.2.2) die neue Bedingung6 (S - PBTNcB) = 0bzw. 6 (E - PBNcB) = 0 .( 4.2.3a)(4.2.3b)Definiert man nun eine neue WirkungSej j((1, if, PB) = Sej j((1, if, PB = 0) - J.LBNcT B= Sej j((1, if, PB = 0) - J.LB J d 4 xij'YOq ,(4.2.4)wobei Sejj((1,if,PB) wiederum in Anlehnung an die Thermodynamik großkanonische Wirkunggenannt wird, erhält man im euklidischen Raum - im Gegensatz zu (2.4.12) - den Ausdruck(4.2.5)Das Soliton 35

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellmitSj = -Spin (-i~ + gf7r U + iIlB'Y 4 )2 JSm = /1 2 d4 x(0'2 + *2)Sbr = - f7r m ;' J d 4 xO' .(4.2.5a)(4.2.5b)(4.2.5c)An dieser Stelle sei vorgreifend erwähnt, daß es möglich wäre die Wickrotation auch auf IlB anzuwenden.Ich werde jedoch im siebten Kapitel zeigen, daß dies zu keinem sinnvollen Ergebnisführt.Subtrahiert man von der großkanonischen Wirkung den Vakuumbeitrag und erweitert diesenAusdruck mit 0, so führt dies zu:(4.2.6)mitSval(U,IlB) =SeJJ(U,IlB) -SeJJ(U,IlB = 0)SeJJ(U) = SeJJ(U, Jl.B = 0) - SeJJ(UV, Jl.B = 0)(4.2.6a)(4.2.6b)Der zweite Anteil SeJJ(U) ist schon bekannt; er setzt sich aus dem regularisierten Beitrag desDiracsees und dem mesonischen Anteil zusammen und führt zu der Energieformel (4.2.1). ImGegensatz dazu bildet Sval den Valenzanteil, einem neuen Beitrag, welcher nun berechnet werdensoll. Als erstes ergibt sich, daß er endlich ist und somit nicht regularisiert werden muß. In Analogiezur Berechnung des See anteils folgtSval = -NcTL J ~: {ln(iw + (0 -oIlB) -ln(iw + (o)}(4.2.7)und mit Hilfe des Integrals D2 aus Anhang D ergibt sich hieraus(4.2.8)Abb . 6 und Abb . 7 zeigen in Anlehnung an Anhang F, in welchem das Energieeigenwertspektrumdes Operators h bzw. ho bestimmt wird, die Spektren von hund ho im Fall 9 = 4.5bei Vorgabe von parametrisierten Mesonenfeldern. Jene Mesonenfelder - eine genauere Einftihrungerfolgt im nächsten Unterkapitel - besitzen den Parameter R, welcher die Solitongröße aufzeigt.Abb . 6 und Abb . 7 zeigen, wie sich die Energieniveaus bei Variation von R verhalten. Manerkennt, daß ein gebundener Zustand, also das Valenzorbital, durch die Berücksichtigung der Mesonenauftritt. Diesen gilt es mit drei Quarks zu besetzen, um eine Baryonenzahl von Eins zuDas Soliton 36

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellG-andspin 0 G-andspin 1120~~~~;_~ __ ~ __ ~ __ ~ __ ~;;;;$:==~§§~[::.: -- -. ----------------~--=:·----.c----------------------- 0.80:----------------------· .0.40- 0.00 t----------~~------------1Q).~ -0.40........................ . ............................................................................................... .\-Q) 2tTI-o.eO1 3-----------~----------~----------------------· .-120~~~~~~~~~~.. ~~~~~~~~~o 2 4 6 8Solitongröße R ( skaliert )Abb. 6: Das Spektrum der gestörten Energien fa für g=-I.5erzeugen. Gibt man sich nun ein positives IlB vor ( IlB < 0 führt zu keinem sinnvollen Ergebnis), so ergeben sich folgende Resultate für den Valenzanteil der Wirkung:Region 1 'val> IlB > 0Region 2 IlB > fvel > 0Region 3 IlB > 0 > 'valHierbei wurde die Beziehung Sp h = 0 benutzt.Sval = 0Sval = NeT'val - NeTIlBSval = -NeTIlB(4.2.9a)(4.2.9b)( 4.2.9c)Im folgenden werde ich die Baryonenzahl B behandeln, für welche nach (4.2.2) im Pfadintegralformalismus1 f'Dq 'Dq f d 3 z ihoq e-Se//(U,"s)!'Dq 'Dq e-Sel/(U,,,S)B(IlB) = -"-....:........:...::~~.::::-":":":"""-:--Ne(4.2.10)folgt. Aus dieser Gleichung wird die Fest.legung bzw. Einschränkung des chemischen Potentialsaufgrund einer vorgegebenen Baryonenzahl folgen. Anders ausgedrückt ergibt sich für die letzteGleichungB(IlB) = N1TO O ' In Z(ps)1_'e PB "s-"smit Z(IlB) = e-Sel/(U,,,s)(4.2.11)(4.2.lld)Dcu Soliton37

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellGrandSpin 0 Grandspin 1120r-------------------------------------~---------------------------------------------------------0.80 r--o.oo~C1l0.40 -.......................................................................................... ~.~ -0.40-\,.QltD -0.80---------'20~~~~~~--~~~~'~--~~~~--~~~~o 2 4 6Abb. 7: Das SpeJ:trum der ungestörten Energien c~SolitongröOe R ( skaliert )8und somit führt sie mittels (4.2.5), (4.2.6) und (4.2.8) auf den AusdruckB(IlB) = ~fjfjl2: {Ico - JlBI-lcon\ _'*' PB ° I-IS-I-Is= -~ ~sign(Co - PB) •(4.2.12)Mit Hilfe von Abb . 6 ergibt sich daher für die Baryonenzahl in den jeweiligen RegionenRegion 1 'v41 > Il S > 0Region 2 Ps> 'vel > 0Region 3 IlS > 0> 'velB(IlS) = 0B(lls) = 1B(ps) = 1(4.2.13a)(4.2.136)(4.2.13c)und somit wird PB durch die Fe:stlegung B(ps) = 1 beschränkt.,An dieser Stelle sei angemerkt, daß es möglich ist, auch die Baryonenzahl mittels der Gleichungen(4.2.6a) und (4.2.6b) in See- und Valenzbeitrag aufzuspalt.en:(4.2.14a)(4.2.146)Du Soliton 38

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellHierzu trägt der Seeanteil nur bei, wenn spektrale Asymmetrie vorliegt wie z.B. im Fall 0 > Cval.Andererseits leistet der Valenzanteil nur einen Beitrag im Fall eines positiven Valenzorbitals, welchesdann bei einer Baryonenzahl Eins mit drei Quarks besetzt ist. Eine ausführliche Behandlungdieses Themas findet sich in der Diplomarbeit von D.Berg [56] .Wendet man sich nun wieder dem Valenzanteil der Wirkung (4.2.9) zu und benutzt das Ergebnisder Baryonenzahl und Gleichung (4.2.3), so erhält man für die GesamtenergiemitE ges = Eval + Elloop= Nc7Jvalc val + ElloopI falls Cval ? 07Jval = { 0falls Cval < 0(4.2.15)(4.2.15a)wobei Elloop durch Gleichung (4.2.1) gegeben ist. Der Valenzbeitrag der Energie trägt somitnur im Fall Cval ? 0 zur Gesamtenergie bei.Nach der Bestimmung der Energie gilt es nun, sie zu minimieren. Dies wird Ziel der nächstenbeiden Unterkapitel sein.4.3. Das parametrisierte SolitonNach Herleitung der Gesamtenergie des Solitons fur das Nambu-Jona-Lasinio Modell erfolgtnun die Bestimmung des Energieminimums und der damit verbundenen Mesonenfelder mit Beschränkungauf den Hedgehog-Ansatz [58] . Ich gehe hierbei in zwei Schritten vor, wobei im erstenSchritt - der Inhalt dieses Unterkapitels ist - die Mesonenfelder parametrisiert werden, so daß ihreAusdehnung - also die Solitongröße bzw. Solitonradius - variert werden kann. Hieraus folgt eineEnergieabhängigkeit von dem Solitonradius und somit ein eventuell auftretendes Minimum beieinem bestimmten Radius, der wiederum die Mesonenfelder festlegt. Im zweiten Schritt - siehenächstes Unterkapitel- wird die einschränkende Parametrisierung weggelassen und eine Selbstkonsistenzprozedurzur Auffindung des Energieminimums und der Mesonenfelder angewendet.Vor der Einfuhrung der Parametrisierung der Mesonenfelder gilt es, noch eine weitere Vereinfachungeinzuführen. Es ist in chiralen Modellen üblich, den sogenannten Hedgehog-Ansatz zuverwenden, in welchem die Mesonenfelder sphärische Symmetrie aufweisen und somit die Form(1'( f) = (1'( r ) i(f) = lI'(r)i (4.3.1)Das Soliton 39

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellbesitzen. Der Name' hedgehog , rührt von der Form des Pionfeldes her, welche sich wie dieStacheln eines Igels gestaltet. Beschränkt man die meson ischen Felder nun auf den chiralen Zirkel(2.2.14), so ergibt sich der Ansatz:O'(r) = !-Ir cos 6(r)7I"(r) = 111" sin 6(r)(4.3.2a)(4.3.2b)6(r) wird Profilfunktion oder chiraler Winkel genannt und unterliegt der Forderunglim 6(r) ::;: 0r--+oolim 6(r) = mr mit ncZ .r--+O(4.3.3a)(4.3.3b)Die erste Bedingung legt fest, daß die Mesonenfelder im Unendlichen ihre Vakuumerwartungswerteannehmen. Die zweite Forderung ergibt sich unter anderem aus einer Untersuchung der Baryonenzahlvon D. Berg [56] . Insbesondere ergab sich hierbei, daß nur die Windungszahl n = 1 zu einerBaryonenzahl von Eins führt.Parametrisiert man die Mesonenfelder, so gibt man sich eine Profilfunktion vor, die von einemParameter - der Solitongröße - abhängt. Es gibt verschiedene Profilfunktionen, welche die Forderungen(4.3.3a und b) erfüllen. In meiner Arbeit werde ich die beiden gebräuchlichsten Profilelineares Profilexponentielles Profil6(r) = { 71"(1 - 'k) falls r:S R... 0 falls r> R6( r) = 7I"e-it( 4.3.4)(4.3.5)- verwenden. R stellt den Solitonradius - also die Ausdehnung der mesonischen Felder - dar, welcherim folgenden variert werden soll.Als nächster Rechenschritt zur Bestimmung der Energie erfolgt nun die Bestimmung der Energiespektren- also der Energien (0: und (~ - im Fall von parametrisierten Mesonenfeldern. Auf dienumerische Lösung der Diracgleichungen (4.1.1a und b) werde ich im Anhang F nach Einftihrungeines weiteren Feldes, dem w-Feld, ausftihrlich eingehen. Als Spezialfall, also einer verschwindenenKopplungskonstante 9w, welche das w-Meson ankoppelt, ergeben sich die gesuchten Energieeigenwertevon hund ho. In Abb . 6 und Abb . 7 - zu finden in Kapitel 4.2 - sind zwei Spektrenexemplarisch aufgezeigt.N ach dieser Vorarbeit kann die Energie (4.2.15) mit (4.2.1) in Abhängigkeit der Ausdehnungder mesonischen Felder untersucht werden. Durch die Beschränkung auf den chiralen Zirkel ergibtsich der meson ische Energieanteil zu Null.Der symmetriebrechende Term wird vorerst aufgrund seines kleinen Wertes, welcher sich ausder Selbstkonsistenzprozedur ergibt, vernachlässigt. In Abb . 8 sind der Valenzbeitrag, der Seeanteilund die Gesamtenergie gegen die Solitongröße aufgetragen, wobei das lineare Profil verwendetDas Soliton 40

Einführung des w-Mesons in das NJL·ModellSee.Grad.Valenz.Gesamt...->Q)~--(bQ)·5\...Q)c:::W40003000200010000g=4.5.............. .. .. ..'. "fI'..' ..' ""'·0, .."" ....0 0 • .. '~ ......."", .............. ..'........ .... ...... .....:......... .................................................-1ooo~--~~~--~~--~~~--~~--~--~-*~o 1 2 3Solitongröße R [ fm ]Abb. 8: Die Energie des parametrisierten Solitons als Funl:tion des Parameters - dem Soli •. tonradiuswurde. Man erkennt das Auftreten eines Minmums im Verlauf der Gesamtenergie für R :ft 0 undhat somit einen ersten Hinweis für das Vorhandensein einer selbstkonsistenten Lösung. Dieses Mi·nimum liefert den Solitonradius Pwrnin, welcher die Mesonenfelder rur 9 = 4..5 festlegt. Weitere Untersuchungenergeben, daß das Minimum bei größeren Kopplungskonstanten immer ausgeprägterwird und somit das Soliton an Stabilität gewinnt. Außerdem ergeben größere Kopplungskonstanten• auch schon 9 = 5.0 - , daß das globale Minimum nicht bei R = 0, sondern bei R = Rmin liegt undsomit das Vakuum energetisch ungünstiger ist als das Soliton mit der Ausdehnung Rmin' Darausfolgt, daß das Soliton auch von diesem Standpunkt aus stabiler wird. Auf der anderen Seite existiertaber eine untere kritische Kopplungskonstante gkr-it, ab welcher kein Minimum mehr existiert.Zusätzlich ist in Abb . 8 die Energie, welche sich aus der Gradientenentwicklung bzw. Beat·Kernel-Entwicklung bis zur zweiten Ordnung. siehe Kapitel 3.1.3 - ergibt, aufgetragen. Sie ist einelineare Funktion, wie sich mittels der Berechnung im Kapitel 5 noch ergeben wird. Die Gradientenentwicklungist wie schon erwähnt eine Entwicklung um den ungestörten Anteil der Wirkung unterder Annahme kleiner Amplituden und Gradienten der meson ischen Felder. Für große Solitonradienmüssen die Gradienten der Mesonenfelder klein sein und somit sollte in diesem Fall Übereinstimmungzwischen der Kurve der Gesamtenergie und der durch Gradientenentwicklung erhaltenenEnergie vorliegen. Diese Forderung ist bis auf eine Parallelverschiebung erfüllt, deren UrsprungDu Soliton 41

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellnoch unklar ist. Eine Untersuchung von F.Döring [54] hat ergeben, daß diese Verschiebung unteranderem sehr stark von der Wahl der Profilfunktion abhängt.Bei der Untersuchung der Gesamtenergie des 0(3) bzw. 0(4) regularisierten NJL-Modellsergeben sich numerische Schwierigkeiten durch das Auftreten eines Knicks im Kurvenverlauf [54][55] , wenn das Valenzorbital in den See eintritt. Das Pauli-Villars-regularisierte Modell dagegenerzeugt wie schon die Proper-Time-Methode einen differenzierbaren Gesamtenergieverlauf. Somitscheinen sich keine Schwierigkeiten für das weitere Vorgehen zu ergeben und ich beginne nun mitder Bestimmung der selbstkonsistenten Lösungen.4.4. Das selbstkonsistente SolitonIn diesem Unterkapitel werde ich die Einschränkung der Mesonenfelder aufgrund der Einführungeiner vorgegebenen Profilfunktion e( r) weglassen und eine numerische Prozedur vorstellen, welchedie exakten Mesonenfelder und die damit verbundene Gesamtenergie liefert [65] [59] . Hierzu geheich von der bisher untersuchten Variation bezüglich R und der sich daraus ergebenden Bedingungb(E - JlBNcB) = b(E - JlBNcB) = 0be(r)bR(4.4.1)::} R = Rmin (4.4.1a)- mit den Lösungen u(r, Rmin) und 7r(r, Rmin) für die Mesonenfelder - zu den allgemeingültigenBedingungen6(E - JlBNcB) = 0 = ~bu(r)bu(r)b(E - JlBNcB) = 0 = ~bier)bier)(4.4.2a)(4.4.2b)über, welche zu den Bewegungsgleichungen für u( r) und i( r) führen. Im folgenden werde ich nundiese Variationen ausführen, wobei wieder der Hedgehog-Ansatz verwendet wird. Der Vakuumanteilder Energie ist nicht explizit von den Mesonenfeldern abhängig und verschwindet daher beider Variation.Es ergibt sich somit fur die Variation bezüglich des u-FeldesbE bE f bEm bEbr bEval--=--+--+--+-­bu(r) bu(r) bu(r) bu(r) bu(r)( 4.4.3)Das Soliton42

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellmit (4.2.1) und (4.2.15), wobei für die einzelnen Summanden die Gleichungen(4.4.4a)(4.4.4b)(4.4.4c)( 4.4.4d)gelten. An dieser Stelle empfielt es sich, die Variation bezüglich der Einteilchenenergien (er auszuführen.Es gilt mit (4.1.1) und (4.1.9)< 0:' 1 h 10:' >< 0:' 10:'>=< 0:' 1 h 10:'>= J d 3 x J d 3 x' < 0:' 1 x >< x 1 h 1 x' >< x' 10:' >= J d 3 x J d 3 x' < 0:' 1 x > hx o(x - x') < x' 10:'>(er == J d 3 x 'Pt(x) hx 'Per(x)(4.4.5)mit'Per(X) =< x 10:'>(4.4.5a)Führt man nun eine Variation dieser Einteilchenenergien aus, so ergibt sich:O(er =0 « 0:' 1 h 1 0:' »o Ihl 0- < 0:' 0:' > ----'----< 0:' 1 0:' > < 0:' 1 0:' >< 0:' 1 0:' >< 0:' 1 oh 10:' > < 00:' 1 h 10:' > < 0:' 1 h 100:' >= + + ---'--:-'--- < 0:' 1 h 10:' > < 00:' 10:' > + < 0:' 100:' > + < 0:' 100:' >- (er= < 0:' 1 oh 10:'>( 4.4.6)Das gleiche Ergebnis (4.4.6) erhält man auch aus einer Überlegung, welche die Gleichung< 0:' 10:' >= 1Das Soliton 43

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellzu Grunde legt. Es gilt6 < a I a >= 0 ==> < a I 6a >=< 6a I a >= 0 ,(4.4.7)daraus folgend ergibt sich< 6a I h I a > = (cx < 6a I a >= 0< a I h 16a > = (cx < a 16a >= 0und somit folgt für die Vaiation der Einteilchenenergien die Gleichheit6f. Ot =< a I 6h I a >( 4.4.6)Diese Ergebnis verwendet man sich nun bei die Variation der Einteilchenenergien bezüglich derMesonenfelder . Für das u-Feld gilt:mit6(cx J 36u(r) = d X/f'Ot(x)-YOg/f'Ot(X) += gr J2 dn ~cx(r, n)/f'Ot(r, n)= gr 2 scx(r)( 4.4.8)/f't(X)-yo = ~Ot(x)scx(r) = J dn~cx(r,n)/f'Ot(r,n)(4.4.8a)Führt man nun noch die Funktion So(r) mit( 4.4.9)ein, so ergibt sich aus (4.4.3) für das u-Feldu(r) = --4Ncg { () ()} m;f7r2 So r + Sval r 17val + --2- .~~ ~( 4.4.10)Die Ausführung der Ableitung der Regularisierungsfunktion nach der Einteilchenenergie führt zuder Gleichung(4.4.11)Nach der Herleitung der Bewegungsgleichung für das u-Feld bestimme ich hierzu analog dieBestimmungsgleichung für das ~-Feld.Wiederum gilt6E 6E, 6E m 6Ebr 6E va l--=--+--+--+--6i(r) 6i(r) 6i(r) 6i(r) 6i(r)'(4.4.12)Das Soliton44

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellwobei die einzelnen Summanden die Gleichungen(4.4.13a)(4.4.13b)(4.4. 13c)(4.4.13d)erfüllen mitDia 2 _ ( )Dir(r) = gr Pa r(4.4.13e)und Pa(r) = J dO)Öa(r, O)hsT l"a(r, O) . (4.4.14)Nach Einführung der Funktion Po(r) - gegeben durch- 1",",{ . _ IdR(ia,A) _ }Po(r) = -"2 L...J s:gn(ia)R(ia, A)Pa(r) + jt:a dia Pa(r)a(4.4.15)- führt dies mit (4.4.12) zu der Gleichung(4.4.16)Mit Hilfe der nun gewonnenen Gleichungen (4.4.10) und (4.4.16) läßt sich eine Prozedur starten,welche zu selbst konsistenten Mesonenfeldern führt und mit Hilfe des Computers durchgeführtwerden kann. Das Prinzip dieser Selbstkonsistenz-Prozedur ist auf folgende Art anschaulich darstellbar:Das Soliton 45

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellI Anfang!I 0 n (r) I!I O"n(r), in(r) I!I hn I an >= icm I an > I!I ~~(r, n) I!nem:I Anfang IHierbei benutzt man die Beschränkung auf den chiralen Zirkel und den damit sinnvoll verbundenenAnsatz (4.3.2) fur die Mesonenfelder. Als Startprofil fur die Selbstkonsistenz-Prozedurverwendet man erfahrungsgemäß das lineare Profil, da es am schnellsten zur Konvergenz - d.h.0 n + 1 - 0 n --+ 0 - fuhrt.In Abb . 9 ist das Konvergenzmaß K1 rDboundK = Dbound J o{0n+l(r) - 0 n(r)}2 dr (4.4.17)gegen die Anzahl von Iterationsschritten i rur das lineare Profil als Startprofil bei g=3.7 und g=4.5aufgetragen. Dbound ist hierbei ein notwendiger numerischer Parameter, der dazu fuhrt, daßdie Diracgleichungen in einem endlichen Raum gelöst werden. Für weiteres sei auf den AnhangF verwiesen. Diese Kurven zeigen, daß die Anzahl der notwendigen Iterationsschritte, die zurselbstkonsistenten Lösung fuhren, von der jeweiligen Kopplungskonstante g abhängt. An dieserStelle sollte aber angemerkt sein, daß es bei der Berechnung der selbstkonsistenten Lösung furunterschiedliche Kopplungen sinnvoll ist, als Start profil ein Endprofil schon berechneter Lösungenähnlicher Kopplungskonstanten zu wählen, da dies den numerischen Aufwand mindert.Das Soliton 46

Einführung des w-Mesons in das NJL·Modellg=4.5g=3.71.00:::c 0.800CUE 0.60Nc:Q)Cll...Q)c:>0:::c0.400.200.001 3 5 7 9 11Anzahl der Iterationsschritte iAbb. 9: Das Konvergenzmap als Funktion der Anzahl der IterationsschritteZum Schluß dieses Unterkapitels zeigt Abb . 10 einen Vergleich zwischen dem Start und demEndprofil e(r) und wertet somit die aus dem parametrisierten Ansatz erhaltenen Ergebnisse.Im nun folgenden Unterkapitel werden verschiedene Observablen berechnet und untersucht.4.5. Observablen des Solitons4.5.1. Mean-Field-EnergieBeginnen möchte ich mit der Untersuchung der Gesamtenergie, welche auch als Mean-Field­Energie bezeichnet wird. Der Name ergibt sich aus der verwendeten Näherung, die meson ischenFelder klassisch zu behandeln. Diese weitverbreitete Vorgehensweise trägt auch den Namen Mean­Field-Approximation ( MFA ) [57J [58J • Jedoch ist die Mean-Field-Energie nicht mit der Energiedes Nukleons E NEN ~ 938 MeV (4.5.1)Das Soliton 47

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellEndprofil------_.-.---Startproril3.20-\,.2.40 • •• - •Q) • g=4.5•~• 1.60 •~• •,,\,. •, ~•(t\• •\.00.80••:Eu0.00 L ____ ~_~~Iooo.oJ..-"'-__=:::======::d0.00 0.50 '.00 1.50 2.00Ort r [ fm 1Abb. 10: Das Start und Endprofil e bei einer Kopplungskonstante von g=4.5 als Funktiondes Ortesidentisch, da sie ein System beschreibt, das keine guten Isospin- und Drehimpulsquantenzahlenbesitzt. Diese Tatsache wird im Zusammenhang mit der Lösung der Diracgleichung (4.1.1) imAnhang F deutlich. Durch einen sogenannten Cranking-Ansatz läßt sich jedoch eine Beziehungzwischen der Energie des Nukleons EN bzw. des Deltas E~ und der Mean-Field-Energie EMFAherleiten [31] . Es gilt1(1 + 1)N- MA -2J2~2--=-~E - E F + ......~(;i + 1)EtJ,. = EMF A + 2 ~J ' (4.5.2)wobei J das 1rägheitsmoment darstellt. Verwendet man nun den experimentellen Wert des N-ß­Splittings EN -höher als die Mean-Field-Energie.EtJ,., welcher 293 MeV beträgt, so ergibt sich die Nukleonenergie um -75 MeVIn Abb . 11 sind die Gesamtenergie, Valenzenergie und Seenergie als Funktion der Konstituentenmassem aufgetragen. Für Kopplungskonstanten, deren Wert kleiner als g=3.7 ist, ergabensich keine selbstkonsistenten Lösungen mehr, wie schon aus dem parametrisierten Ansatz zu vermutenwar. Ein Vergleich mit den schon untersuchten 0(3) und O(4)-Regularisierungsverfahren zeigt,daß die Konstituentenmasse einen sehr viel geringeren Einfluß auf die Gesamtenergie im Pauli­Villars-regularisierten NJL-Modell- ähnlich dem Proper-Time-Verfahren - hat.. 1rotzdem liegenDas Soliton 48

Einführung des ",,-Mesons in das NJL-ModelJGesamt. Valenz. See.1400r-------------------------------------~>(1J2-1000600200"'...... ~' .... -.~___ 1fI" ........--~ ... -.,.- .... .... ........... .... .... , ........... ............ .... .... .....-............. .... .... .. .. "'-"'- ...-200~~~~~~~~~~--~~~~~~~~350 450 550 650 750 850Konstituentenmasse mMeV]A bb. 11: Die Energien Eval, E.s cc und Egc.su.mt als Funktion der Konstituentenmasse mdie erhaltenen Werte in dem physikalisch interesanten Bereich in der gleichen Größenordnung undsomit hat auch die Einführung der Pauli-Villars-Regularisierung nicht zu einer Verminderung derGesamtenergie, welche im Vergleich mit (4.5.2) und (4.5.1) um ca. 300 MeV zu groß ist, geführt.Dieses Ergebnis legt die Vermutung nahe, daß Vektormesonen eingeführt werden sollten. DieseFolgerung ergibt sich aus Berechnungen in anderen Modellen [15] [17] und es sei angemerkt, daßes Rechnungen von R.T.Alkofer und H.Reinhardt gibt, welche das durch ein p-Meson erweiterteNJL-Modell behandeln und dadurch auf eine Mean-Field-Energie führten, welche um ca. 300 MeVvermindert ist. Im Verlauf dieser Arbeit soll nun das bisher noch nicht untersuchte durch dieEiniührung eines ",,-Mesons erweiterte NJL-Modell betrachtet werden.Der Parallelverlauf der See-Energie und der Gesamtenergie nach dem Eintauchen des Valenzorbitalsergibt sich durch den symmetriebrechenden Term, welcher ebenfalls zur Gesamtenergiebeiträgt.Der Vollständigkeit halber ist in Abb . 12 das selbstkonsistente Pionfeld bei einer Kopplungskonstanteg=4.5 und g=8.0 gezeigt. Man erkennt, daß das Maximum der beiden Kurven identischist, jedoch das Pionfeld bei einer stärkeren Kopplung schneller gegen seinen Vakuumerwartungswertiv = 0 konvergiert.Das Soliton 49

Einführung des WJ-MesoRS in du NJL-Moaellg--4.5g=B.O0.000.20t::0.400.600.801.000.00 0.50 '.00 1.50 2.00Ortr [fm]Abb. If: DtU Pionfeld cls FunJ:tion des Ortes für unterschiedliche Kopplungs1:on.stcnten 94.5.2. Der Sigma-Kommutator. quadratischer Radiusund die axiale KopplungskonstanteDer Sigma-Kommutator ~.N ist definiert. als [36] [22](4.5.3)und ergibt sich in unserem Modell zu [63](4.5.4)Sein experiment.eller Wert liegt. bei ~.N ~ ( 30-65 ) MeV [36] [22] ,80 daß er nicht sehr geeignetist um Experiment und Theorie zu vergleichen.Abb • 13 zeigt. den Sigm;rKommutator 2:lr.N als Funktion der Konstituentenmasse m. DieKurve weist ein Maximum bei ca. 440 MeV auf und fällt dann ab. Für den Bereich 350 MeV< m< 660 MeV ergeben sich Ergebnisse. welche in dem Fehlerint.ervall des experimentellen Wertes für~.N liegen.Da Soliton 50

Einführung des w-Meson.s in du NJL-Modell..-50>4>~ 40......L--030-CO~200~ICO10EClü) 03S0 450 5S0 6S0 7S0 8S0Konstituentenmasse m [ MeV]Abo. 13: Der Sigma-Kommutator~,N als Funktion der Konstituentenmasse mDie nächste betrachtete Observable ist der quadratische Radius, welcher gegeben ist durch< r 2 >= f dr r2p(r)~ ,(4.5.5)wobei p(r) die Baryonendichte B darstellt mitB = 100r 2 drp(r) = 1 .(4.5.6)In unserem Modell lautet die Baryonendichte explizitp(r) = 7JwlPval(r) + P.ee(4.5.7)mitpwl(r) = J dO 'P:a,(r)'PlIa,(r)P.ee(r) = J dO I: {'Pt(r)'PQ(r) (~8ign(-'Q») }Q(4.5.7a)(4.5.7b)Der experimentelle Wert des quadratischen Radius ergibt sich als Summe von Proton- und Neutron­Radius zu(4.5.8)Das Soliton 51

Einführung de$ w-Me$ou in du NJL-ModellValenz. - See. - Gesamt.~-t'I-~A\0-V0.800.600.400.20IIIIIII0.00 ---------------.-----~- .--~-----350 450 550 650 750Konstituentenmasse m [ Me V ]850AU. 14: Der guadratische RadifU < r2 > und $ein Valenz- und Seeanteil als Funktion derKOMtituentenmu$e mIn Abb . 14 sind< ,.: >, vAl und< ,.: >.tee als Funktion der Konstituentenmasse m dargestellt.Auffällig ist, daß die Gesamtenergie stetig ist, die See-Energie dagegen eine SprungsteIlebeim Eintauchen des Valenzorbitals in den See hat. Bis zu dieser SprungsteIle bildet der Valenzanteilden überwiegenden Beitrag zum gesamten quadratischen Radius. Im Vergleich zu den anderenRegularisierungsschemen ist im Kurvenverlauf prinzipeIl kein Unterschied festzustellen. Die Werteliegen ebenfalls in der gleichen Gößenordnung. Der Vergleich mit dem experimentellen Wert liefert,daß für eine kleine Kopplung um 9 ::::: 4.0, welche im physikalisch sinnvollen Bereich liegt,Übereinstimmung vorliegt.Zm Schluß dieses Unterkapitels betrachte ich die axiale Kopplungskonstante GA, welche überdie Goldberg. Treimann-Relation [32} mit der Pion-Nukleon-Kopplungskonstante G'ffN N verbundenist.Für ein beliebiges Pionfeld gilt:GA(O) = :~ G"NN(O)= ;i~ 3{; r (q2 +mi) {t ,.2j,(qr)*)dr+ r: ,.2it(qr)7(r)dr}Du Soliton 52

Einführung dcs w-Mcsons in Jeu NJL-MoJcll(1)...c:roc:(1)CO>N 0.700.65 "-"'---.-..I-----"""-~----""---'--""'---..I.. ______ ........ ...J350 450 550 650 750 850Konstituentenmasse m MeV 1Abb. 15: Die aziale Kopplungskonstante GA als Funktion der Konstituentenmasse m(4.5.9)Ein durch die Gradientenentwicklung motivierter vernünftiger Ansatz für das asymptotische Verhaltendes Pionfeldes [63] ist der Yukawa-Ansatz, welche die Forme-m. ... ,.tim r(r) = C---::;-- (1 + I'n,rr)'-00 r-hat und unter dessen Verwendung die Formel [33](4.5.10)(4..5.11)hergeleitet werden kann. Bei der numerischen Untersuchung der Funktion GA(r) als Funkt.iondes Ort.es r findet. man jedoch kein eindeut.iges asymptotisches Streben gegen den Wert. "'ttCfür große r. Auch der Versuch, das selbstkonsistente Pionreld anst.elle des Yukawa-Ansatzes zuwählen, führte zu keinem befriedigenden Ergebnis. Dies hängt. wahrscheinlich mit. der Wahl dernumerischen Parameter zusammen, welche auf die übrigen Observablen keinen bemerkenswertenDu Soliton 53

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellEinfluß hatte!!. In diesem Zusammenhang ist jedoch anzumerken, daß das Verfahren an sich bereitsfraglich ist, weil die physikalische Information für den soliton ischen Bereich aus dem Bereich großerr-Werte extrahiert wird, die wegen Randeffekten nicht numerisch stabil sind. Andere Observablenwie< r 2 > und Z7r,N entgegen ergeben sich aus der Integration über den gesamten Raum R 3 .Die Untersuchung des Valenzbeitrages der axialen Kopplungskonstante führte dagegen zueinem besseren Ergebnis. Im Fall der Proper-Time-Regularisierung ergab sich nach Rechnungenvon Th.Meissner [63], daß der Seeanteil von GA nur einen geringen Beitrag liefert. und es liegtnahe, daß gleiches auch für die Pauli-Villars-Methode gilt. GA selbst hat einen experimentellenWert von GA R:: 1.23. Formal ausgedrückt lautet der Valenzbeitrag von GA(4.5.12)wobei A3 die z-Komponente des durch (2.1.8) gegebenen Axialstromes ist. Abb . 15 zeigt denValenz beitrag als Funktion der Konstituentenmasse m. Es ist eine monoton fallende Funktion,welche im Gegensatz zu den Werten der übrigen schon untersuchten Regularisierungsschemen gegenden Betrag GA = 0.69 zu streben scheint. Insgesamt ist GA im Pauli-Villars-regularisierten NJL­Modell im Vergleich zu den anderen regularisierten NJL-Modellen [63] [54] [55] nicht so starkvon der Konstituentenmasse abhängig, wobei der Wert bei kleineren Kopplungen in der gleichenGrößenordnung liegt.Insgesamt führte die Untersuchung des Pauli-Villars-regularisierten NJL-Modells zu einem positivenBild: Abgesehen von den sehr zufriedenstelIenden Ergebnissen der Observablen im Vakuum­Sektor, sind auch die Werte der solitonischen Observablen mit dem Experiment vergleichbar. Angemerktsei auch noch der im Vergleich zu anderen Regularisierungsmethoden geringere numerischeAufwand. Zusätzlich seien die Eigenschaften1) Eichinvarianz2) Erhaltung des Rechengesetzes für Logarithmen3) Anwendbarkeit der Heat-Kernel-Entwicklungder Pauli-Villars-Methode zu erwähnen, welche im Zusammenhang mit der Einführung desw-Mesons noch eine wichtige Rolle spielen werden. In den noch folgenden Kapiteln erfolgt zumeinen die Herleitung der Gasser-Leutwyler-Koeffizienten; im weiteren die Einführung desw-Mesons. In beiden Fällen findet das Pauli-Villars-regularisierte NJL-Modell seine Anwendung.Das Soliton 54

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell5. Die Gradienten-EntwicklungIn diesem fünften Unterkapitel soll das Nambu-Jona-Lasinio Modell ohne Vektormesonen beiAnwesenheit von äußeren Quellen nach seinen Gradienten entwickelt werden. Hierbei wird vorerstder chiralbrechende Term und die skalare bzw. pseudoskalare äußere Quelle vernächlässigt, um dieentstehende Rechnung zu vereinfachen. Es sei jedoch angemerkt, daß die Miteinbeziehung dieserTerme die Rechnung wohl kompliziert, jedoch ihren prinzipiellen Verlauf nicht ändert. In diesemZusammenhang sei auf das Preprint [34] verwiesen, in welchem die Untersuchung des folgendenfünften Kapitels auf das vollständige erzeugende Funktional des NJL-Modells angewandt wird. Desweiteren wird in [35] das NJL-Modell mit Vektormesonen im gleichen Kontext untersucht.Bevor im Unterkapitel5.2 die effektive Wirkung mittels der Methode von Lai-Hirn Chan nachseinen Gradienten entwickelt wird und anschließend bis zur zweiten Ordnung mit dem Gell-MannLevi Sigmamodells [10] verglichen wird, stelle ich im Kapitel 5.1 die Methode von Lai-Hirn Chanangewandt auf eine allgemein vorgegebene Wirkung vor. Inhalt des Unterkapitels 5.3 soll unteranderem eine kurze Erläuterung der chiralen Störungstheorie sein, welche als eine Entwicklungder QCD im Bereich kleiner Energien gilt [38] [39]. Es ergibt sich eine effektive Theorie, dienur Pseudoskalare enthält und in Ordnungen des externen Impulses p2 des Pseudoskalares undder Quarkstrommasse mo erscheint. In der vierten Ordnung, also 0 (p4, p2 mo , mo ) ergebensich zehn dimensionslose Parameter, welche mit dem Experiment in Verbindung gebracht werdenkönnen und von Gasser und Leutwyler bestimmt wurden [38] ; sie tragen daher den Namen Gasser­Leutwyler-Koeffizienten. Nach der Vorstellung dieser Koeffizienten soll anschließend im Kapitel 5.3ein Vergleich des gradientenentwickelten NJL-Modells mit dem effektiven chiral störungsentwickeltenQCD-Modell folgen. Daraus folgend werde ich unmittelbar die Gasser-Leutwyler-Koeffizientenim Fall des NJL-Modells herleiten und ihre Werte mit dem Experiment vergleichen.Die Gradienten-Entwicklung 55

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell5.1. Die Methode von Lai-Hirn ChanIn diesem Unterkapitel 5.1 soll die Gradientenentwicklung ( derivative expansion) mittelsder Methode von Lai-Hirn Chan vorgestellt werden [52] . Hierzu gebe ich mir erst einmal eineallgemeine Wirkung(5.1.1)vor, wobei U nur ortsabhängig ist. Im folgenden soll diese nun bis zur vierten Ordnung in DIientwickeltwerden.Anders ausgedrückt läßt sich die Wirkung (5.1.1) auch durch die Gleichung(5.1.2)darstellen, wobei d üblicherweise 4 beträgt. Führt man nun den unitären Operator [46]p = e-ikjJxjJpt = e+ikjJxjJ(5.1.3)mit dem Ortsoperator xli- - welcher nach den GleichungenPPli- pt = Pli- + kli­PXli- pt = xli-(5.1.4)eine Impulstranslation erzeugt - ein, so ergibt sich aus (5.1.2) durch das Einfügen von zwei Einsender Ausdrucks = -~SP"Y7'C J ddx < x I e-ikjJxjJeikjJxjJ In(-D 2 + U) e-ikjJxjJeikjJxjJ I x >= -~SP"Y7'C J dd;re-ikjJxjJ < x I eikjJxjJ In( _D 2 + U) e-ikjJxjJ I x > eikjJxjJ= -~SP"Y7'C J dd x < x Iln (-(DIi- - ikli-)2 + U) I x> , (5.1.5)wobei zum einen die Impulsunabhängigkeit von U und zum anderen die Eigenwert-Gleichungverwendet wurde. Mittels der Definition(5.1.6)(5.1. 7)erhält man für (5.1.5) den AusdruckS = -~SP"Y7'C J dd x < x Iln (ß- 1 + 2ikIJDIi- - D 2 ) I x > . (5.1.8)Die Gradienten-Entwicklung 56

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellAufgrund der Gleichheit der Formeln (5.1.2) und (5.1.5) ergibt sich somit somit die GleichungS(k) = S(k = 0) , (5.1.9)aus welcher die Identität(5.1.10)folgt. Für die Wirkung gilt somit weiterwobei 8 d (O) durch1 J ddk (-1. 2)S = - 28d(O) (211")d Sp In.6. + 2zkJ.lDJ.l - D , (5.1.11)(5.1.12)gegeben ist. Nun spaltet man den Term'" f (g;~d Sp In.6. -1, welcher von nullter Ordnung in DJ.list, ab und entwickelt den sich ergebenden Term in Ordnungen von D w Hieraus ergibt sichmitS = SO + sstör (5.1.13)o 1 J ddk -1S = - 28d(O) (211")d Sp In.6. (5.1.13a)sstör = __ 1_ J ddk Sp ~ (-1 )n+1 (.6. [2ik D _ D2]) n28d(O) (211")d ~ n J.l J.l ,(5.1.13b)wobei der Logarithmus entwickelt wude. Es sei angemerkt, daß ich im folgenden nur Terme biszur vierten Ordnung in n explizit aufführen, da ich zum Schluß einen Ausdruck nur bis zur viertenOrdnung in Dp, enthalten möchte. Führt man nun für jede verbleibende Ordnung n den Integranden, welcher sich als Produkt darstellt, durch Ausmultiplizieren in eine Summe über, verwendet diezyklische Vertauschbarkeit der Operatoren in der Spur und berücksichtigt, daßa) D keine Funktion von k istb) .6. eine gerade Funktion von k istc) die Integrale über ungerade Funktionen von k verschwinden,so ergibt sich der Ausdruck:sstör = __ 1_ J ddk Sp {_D2.6. + 2 (k. D.6.)2 _ ! (D2.6.)228d(O) (211")d 2+4(k . D.6.)2(D 2 .6.) - ~(D2 .6.)3 - 4(k . D.6.)4+4(k . D.6.)2(D 2 .6.)2 + 2(k . D.6.D 2 .6.)2 - ~(D2 .6.)4 ± .. -}(5.1.14)Die Gradienten-Entwicklung 57

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellEs gilt nun die Formel(5.1.15)mitVerwendet man diese Formel, vertauscht wiederum zyklisch und vernachlässigt alle Terme, welchehöher als vierter Ordnung in DJl sind, so ergibt sich schließlich:sstör = __ 1_ J ddk sp {_D2 Ä _ ! (D2 Ä)2 + ~k2 D ÄD Ä26d(0) (271")d 2 d /1- Jl+~~{~Ä~Ä&Ä+~Ä~Ä~Ä+&Ä~Ä~Ä}4 4 {- d(d + 2) k D/1-ÄDJlÄDv ÄDv Äd(d ~ 2) k 4 +D/1-ÄDv ÄD/1-ÄDv Ä + D"ÄDv ÄDv ÄD/1-Ä} }(5.1.16)Unter Benutzung der Identität1 B1 = d Bk kJl/1-(5.1.17)läßt sich nun der Anteil von sstör, welcher von Oter Ordnung in k ist, umformen und in einen Termzweiter Ordnung in k überführen. Es gilt(5.1.18)wobei partiell integriert wurde. Nach der Ausführung der Ableitung nach k/1-folgend:ergibt sich daraus(5.1.19)Unter Benutzung der Identität(5.1.20)Die Gradienten-Entwicklung 58

Einführung des w-Mesons in das NJL-Model/angewandt auf die Terme der Wirkung sstör (5.1.16) - unter Verwendung der Umformung desTermes sstörO (5.1.19) - , welche sowohl k 2 enthalten als auch von 4ter Ordnung in D/J- sind, ergibtsich weiter+~ {D/J-t::..D/J-t::..D2 t::.. + D/J-t::..D 2 t::..D/J-t::.. + D 2 t::..D/J-t::..DiJt::..} }1 ddk 2k2 {{ 2 2 2 2 2 } {8 2 }}= (27r)d d Sp -D t::.. D t::.. + 2(DIL t::..) D t::.. 8k/J- (klLk )ddk 2 {2 8 ( 2 2 2 2 2 )}= -1(27r)d d(d + 2) Sp klLk 8k/J- -D t::.. D t::.. + 2(DiJ t::..) D t::..=-1 ddk 2 Sp {k4{4D2t::..3D2t::..+2D2t::..2D2t::..2_4D t::.. 2 D t::..D 2 t::..(27r)dd(d+2) /J- i-4D IL t::..DiJt::.. 2 D 2 t::.. -4(D Il t::..)2D 2 t::.. 2 }} . (5.1.21)Bei der letzten Umformung wurde wiederum die zyklische Vertauschung und die partielle Integrationbenutzt. Faßt man die zuletzt erhaltenen Ergebnisse zusammen, so erhält man nach erneuterzyklischer Vertauschung rur die gesamte Wirkung den Ausdruck:_ 1 1 ddk { -1 2k 2 ( "2 2 " 2)S - - 26d(O) (27r)dSP In t::.. + d -D t::.. + (D/J-t::..)_ 4k 4 (2b2t::..3b2t::..+b2t::..2b2t::..2_2b t::..2b t::..b2t::..d(d+2) /J- /J--2biJt::..b lL t::.. 2 b 2 t::.. - 2(b/J.t::..)2 b 2 t::.. 2 (5.1.22)An dieser Stelle habe ich durch den Index " nochmals herausgehoben, daß das bisher verwendeteD ein Operator ist . Verwendet man im folgenden die Identitätwobei die Definition der kovarianten AbleitungSp (_b 2 t::.. 2 + (b/J-t::..)2) = ~SP [b/J-, t::..] 21 2= -"2 Sp(D IL t::..) , (5.1.23)( 5.1.24)benutzt wurde, und formt nach einer etwas mühevollen Rechnung auch die Terme von vierterOrdnung in k nach gleichem Prinzip (5.1.23) um, so erhält man schließlich für die Wirkung einenAusdruck, welcher die Wirkung in Potenzen von D bis zur vierten Ordnung darstellt.Es ergibt sich also nach Verwendung der Methode von Lai-Him Chan folgende gradientenentwickelteWirkungDie Gradienten-Entwicklung 59

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell1 J ddk { k 2S = - 28d(O) (27r)d Sp In ß -1 - d(DiJ.ß?2k 4 ( 2 2 2 2- d(d + 2) 2(ß(D ß)) + ((DiJ.ß)(Dvß)) - 2(DiJ.ßDiJ.ß)-2FiJ.vß2 FiJ.vß2 - 4iFiJ.vß(DJLß)~(Dvß))} (5.1.25)mit(5.1.26)Es ist in diesem Zusammenhang nach einmal wichtig h ~rauszustellen,daß DJL die kovariante Ableitungim Gegensatz zu DiJ. kein Operator ist.Für den Fall, daß ß - also U - ortsunabhängig ist, vertauscht ~ mit D und die Gleichung(5.1.22) vereinfacht sich zu(5.1.27)und daraus folgend ergibt sich schließlich mit (5.1.24) rur die gradientenentwickelte Wirkungder Ausdruck(5.1.28)Nachdem in diesem Unterkapitel eine allgemein vorgegebene Wirkung in Ordnungen von DJLentwickelt wurde, werde ich im nächsten Unterkapitel diese Methode von Lai-Hirn Chan auf denRealteil der Wirkung des NJL-Modells in Anwesenheit von äußeren Quellen anwenden.Die Gradienten-Entwicklung 60

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell5.2. Gradienten-Entwicklung des NJL-ModellsNachdem im Kapitel 5.1 eine allgemein vorgegebene Wirkung mittels der Methode von Lai­Hirn Chan entwickelt wurde, soll nun das erhaltene Ergebnis (5.1.25) auf das NJL-Modell in Anwesenheitvon äußeren Quellen übertragen werden.lautetDas erzeugende Funktional des NJL-Modells in Anwesenheit von äußeren Quellen s, p, alJ. , vI'wobei der Lagrangian gegeben ist durch(5.2.1)(5.2.2)Hierbei steht N j für die Anzahl der flavours. Die La 's representieren die Generatoren der SU(N j )und mo steht für die diagonale Quarkstrommassen-Matrixmo = diag( m u , md , m s , ... ) .(5.2.3)Für die Spezialfälle N j = 2 und N j = 3 lauten die Generatoren explizitLa=Ta a=1,2,3 fürSU(2)La = Aa a = 1,2,···,8 für SU(3) ,(5.2.3a)(5.2.3b)wobei die Matrizen Ta die 2 x 2-Pauli-Spin-Matrizen darstellen und die Aa die 3 x 3-Gell-MannMatrizen representieren. Die externen Felder s , p , vI' , alJ. stellen Matrizen der ArtN2_1fLs = 2: -fSaa=lN2_1f Lp = 2: -fPaa=lNJ-lvI' = 2: ~av~a=lN;-l'"' La aalJ.= ~ Tal'a=l(5.2.4a)(5.2.4b)(5.2.4c)(5.2.4d)Die Gradienten-Entwicklung61

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modelldar. Bisher haben wir nur den Fall Nj = 2 betrachtet, welcher zu dem Lagrangian (2.1.1) fUhrte.Im folgenden werden nun die Rechnungen für den verallgemeinerten Fall - N j beliebig - durchgeführt,wobei immer wieder explizit auf die Spezialfälle Nj =2 und 3 eingegangen wird. Imweiteren werde ich zur Vereinfachung der Rechnung den symmetriebrechenden Term vernachlässigen.d.h. ich setze mo = O. Des weiteren werde ich - ebenfalls zur Vereinfachung - dieäußere skalare und pseudoskalare Quelle ersteinmal Null setzen. Nachdem nun in Analogiezu Kapitel 2 dieser Ausdruck bosonisiert, wickrotiert und anschließend eine O-Boson-Loopbzw. 1-Fermion-Loop-Approximation durchgeführt werde, ergibt sich für die effektive Wirkungdie Gleichung2Sejj [U ,5 ,p ,Vp. ,all] = -Sp In (iD) + :GSp (otO)= S~fJ [u ,5 ,p ,Vp. ,all] +S;jj [u ,5 ,p ,Vp. ,ap.] ,(5.2.5)wobei iD gegeben ist durchiD = -i'YlI + M(5.2.6)mit1I1L = op. + i (Vp. + 'Ysap.)M = mO = S + i')'sP .(5.2.6a)(5.2.6b)Der letzte Term der effektiven Wirkung S;j j ist aufgrund der Identität (2.4.2) fur Nj = 2 äquivalentdem schon bekannten Term(5.2.7)Im folgenden soll nun der Realteil der Fermionendeterminante, also der Realteil vonS;j j' entwickelt werden. Nach der Formel (2.4.13) errechnet sich der Realteil aus der Gleichung(5.2.8)Anderseits muß dies äquivalent sein zu dem Ausdruck1 1 {lt I} 1 (t)Re Sejj = '2 Sejj + Sejj = -'2Sp In D D (5.2.9)und somit ergibt sich durch eine naheliegende Mittelung die Gleichheit(5.2.10)für den Realteil der effektiven Wirkung. Führt man nun die Argumente der Logarithmen aus, soergibt sichDDt = (-i')' . lI)(iII . 'Y + Mt)= 'Yp.'YlIllp.fill - i'Y' (lIMt - Mtfi) + M Mt-2 1 - 1 - t t= -ll - '2up.IIFp.1I + -Ti' DM + M M (5.2.11)Die Gradienten-Entwicklung 62

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellmitund im weiteren(f/-,V = ~ ['Y/-','Yv]F/-,v = [II/-" IIv]'Y/-,II v = tiv'Y/-'D/-,M = tiM - MIIt 2 1 1 tD D = -II - "2(f/-,vFmuv - i'Y· DM + M M .(5.2.12)Aufgrund der Beschränkung auf den chiralen Zirkel ergibt sich vereinfachend(5.2.13)Im folgenden werde ich nun ersteinmal den TermS~ff= -~sp In (DDt)bestimmen. Durch einen Vergleich mit (5.1.2) erhält man mittels (5.1.7) die Zuordnung122 1 t 1 -Ä;; = k + m + if/JM - "2(f/-,vF/-,v , (5.2.14)wobei es sich hierbei um einen von x unabhängigen Ausdruck handelt. Da ich im folgenden dieeffektive 'Wirkung bis zur vierten Ordnung in D/L ent.wickeln werde, empfielt es sich an dieser StelleÄ;;1 zu entwickeln. Setzt man Ä -1 = k 2 + m 2 , so erhält man unter Berücksichtigung kleinerGradienten zum einen(5.2.15)und für die Entwicklung des Logarithmus ergibt sichIn Ä;;1 = In {Ä -1 (1 + (~f/JMt - ~(f/-'vF/-'v) Ä) }= In Ä- 1 + f (_1~n+1 [(~f/JMt - ~(f/LvF/-'v) Ärn=1(5.2.16)Nun gilt es das erhaltene Ergebnis (5.1.25) aus Kapitel 5.1 zu verwenden und somit erhält man:1 J ddk { k 2 2Re S~ff = - 26 d (O) (27r)d Sp In Ä;;l - d (D/-,Ä*)2k 4 { 2 2 2- d(d + 2) 2(Ä*(D Ä*)) + ((D/-,Ä*)(DvÄ*)) - 2(D/LÄ*D/-,Ä*)- F/LvÄZF/LvÄZ - 4iF/-,vÄ*(D/-,Ä*)Ä(D/LÄ*)} } (5.2.17)Die Gradienten-Entwicklung 63

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellBerücksichtigt man nun die Entwicklung (5.2.15), vernachlässigt alle Terme höher als vierterOrdnung in Dp. und bedenkt, daß ß ortsunabhängig ist, so ergibt sich nach (5.1.27) schließlich:Bei der letzten Umformung wurde im weiteren berücksichtigt, daß die Anwendung von SP-y aufeine ungerade Anzahl von I-Matrizen verschwindet.Um die Spur über die I-Matrizen vollständig auszufuhren, ist es günstig eine andere Schreibweisezu benutzen, in dem man die links- und rechts-händigen Projektionsoperatoren(5.2.19a)(5.2.19b)mitP t _ P _ p 2RIL - RIL - RILeinführt. Hieraus folgend gelten die nützlichen IdentitätenPR + PL = 1PR - PL = 15 .(5.2.20a)(5.2.20b)Diese nun eingefuhrten Projektionsoperatoren projezieren in die sogenannten Helizitäts-Unterräume.Darunter versteht man folgenden Sachverhalt:Gegeben sei der Dirac-Spinor 'ljJ, welcher in die Form(5.2.21)gebracht werden kann. Wendet man nun auf diesen Spinor den Helizitätsoperator L'P mitL= (~ ~)(5.2.22)Die Gradienten-Entwicklung 64

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellan, welcher angibt, ob der Spin in Richtung des Impulses p oder entgegen gesetz gerichtet ist, soergeben sich die Eigenwert-Gleichungenü· ß

Einführung des w-Mesons in das NJL-Model/und daraus folgend ergibt sich der Vollständigkeit halberD~O = [l1~,O]DfrO = [l1fr,O] .(5.2.31a)(5.2.31b)Nach dieser kurzen EinfUhrung in die Behandlung rechts- und links-händiger Eigenfunktionen,erfolgt nun die EinfUhrung dieser neuen Größen und daraus folgend die sich daraus ergebendeeinfachere Ausf"tihrung von Sp-y.Beginnen möchte ich mit der Berechnung der einzelnen Summanden der effektiven Wirkung(5.2.18). Es gilt:(5.2.32)An dieser Stelle stellen M und Mt noch Operatoren dar, welche von 15 abhängen. Definiert manjedochM = m (UPR+UtpL)Mt =m(UtPR+UPL)(5.2.33)mitU = S+iPut = S- iP,so erhält U keine 15-1\1atrix. Des weiteren ist es möglich l1 tL in die Form(5.2.34)zu bringen, wobei II R und l1 L keine 15-Matrix enthalten. Somit ergibt sich in Analogie zu (5.2.33)DtLM = ftJiM - Ml1Ji_ (R t t L) ( L R)- m IIJiU - U l1 tL PL + m l1JiU - Ul1Ji PR= m (DtLUt PL + DtLU PR)DtLMt = m (DtLU PL + DtLUt PR) (5.2.35)Die Gradienten-Entwicklung 66

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellSomit ergibt sich schließlich(5.2.36)In ähnlicher Weise ergeben sich die übrigen Spurberechnungen. Es gilt somit im weiteren(1 -) 2 ( ( R) 2 (L ) 2) i ( L L R R)SP-y 2 (1'J1.VFJ1.V = FJ1.v + FJ1.v - 2 f J1.VOiß FJ1.V FOiß - FJ1.V FOiß 'wobei die Identitäten(5.2.37)und die Spuridentitäten aus Anhang A verwendet wurden. Des weiteren gilt analog:SP7 {ku.vfr.v G jI)Ml),} =2;m' [F!(D.Ul)(DvU) + F;v(D. U)( DvUl) I(5.2.38a)(5.2.38b)+fJ1.VOißm 2 [F:v(DOiU)(DßUt) - F:V(DOiUt)(DßU)](5.2.39)Sh{ O·PMt)4} =4m 4 (DJ1. UtDJ1.U) 2 +4m 4 (DJ1. UD J1.Ut ) 2 -4m 4 (DJ1.UDvUtr+2ifJ1.vOißm4 (DJ1.Ut DvU DOiUt DßU - DJ1.U DvUt DOiU DßUt)(5.2.40)Sh {DJ1.TPMt} = 4m 2 DJ.LDvUDJ1.DvUt (5.2.41)Sp-yF;v = 2 { (F:v) 2 + (F:V) 2} (5.2.42)Durch Einsetzen der erechneten Terme ergibt sich somit als Ergebnis [ur die \Virkung:1 1 J ddk { -1 1 2 2 tRe Seff = - 28d(0) (27r)dSPrCX 4ln A - 2A 4m (DJ.LU )(DJ1.U)- ~A2 { (F:V) 2 + (F:v) 2 + ~fJ.LVOiß {F:vF~ß - F:V F! } }- A 3 2im 2 {F!(DJ.LUt)(DvU) + F:v(DJ.LU)(DvUt)}- A3fJ1.VOißm2 {F:v(DOiU)(DßUt) - F!!-v(DOiU)(DßUt)}- A 4 m 4 { (DJ1.Ut DJ1.U) 2 + (DJ.L U DJ1.utf - (DJ1. U Dvutf}- ~A 4m4fJ.LVOiß {DJ.LUt DvU DOiUt DßU - DJ.LU DvUt DOiU DßUt}k 2 2 t 4- "d4m DJ.LDvU DJ.LDvU A+ d(::2) {(F:v)2 + (F:v)2}A 4 } (5.2.43)Die Gradienten-Entwicklung 67

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellNachdem die Wirkunguntersucht wurde, gilt es nun nach (5.2.10) den gleichwertigen Ausdruckzu berechnen. Durch einen Vergleich der beiden Logarithmen-Argumente (5.2.11) und (5.2.12)erhält man, daß durch die TransformationFJl.V-FJl.V (5.2.44)F R / L FL/RJl.V -Jl.VF R / LJl.VF L / R-Jl.Vder Ausdruck Sp In(DDt) in den Ausdruck Sp In(Dt D) überfuhrt werden kann. Wendet man nunalso die Transformation (5.2.44) auf (5.2.43) an, so erhält man den berechneten Ausdruck fur denTerm -!Sp In(Dt D). Setzt man anschließend diese jeweilig berechneten Terme in die Gleichung(5.2.10) ein, so ergibt sich schließlich für die gemittelte Wirkung die Gleichheit:Re S:JJ = - 2b;(0) Ne J (~:~d SPTX {41n ~ -1 - ~22m2 (DJl.Ut) (DJl.U) - ~~2 { (F:V) 2 + (F;v r}- ~32im2 {F:V(DJl.Ut)(DvU) + F;v(DJl.U)(DvUt)}_~4m4 {(DJl. UtDJl.U)2 + (DJl.UDJl.Ut) 2 -- 74m2 DJl.DvU DJl.D/lUt~ 4k 2+ d(~~2) {(F;vr + (F:v)2}~4}(DJl.UDvUtr}(5.2.45)a)Verwendet man im weiterenSPxf(x) = J ddx < y I fex) I x > Ix=y= J ddx < x I x > fex)= bd(O) J ddxf(x)(5.2.46)Die Gradienten-Entwicklung68

Einführung des w-Mesons in das NJL-l"fodellb)(5.2.47)an, führt die Pauli-Villars-Regularisierung ein und berechnet anschließend mit Anhang B diek-Integration für den Fall d=4, so ergibt sich für die effektive Lagrangedichte der Ausdruck1 m 2 [ • R t . L- 6 t t ]m~ 3zF/-lvD/-lU DvU + 3zF/-lvD/-lU DvU - D/-lDvU D/-lDvUt+ 11 :; [( D/-lUtD/-lU) 22 + (D/-lU D/-lUtr _ (D/-lU DvUt) 2]} ,(5.2.48)wobei der erste konstante Term ausgespart wurde. Aus einer Analyse die effektiven Wirkungergibt sich, daß die beiden ersten Terme logarithmisch divergent sind, wobei diese Divergenz durchdie eingeführte Regularisierung beseitigt wird. Alle übrigen Summanden der Entwicklung sindkonvergent.Bis zur zweiten Ordnung in D/-l in Abwesenheit der äußeren Quellen gilt fur die effektiveLagrangedichte im Spezialfall N f = 2C~ff = - (N c )2l: CiSp1'm 2 ln m; {D/-lUt D/-lU}411' .t=Ncm 2 h (m, A) {D/-lUt D/-lU}='; {DIlUt D/-lU}='; {(O/-lol + (O/-li)2} , (5.2.49)welche der schon erwähnten und verwendeten Wirkung (3.1.13) führt. Dieser Ausdruck stelltden kinetischen Term des 17- und i Feldes dar und entspricht unter der Annahme (3.1.14) demLagrangian des Gell-Mann-Levi-Sigmamodells. Es wird sich im 6ten Kapitel zeigen, daß sichdas gleiche Ergebnis bis zur zweiten Ordnung auch mittels der Heat-Kernel-Entwicklung ergibt.*Im nun folgenden Unterkapitel werde ich mit Hilfe des in diesem Kapitel hergeleiteten effektivenLagrangian die Gasser-Leutwyler-Koeffizienten bestimmen.*Es läßt sich zeigen, daß für das parametrisierte Soliton die Lagrangedichte in Abhängigkeitder Solitongröße R das Verhalten ~2 vorliegt.Die Gradienten-Entwicklung 69

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell5.3. Die Gasser-Leutwyler-KoeffizientenIn diesem Unterkapitel 5.3 werde ich die Idee der chiralen Störungs theorie angewandt aufdie QCD vorstellen und die daraus resultierenden Gasser-Leutwyler-Koeffizienten angeben. MitHilfe der im letzen Unterkapitel 5.2 hergeleiteten entwickelten Wirkung sollen danach die Gasser­Leutwyler-Koeffizienten des Nambu-Jona-Lasinio Modells bestimmt werden. Hierbei sei die Anzahlder fiavours auf 3 gesetzt.Bevor jedoch mit der Vorstellung der Gasser-Leutwyler-Koeffizienten begonnen wird, werdeich den Lagrangian (5.2.48) in eine andere Form bringen. Hierzu fuhre ich die rechts- und linkshändigenStröme RJ1. bzw. LJ1. ein, welche definiert sind durchLJl- = i (DJ1.U) ut = -iU (DJ1.Ut)RJ1. = i (DJ1.Ut) U = -iUt (DJ1.U)(5.3.la)(5.3.lb)Mittels der GleichungenLJ1. = -URJ1.utRJ1. = -UtLJ1.U(5.3.2a)(5.3.2b)lassen sich diese ineinander überfuhren. Verwendet man nun die nützlichen Identitäten(5.3.3)so ergibt sich der Lagrangian (5.2.48) zuL e!! = (~)2 2;: Ci {-ln mrSPT {m2LJ1.LJ1. +1~ {(F~v)2 +- ~ :: SPT { 3iF~vLJ1.Lv + 3iF{!;,RJ1.Rv1(F!)2+}}l{( L)2 (R)2 L R t}}-'2 FJ1.v + FJ1.v - 2FJl-vU FJl-v U+:2 :; SPT { (RJ1.RJ1.) 2 + (LJ1.LJ1.)2 - (RJ1. Rv)2}} .(5.3.5)Die Gradienten-Entwicklung70

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellMittels Anhang E ergibt sich, daß bei einer gegebenen Lagrangedichte(5.3.6)mit Jo = kanst, welche unserer Lagrangedichte bis zur zweiten Ordnung in DJl entspricht, sich dieIdentität(5.3.7)ergibt. Diese Gleichung ist von vierter Ordnung in D w Hätte die Lagrangedichte (5.3.6) auch nochzusätzliche Terme von vierter Ordnung in DI-' enthalten, so wäre die Bewegunsgleichung durchadditive Terme, welche höher als vierter Ordnung in DJl sind, modifiziert worden. Berücksichtigtman jedoch, wie in unserer Betrachtung nur Terme bis zur vierten Ordnung in DI-"so ergibtsich aus einer Lagrangedichte, welche bis zur zweiten Ordnung in DI-' die Grstalt (5.3.6) hat, dieBedingung (5.3.7).Benutzt man dieser gerade ausgeführte Tatsache rur die Lösung unseres Problems, so ergibtsich schließlich rur die Lagrangedichte:Ce!! = (~)2 ~Ci {-m 2 1n m;SPr (LJlLI-')1+ C 1 2 :; - ~ In mr) Spr { (F;v r + (F~r}1 m 2 {L R t}- Ei m~ Spr FJlv U FJlv U11 (m 2 m 4 ) 2 1 m 4 2+ Ei m~ + m 1 SPr (LJ,LJl) - 12 m 1 SPr (LJlL v)1 1 1-~; :; SPT { F{:vL#Lv + F!R.Rv} } (5.3.8)Nach der Herleitung des gradientenentwicklten effektiven Lagrangian des NJL-Modells möchteich einen weiteren Lagrangian vorstellen, welcher die QCD im Bereich niedriger Energien beschreibtund den Namen Gasser-Leutwyler-Lagrangian trägt. Er ergibt sich aus dem QCD-Lagrangianin Anwesenheit von den äußeren Quellen s ,P , vI-' , al-' , auf welchem die chirale Störungstheorieangewandt wird [38] [36] [39]. Die chirale Störungstheorie bewirkt eine Entwicklung der GreensehenFunktionen zum einen in Ordnungen des Impulses p 2 und zum anderen der Quarkstrommassemo. Die erste Entwicklung ergibt sich aus der Annahme, daß der entwickelte Lagrangian rurkleine Energien gültig sein soll und die zweite Entwicklung folgt aus der Tatsache, daß der QCD­Lagrangian fast chirale Symmetrie aufweist, welche unter der Annahnme mo = 0 sogar exakt errulltist. Es sei noch angemerkt, daß eine Entwicklung der Greenschen Funktionen* in Ordnungen* Die Greenschen Funktionen ergeben sich durch eine Entwicklung des erzeugenden Funktionalsum den Punkt s = mo ,P = vI-' = al-' = 0 .Die Gradienten-Entwicklung 71

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modelldes Impulses p 2 einer Entwicklung des erzeugenden Funktionals in Ordnungen der Gradientenentspricht [36] .Nach der Anwendung der chiralen Störungstheorie ergibt sich schließlich nach J.Gasser undH.Leutwyler ein Lagrangian [38], welcher im Minkowski-Raum folgend lautet:CGL =f} SPr [(DIl UD Il Ut) + (XU t +ux t )]+ LI [SPr (DIl U DIlU t ) r+ L2 Spr (D Il UD II Ut) SPr (D1lUDIIUt)+ L3 Spr (D~U D 1l Ut DIIU DIIUt)+ L4 Spr (D~UD1lUt) S,Jr (xut +xtU)+ L5 SPr [( D~U D~Ut) (xut + ux t )]+ L6 [Spr (xut + xtU) r + L7 [SPr (xut - xtU) r+L8 Spr (XUtxut +xtuxtU)- iL9 SPr (F~D1lUt DIIU + F~IIDIlU DIIU t )+ LlO SPr (U F~IIUt F1l IlR )+Hl Spr{ (F~)2 + (F~lIr}+H2 SPr (xx t ) , (5.3.9)wobei X '" (s + ip) ist. Die sogenannten Gasser-Leutwyler-Koeffizienten LI , L2 ,... , L lO sindmittels von Experimenten, welche bestimmte Prozesse von Pionen, Photonen und Leptonen betrachten,bestimmbar und betragen [35]LI = (+0.7±0.3) 10- 3 L2 = (+1.3±0.7) 10- 3 L3 = (-4A±2.5) 10- 3L4 = (-0.3 ± 0.5) 10- 3 L5 = (+1.4 ± 0.5) 10- 3 L6 = (-0.2 ± 0.3) 10- 3 (5.3.10)L7 = (-004 ± 0.15) 10- 3 L8 = (+0.9 ± 0.3) 10- 3 L9 = (+6.9 ± 0.7) 10- 3LlO = (-5.2 ± 0.3) 10- 3 .Hl und H2 entgegen sind nicht mittels eines Experimentes zu ermitteln. Will man nun diesenLagrangian mit dem effektiven Lagrangian (5.3.8) des NJL-Modells vergleichen, sollte zum einenbeachtet werden, daß dieser der Forderung X = 0 unterliegen muß. Dieses ergibt sich aus der zuAnfang eingeführten Vereinfachung, die skalare und pseudoskalare Quelle und den chiralbrechendenTerm zu vernachlässigen. Das bedeutet aber auch, daß sich durch einen Vergleich dieser beidenLagrangians nur die Koeffizienten LI , L2 , L3 , L9 und LlO bei unserer Untersuchung bestimmenlassen. Die übrigen Koeffizienten L4 , L5 , L6 , L7 und L8 ergeben sich nur, wenn zusätzlich dieskalare und pseudoskalare Quelle und der chiralbrechende Term in das NJL-Modell eingeführtwerden [34] . Nach diesen Überlegungen gilt es nun noch den Gasser-Leutwyler-Lagrangian inDie Gradienten-Entwicklung 72

'. Einführung des w-Mesons in das NJL-Modelleine zum NJL-Lagrangian äquivalente Form zu bringen. Unter Berücksichtigung von X = 0 ergibtsich:LGL = (LI - ~L2) [SPT (L/LL/L)] 2 + L2SPT (L/LLv)2 + (L3 + 2L2) SPT (L/LL,..)2- iL9SPT (F~vL/LLv + Ff!-vR,..Rv) + LlOSPT (ut F{:vU F!!v) (5.3.11)+ HI [(Ff!-v) 2 + (F~v r] + 1 SPT (L,..L/L)Vergleicht man nun (5.3.11) und (5.3.8) unter Beachtung, daß die jeweiligen Lagrangedichtenin unterschiedlichen Räumen definiert sind·, so ergibt sich1 Ne m 4LI = 24 (471-)2 ~ Ci mtL2 = + 2LlL3 = + ~ (~)2 ~>i {:; -2:;}(5.3.12)1 Ne m 2L9 = + 3 (471-)2 ~ Ci m;1 Ne m 2LlO=-6(47r)2~Cim; .Mittels eines Vergleichs der zweiten Ordnung in D/L folgt mit den Gleichungen (3.1.14) und (a),2 - f2JO - 'Ir'(5.3.13)Unter Verwendung von Gleichung (2.5.11) ergeben sich schließlich folgende Werte für die Gasser­Leutwyler-Koeffizienten bei Variation von g bzw. mm [MeV] 186 279 325 372 418 465 511 558 744 -A [MeV] 1578 912 854 839 845 862 888 918 1065 -L2 . 10 3 0.79 0.77 0.74 0.71 0.66 0.61 0.56 0.51 0.32 +0.7 ± 0.3L2 . 10 3 1.58 1.54 1.49 1.41 1.32 1.22 1.12 1.02 0.64 +1.3 ± 0.7L3 . 10 3 -3.23 -3.55 -3.65 -3.59 -3.47 -3.28 -3.07 -2.84 -1.74 -4.4 ± 2.5L9 . 10 3 6.16 5.20 4.63 4.09 3.61 3.19 2.83 2.52 1.66 +6.9 ± 0.7Lw' 10 3 -3.08 -2.60 -2.32 -2.04 -1.80 -1.59 -1.42 1.26 0.83 -5.2 ± 0.3Die Gmdienten-Entwicklung 73

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellTabelle 3: Gasser-Leutwyler-KoeffizientenAus dieser Tabelle kann man entnehmen, daß bei ansteigender Konstituentenmasse m dieGasser-Leutwyler-Koeffizienten vom Betrag her abnehmen, wobei jedoch diese Abhängigkeit mitAusnahme von L9 relativ schwach ist. Im weiteren kann man erkennen, daß die KoeffizientenLI ,L2 und L3 im physikalisch interessanten Bereich recht gut mit dem Experiment übereinstimmen.Die Koeffizienten L9 und LlO jedoch haben wohl jeweils das richtige Vorzeichen, sind jedochvom Betrag her zu klein. Es sei jedoch angemerkt, daß sich diese Werte durch die zusätzlicheAnkopplung von Vektormesonen und der Berücksichtigung des chiralbrechenden Term wesentlichverbessern [35] .Von diesem Gesichtspunkt aus ergibt sich, daß es sinnvoll ist, das NJL-Modell mit Vektormesonenzu untersuchen. Schon der erhöhte Wert der Mean-Field-Energie im Kapitel 4 deutete daraufhin das NJL-Modell zu erweitern, da man aus Untersuchungen in anderen effektiven Modellen [15][17] weiß, daß sich durch die Einfuhrung von Vektormesonen die Ergebnisse fur die Observablenverbessern. An dieser Stelle sei nochmals angemerkt, daß das p-Meson schon von Alkofer undReinhardt [18] an den NJL-Lagrangian angekoppelt wurde. Hieraus ergab sich ein um ca.3üü MeVverminderter Mean-Field-Energiewert. Die zusätzliche Ankopplung des w-Mesons ist jedoch bishernoch nicht betrachtet worden und soll in diesem Zusammenhang Inhalt der nächsten bei den Kapitelsein. Hierbei soll die Untersuchung analog zu der des NJL-Modells ohne w-Meson ( Kapitel2 - 4 ) erfolgen. Im Kapitel 6 wird in diesem Zusammenhang das erweiterte Modell vorgestellt.Ihm folgt die Untersuchung des Solitons im Kapitel 7. Es sei angemerkt, daß das Vakuum deserweiterten NJL-Modells dem des ursprünglichen gleicht und somit ist in diesem Zusammenhangkeine erneute Untersuchung nötig.Die Gmdienten-Entwicklung 74

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell6. Das N ambu-J ona-LasinioModellmit Omega-MesonAus den bisherigen Kapiteln konnte man lernen, daß schon die einfache Version des Nambu­Jona-Lasinio Modells, welches nur skalare Mesonen enthielt, sehr gute Ergebnisse hervorbrachte.Jedoch gab es auch unbefriedigende Resultate, wie z.B. der Wert der Mean-Field-Energie, welchersich als um einige hunderte MeV zu hoch ergab. Dies führt zu der Vermutung, daß das NJL-Modelldurch die zusätzliche Ankopplung vektorieller Mesonen erweitert werden sollte, weldl

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellIm Jahre 1954 gelang C.N.Yang und R.L.Mills die Untersuchung einer nichtabelschen Eichtheorie[47] [49] . In diesem Zusammenhang wurde von vielen Autoren vorgeschlagen, daß chiraleSolitonenmodelle die sogenannte' Yang-Mills-Approach ' erfüllen sollten [57] Unter der' Yang­Mills-Approach ' versteht man, daß für kleine Störungen durch die meson ischen Felder der Lagrangianeiner Theorie gegen den Yang-Mills-Lagrangian streben sollte. Im Unterkapitel 6.2 werdeich hierdurch angeregt die Wirkung des NJL-Modells mittels der Heat-Kernel-Methode entwickelnund das Ergebnis mit der Yang-Mills-Theorie vergleichen.6.1. Einführung in das erweiterte NJL-ModellDie Lagrangedichte des Nambu-Jona-Lasinio Modells mit Vektormesonen lautet in der allgemeinenFormc = ij(i~ + mo)q + ~l[(ijq)2 + (ijif'YSq)2]+ ~2 [(ij'Yll f q)2 + (ij'YS'Yllfq) 2]G3(_ )2+""2 q'Yllq , (6.1.1)wobei GI, G2 und G3 voneinander unabhängige Kopplungskonstanten darstellen. GI ist gleichbedeutendmit der schon eingeführten Kopplungskonstante G und koppelt den skalar-isoskalaren undpseudoskalar-isovektorielen Term an. Die vektoriellen Kopplungsterme - vektoriell bezieht sich aufden Spin-Index-Raum - werden durch die Konstanten G2 und G3 angekoppelt, wobei G2 für denvektoriell-isovektoriellen und pseudovektoriell-isovektoriellen Kopplungsterm verantwortlich ist; G3koppelt den vektoriell-isoskalaren Term an. Die Bezeichnungen der jeweiligen Terme rühren vonden Eigenschaften - Parität, Spin und Isospin - der Mesonen her, welche mit den jeweiligen Termenüber die Bewegungsgleichungen verknüpft sind, wie man dieses schon im NJL-Modells ohnew-Meson mittels der Gleichung (2.2.9) erkennen konnte. In meiner weiteren Betrachtung möchteich nur die zusätzliche Kopplung mittels G3 untersuchen und somit vorerst als Vereinfachung dieKopplungsterme, welche durch G2 angekoppelt sind, aussparen. Es wird sich zeigen, daß dies derzusätzlichen Einführung des w-Mesons entspricht.Die Vorgehensweise der Untersuchung soll der schon zu Anfang - d.h der aus Kapitel 2, 3und 4 - durchgeführten entsprechen. Somit gilt es als erstes wiederum die Symmetrien derLagrangedichte aufzuzeigen. Es ergibt sich, daß der erweitere Lagrangian invariant unter der U(l)und SU(2)v x SU(2)A- Transformation ist, wobei die letzte Invarianz nur unter der Annahmemo = 0 erfüllt ist. Die sich hieraus ergebenden Noether-Ströme haben die gleiche Gestalt wie imskalaren Fall - siehe (2.1.6) (2.1.7) und (2.1.8) - und erfüllen somit die Erhaltungssätze (2.1.9),(2.1.10) und (2.1.11).Das Nambu-Jona-Lasinio Modell mit w-Meson 76

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellIm weiteren soll nun wiederum der Pfadintegralformalismus verwendet werden, so daß dasfolgende Funktional fur die Untersuchung betrachtet werden muß:(6.1.2)mitC NJL = q(i~ + mo) q+ + ~1G3 (_ )2+"2 q'Y/-tq[(qq)2 + (qif'YSq)2](6.1.2a)Dieses erzeugende Funktional läßt sich in eine hierzu äquivalente Form bringenmitZNJL' = J3Vij Vq Vu Vi TI VW/-t exp i J d 4 xCNJL'(x)rw , - [. /-t (!l . ) f U] f-L2 (2 -2) mw /-t mOf-L 2)..,NJL = q t'Y v/-t + tgww/-t + g 7r q -"2 u + 'Ir + TW/-tW + -g-U ,/-t=0(6.1.3)(6.1.3a)wobei man ausnutzt, daß das erzeugende Funktional nur bis auf seine Normierung definiert ist. Esgilt in Analogie zu (2.2.6)mitA W = exp {i~! J= A· TI J/-t=0Z w , AWZ wNJL = NJLd 4 x } . [Det (i ~: 1)] -1 . [Det (i~ 1)]-2V/-texp {-i;~3 Jd 4 x W/-tw/-t} ,(6.1.4)wobei die Gleichungen (2.2.5), (2.2.6) und (2.2.7) verwendet wurden. Hierbei führte ich die neuenGrößen 11 und m w ein, welche die jeweiligen Vier-Fermion-Kopplungskonstanten GI und G 3 mitden Quark-Meson-Kopplungskonstanten g und gw durch(6.1.5)verbinden. m w stellt die Masse des w-Mesons dar und beträgt m w = 782,8 Me V. Das neueerzeugende Funktional (6.1.3) zeigt nun die bosonisierte Version des erweiterten NJL-Modellsmit den bosonischen Hilfsfeldern u, i und Ww Bei genauerer Untersuchung zeigt sich, daß diezuletzt durchgeführten Umformungen äquivalent zu der Festlegung folgender Identitäten(6.1.6a)(6.1.6b)(6.1.6c)Das Nambu-Jona-Lasinio Modell mit w-Meson77

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell- mit (2.1.6) - sind, welche sich im folgenden wiederum als klassische Bewegungsgleichungen ergeben.Bevor ich in meiner Untersuchung fortfahre, möchte ich zuvor eine kurze Anmerkung zum w­Meson machen [52] . Das eingeführte w-Meson trägt den Spin 1, Isospin 0 und ist paritätsinvariant.Den jeweiligen Komponenten Wl, W2 und W3 ist die Spinorientierung, also die Quantenzahl m s =1,0, -1 zugeordnet. Aus der klassischen Bewegungsgleichung, der sogenannten Proca-Gleichung[47] , ergibt sich die BeziehungDa nun gilt m w # 0, leitet sich hieraus die Lorentzbedingung(6.1.7)(6.1.8)ab, welche die Komponenten in Verbindung setzt und es ist somit möglich die wo-Komponenteso zu wählen, daß sie die Quantenzahlen Spin 0 und Isospin 0 trägt. An dieser Stelle sei nochangemerkt, daß unter der Voraussetzung m w = 0 das w-Feld die Rolle eines Eichfeldes spielt,welche zur lokalen U(1)-Invarianz führt.N ach dieser eingefügten Anmerkung zum w-Meson werde ich nun weiter das erzeugende Funktionalumformen. In Analogie zu der am Beginn meiner Diplomarbeit durchgeführten Behandlungdes durch das w-Meson nicht erweiterten Funktionals erfolgt die Wickrotation - siehe dazu auchAnhang A - , dessen Rechtfertigung ich im Unterkapitel 2.3 ausgeführt habe. Es wird sich in diesemZusammenhang in dem Kapitel 7.3.3 zeigen, daß es nahe liegt, auch das w-Feld wickzurotierenund zwar nach der Vorschrift(6.1.9a)iJ --+ iJ' = iJ = iJE ,(6.1.9b)wobei verdeutlicht wird, daß sowohl wO(r) als auch w4(r) als reele Funktionen angenommen werden.An dieser Stelle sollte herausgehoben werden, daß es nicht klar ist, ob diese bzw welche Vorgehensweisebei der Ankopplung des w-Mesons richtig ist. Die guten Ergebnisse welche im Kapitel 7ausgeführt sind, werden jedoch in diesem Zusammenhang nahelegen, daß unsere Behandlung desProblems von dem heutigen Wissensstand aus vertretbar ist.N ach der Wickrotation erhält man als neues erzeugende Funktional den Ausdruck:4ZNJL w = J VqVqVcrVinVwiexP-SE(q,q,cr,i,Wi)1=1(6.1.10)mit(6.1.10a)Das Nambu-Jona-Lasinio Modell mit w-Meson 78

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellfür i = 1,···,4Nachdem die Quarkfelder mittels (2.4.3) herausintegriert wurden, ergibt sich weiter4ZNJL = J'D0"'D;r II 'DWi exp -SE (0", ;r,Wi)i=l(6.1.11)mitSE (O",;r,Wi) = -Sp In(-i~-gwc/;+gf7rU)+ J d 4 J: {'~~ w; + ~2 (0"2 + ;r2) _ m~JJ2 O"} ,(6.1.11a)wobei die Spur durch (2.4.6) dargestellt wird. Auf dieses erzeugende Funktional wird nun dieSattelpunktentwicklung angewandt und in der O-Boson-Loop-Approximation - bzw. I-Fermion­Loop-Entwicklung - ergibt sich für die effektive Wirkung, welche in (2.4.10) definiert wurde,folgender AusdruckZ = exp -S,:" ' (6.1.12)wobei sich S':" wieder aus einem fermionischen, mesonischen und symmetriebrechenden Termzusammensetzt:(6.1.13)mit(6.1.13a)(6.1.13b)(6.1.13c)Bei der Herleitung der effektiven Wirkung wurde der Vakuumbeitrag subtrahiert, wobei diesjedoch die Bestimmung der Vakuumerwartungswerte der wi's voraussetzt. Die Berechnug erfolgtanalog zur Bestimmung von O"V und ;rv über die BestimmungsgleichungaVe!' I -- -0aWi Vakuum - ,wobei das erweiterte effektive Potential gegeben ist durch(6.1.14)(6.1.15)Das Nambu-Jona-Lasinio Modell mit w-Meson 79

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellWendet man nun (3.1.5) an, fUhrt dann die Ableitung (6.1.14) aus und erweitert den Integrandendes k-Integrals mit dem Term 1- gwcpv - gf"frUv , so erhält man den Ausdruck(6.1.16)Führt man nun Sp"Y mit Hilfe von Anhang A aus, so ergibt sich der Ausdruck(6.1.17)wobei sich nun das Integral zu Null ergibt, da der Integrand eine ungerade Funktion in ki darstellt.Somit ergibt sich, daß die Vakuumerwartungswerte der Komponenten des w-Feldes bei nichtverschwindender Masse des w-Mesons Null betragen.Nach der Herleitung der effektiven Wirkung (6.1.13)erfolgt im nächsten Unterkapitel die Anwendungder Heat-Kernel-Entwicklung [25] auf die effektive Wirkung, wobei jedoch zuvor dieseEntwicklung vorgestellt wird.6.2. Die Heat-Kernel-EntwicklungSchon im fünften Kapitel habe ich eine Entwicklung der effektiven Wirkung, nämlich dieGradientenentwicklung vorgestellt. Im Unterschied hierzu steht die Heat-Kernel-Entwicklung [25], welche ebenfalls eine Entwicklung um den freien Anteil der Wirkung darstellt. Sie erzeugt jedochnicht eine Summe aus Potenzen von Gradienten und Amplituden der mesonischen Felder, sondernbringt eine Entwicklung in Potenzen der Eigenzeit T - welche eng verbunden ist mit der Proper­Time-Regularisierung - hervor. Eine ausführliche Vorstellung der Heat-Kernel-Methode findet sichim Unterkapitel 6.2.1.In den Unterkapiteln 6.2.2 bzw. 6.2.3 werde ich diese Methode auf den Realteil der effektivenWirkung des NJL-Modells ohne und mit w-Meson anwenden. Hieraus wird sich im erstenFall bei einer Entwicklung bis zur ersten Ordnung das gleiche Ergebnis wie bei der Anwendungder Gradientenentwicklung auf die effektive Wirkung ergeben und somit erhält man die gleicheBestimmungsgleichung fUr den Cutoff (3.1.14) im Fall des NJL-Modells mit ausschließlich skalarenKopplungstermen. Den zweiten Fall, also die Anwendung der Heat-Kernel-Entwicklung auf dieeffektive Wirkung mit w-Meson, werde ich im Unterkapitel 6.2.3 aufzeigen. Hierbei wird sich alsErgebnis die Yang-Mills-Wirkung ergeben, wobei jedoch die der Annahme zweier Bedingungen Voraussetzungist. Diese beiden Bedingungen legen zum einen den Cutoff und zum anderen die neueQuark-Meson-Kopplungskonstante gw fest. Es ergibt sich somit wiederum ein Modell, welches nureinen freien Parameter 9 enthält. An dieser Stelle sei angemerkt, daß die Gradientenentwicklungangewandt auf das erweiterte NJL-Modell nicht Inhalt dieser Diplomarbeit ist. Rechnungen vonDas Nambu-Jona-Lasinio Modell mit w-Meson 80

Einführung des w-Mesons in das NIL-ModellA.Hosaka [41] haben jedoch ergeben, daß die sich daraus ergebenden Bedingungen - bei einer Entwicklungbis zur zweiten Ordnung - nicht mit denen, welche mittels der Heat-Kernel-Entwicklungerhalten wurden, übereinstimmen. Dieses steht im Unterschied zum NJL-Modell ohne w-Meson.Zum Abschluß dieses Unterkapitels werde ich in 6.2.4 zeigen, daß die Pauli-Villars-Regularisierungverträglich mit der Heat-Kernel-Methode ist, obwohl diese eigentlich auf ein Proper-TimeregularisiertesSystem angewendet wird. Dieses bedeutet, daß ich die Heat-Kernel-Methode aufein Pauli-Villars-regularisiertes Modell anwenden kann und somit wird die Benutzung der Pauli­Villars-Regularisierung auch von diesem Standpunkt aus motiviert. Ich erinnere nochmals daran,daß z.B. die Pauli-Villars-Methode - wie schon im Kapitel 3 hergeleitet - sowohl bessere Werte fürdie Observablen im Vakuum als die Proper-Time-Methode hervorbrachte als auch die Eichinvarianzder Lagrangedichte und das Additionsgesetz für Logarithmen erhält.6.2.1. Vorstellung der Heat-Kernel-EntwicklungWie schon im Rahmen der Vorstellung der Proper-Time-Regularisierung erwähnt, gilt fureinen positiv definiten Operator A die IdentitätJoo drIn Det A = - lim -Sp e- AT + Coo ,A-+oo -]:I rwobei Ce

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellIm allgemeinen hat - im Hinblick auf die spätere Anwendung - der Operator A die folgendeGestalt(6.2.4)wobei der Differentialoperator dJL definiert ist durch die Gleichung(6.2.4a)m 2 stellt den Massenterm dar und a und r JL Terme, welche keine weiteren Ableitungen enthalten.Definiert man sich nun weiter den freien Operator Ao(6.2.5)mitso kann man folgende Funktionsgleichungen aufstellen(6.2.5a)K(r, x) =< x I K(r) I x >=< x I Ko(r) I x >< x I H(r) I x >K(r,x,y) =< x I K(r) I y >=< x I Ko(r) I y >< x I H(r) I y > ,wobei auch der Operator Ko der Heat-Kernel-GleichungoorKo(r) + Ao Ko(r) = 0 mit Ko(r = 0) = 1(6.2.6a)(6.2.6b)(6.2.7)genügt und H(r) die Störung erzeugt. Im weiteren ist es nun möglich die Funktion< x I Ko(r) Iy > zu bestimmen, wobei die Identität1 2 ~< x I Ko(r) I y >= --2e- m 1"+ .,.(41rr)(6.2.8)gilt. Anzumerken sei noch, daß zwischen dem Operator K(r) und der Funktion K(r,x) die BeziehungK(r) = J d 4 xK(r,x)= J ~x < x I K(r) I x> (6.2.9)gilt. Verwendet man nun den Ansatz (6.2.60 und b) und Gleichung (6.2.9), setzt diese Gleichungenin die Heat-Kernel-Gleichung (6.2.3) ein, so so leitet sich aus der Operator-Gleichung eine Funktion­Operator-Gleichung ab* von der Gestalt::rK(r,x,y) + A K(r,x,y) = 0 (6.2.10)* ]{ (r, x, y) stellt die Funktion und A den Operator dar.Das Nambu-Jona-Lasinio Modell mit w-Meson 82

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellFührt man diese Gleichung aus, so erhält man[:./

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modelleine Entwicklung um den freien Operator 1

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellin jeder Ordnung von T enthält. Durch Vergleich ist es daraus folgend möglich ohne Iteration dieHeat-Kernel-Koffizienten anzugeben und somit ihre Bestimmung zu vereinfachen.N ach der Vorstellung der Heat-Kernel-Methode erfolgt nun die Anwendung auf zwei Spezialfälle.6.2.2. Die Heat-Kernel-Entwicklung ohne w-MesonDer Realteil des fermionischen Anteils der unregularisierten Wirkung des NJL-Modells ohnew-Meson ergibt sich mittels (2.4.14) zu(2.4.14)wobei zuvor die \Vickrotation zurück in den Minkowski-Raum vorgenommen wurde. Durch Vergleichmit (6.2.4) und (6.2.16) ergibt sichdJi. = OJi. denn r Ji. = 0m 2 = (gf1r)2a(x) = igf1r/)U(x) ,(6.2.21a)(6.2.21b)(6.2.21c)woraus sich folgende Heat-Kernel-Koeffizienten ableiten lassen:ho (x) = 1hl(X) = -igf1r/)U(x)h2(X) = ~(gf1r)2/)ut . /)U + ~igf1rOJlOJi./)U(X)(6.2.22)(6.2.23)(6.2.24)Führt man nun die Spur aus, so folgtSp h 1 (x) = 0Sp h 2 (x) = 2 J d 4 x Ne g2 f;,SPT [(OJi.ut)(oJi.U)] ,(6.2.25a)(6.2.25b)wobei der Term nullter Ordnung Sp ho nach der Subtraktion des Vakuumbeitrages verschwindet.Somit gilt rur die entwickelte WirkungSfeat = ~ J d4x8~2Ne g2f;.r (0, ::) SPT [(OJi.ut)(oJi.U)]= J d 4 x2 Ne g2 h(m, A) (OJi.

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell6.2.3. Die Heat-Kernel-Entwicklung mit w-MesonDer fermionische Anteil der unregularisierten effektiven Wirkung des NJL-Modells mit w­Meson im euklidischen Raum lautet nach (6.1.13)mitBei der Bestimmung der hermitisch konjugierten Wirkung wurden die Identitäten(6.2.27)wl = W4w! =wi(6.2.28)benutzt. Rotiert man nun diese Ausdrücke zurück in den Minkowski-Raum, so ergibt sichSi = -Sp In (-ifJM + gwcP + gf1r U)Sj't = -Sp In (ifJM - gwcP + gf1rUt)(6.2.29)und somit gilt für den Realteil der WirkungRe Si = ~ (Sj't + Si)Re Si = -~SP In (dJ.!.dJ.!. + igf1rf/U + (gf7ri)(6.2.30)mitDurch einen Vergleich mit (6.2.4) ergibt sich in diesem FallfJ.!.=igwwJ.!.m2 = g2(;a(x) = igf7rf/U(x) ,(6.2.31a)(6.2.31b)(6.2.31c)woraus sich folgende Heat-Kernel-Koeffizienten ableiten lassen:ho(x) = 1hl(X) = -igf7rf/U(x)h2(X) = ~(gf1r)2(OJ.!.ut)(oJ.!.U) - ~~WJ.!.IIWJ.!.II+ ~igf1r [dJ.!., [dJ.!., f/U(x)]](6.2.32)(6.2.33)(6.2.34)Das Nambu-Jona-Lasinio Modell mit w-Meson86

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellmit(6.2.34a)Als nächstes gilt es nun wieder die Spur zu bestimmen. Hieraus ergibt sichSp h 1 (x) = 0Sp h2(x) = J d 4 x4 Ne g2 1 1 (m, A) ((O/l0")2 + (O/li)2)- ~ J d 4 x Ne g~h(m,A) W/LVWI'"(6.2.35a)(6.2.35b)und somit gilt für die entwickelte effektive Wirkung nach Subtraktion des VakuumbeitragesSjHeat = 2 J d 4 x Ne l h(m, A) {(O/L0")2 + (O/L i )2}- ~ J d 4 x Ne g~h(m,A) W/LvW/LV . (6.2.36)Vergleicht man diese Wirkung mit der des im Jahre 1954 entwickelten nicht massiven Yang-Mills­Modells [47] , so erhält - man um Übereinstimmung zu erzeugen - die Bedingungen:2 12Ne 9 h(m,A) = 2'1 2 1'3 Ne gwh(m,A) = 4(6.2.37)(6.2.38)Hätte man die meson ischen Terme unter Beschränkung auf den chiralen Zirkel hi.nzugenommen,würde man das massive Yang-Mills-Modell(6.2.39)mittels dieser Bestimmungsgleichungen erhalten. Die erste Bestimmungsgleichung ergab sich auchnach der Anwendung der Heat-Kernel-Entwicklung auf die Wirkung ohne w-Meson (3.1.14) , diezweite Gleichung jedoch ist neu und führt zu der Festlegung des neuen, zuvor freien Parameters,der Quark-Meson-Kopplungskonstante gw. Durch die Verwendung der ersten schon bekanntenGleichung erhält man den einfachen, aber sehr wichtigen Zusammenhang(6.2.40)Zusammenfassend kann man also feststellen, daß die Anwendung der Heat-Kernel-Methodedurch einen anschließenden Vergleich mit der Yang-Mills-Wirkung wieder zu einem NJL-Modellführt, welches nur einen freien Parameter - die Quark-Meson-Kopplungskonstante g - besitzt.Interessant ist die Bestimmungsgleichung, welche den Cutoffs festlegt, da sie der im Nambu-Jona­Lasinio Modell ohne w-Meson entspricht, woraus sich ein abgerundetes Bild ergibt. Ich werde imDas Nambu-Jona-Lasinio Modell mit w-Meson 87

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellKapitel 7 die Gültigkeit der Beziehung (6.2.40) anhand der Energieprofils des erweiterten NJL­Modells untersuchen.Im nächsten UnterkapiteI6.2.4 werde ich zeigen, daß die Benutzung der Pauli-Villars-Regularisierungzu keinem Widerspruch bezüglich der Anwendung der Heat-Kernel-Methode, welche eigentlichauf der Proper-Time-Regularisierung basiert, fUhrt, so daß die in diesem Unterkapitelerhaltenen Ergebnisse im weiteren verwendet werden können.6.2.4. Die Anwendung der Heat-Kernel-Entwicklungauf ein Pauli- Villars-regularisiertes ModellZur Vereinfachung beschränke ich mich in meiner folgenden Ausführung auf das Nambu-Jona­Lasinio Modell ohne w-Meson, in welchem sich für die Realteile der fermionische Anteile der unregularisiertenund regularisierten Wirkung nach (2.4.14) und (2.5.4) die Ausdrücke1 { i gf 1r/)U}Re Sf = -'2 Sp In 1 + _f)2 + m 2(2.4.14)R S - _~" . S I {1 igf1fI!U + g2{;UtU - m 2 }e f - 2 ~ Ct P n + ~2 2j-v + mi(2.5.4)ergeben. Wendet man nun auf (2.5.4) die Heat-Kernel-Methode an, so ergibt sichHeat 1 . 1 4-2n miRe Sf = -2 11m 2:Ci-(A-+oo. 41!' 000 ( 2))2 L mj r n - 2, A2 Sp hnt n=1 . " 1 4 ( m[)- '2 }.:.m oo7 Cj (41!')2 mj r -2, A2 Sp ho , (6.2.41)wobei die Beschränkung auf den chiralen Zirkel - also ut U = uut = 1 - verwendet wurde.Diese Gleichung hätte auch erlangt werden können, wenn die Wirkung (2.4.14) erst entwickeltund dann Pauli-Villars-regularisiert worden wäre. Somit ist die Heat-Kernel-Entwicklung auf dasPauli-Villars-regularisierte NJL-Modell anwendbar, woraus sich die Gültigkeit der Bedingungen(3.1.14) und (6.2.40) folgen läßt. Wie schon erwähnt wird hierdurch wiederum die Verwendungder Pauli-Villars-Regularisierung fUr mein Problem - der EinfUhrung des w-Mesons - als vorteilhaftunterstützt. An dieser Stelle sei jedoch nochmals erwähnt, daß auch die Anwendung der Gradientenenwicklungauf das erweiterte NJL-Modell möglich gewesen wäre. Diese Untersuchung istjedoch nicht mehr Inhalt meiner Diplomarbeit. Es sei jedoch auf Rechnungen von A.Hosaka [41]verwiesen, welche herausfanden, daß sich hieraus folgend andere Bedingungen ergeben.Das Nambu-Jona-Lasinio Modell mit w-Meson 88

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellDie 0(3) bzw. O( 4)-Regularisierung hätte die Verwendung der Heat-Kernel-Methode nichtproblemlos erlaubt wie man aus folgendem Beispiel entnehmen kann: Wendet man die 0(4)­Regularisierung auf den Ausdruck SpInA an, so erhält manJoo dr J A O(4) d 4 kSPreg In A = - lim -SPC"YT -()4 K(r, k)A-+oo ..1,.,. r 271'A~Im Gegensatz hierzu entwickle ich den Ausdruck nun zuerst und regularisiere ihn anschließend.Hierbei ergibt sich:4Sp In A = - lim Joo dr SPC-YT J (d k)4 K(r, k)A-+oo ~ r 271'1· Joo dr S Jd 4 Jd 4 'J d 4 k ik(x-x') " ( ') ~ h ( ') n= - A':'~ ..L -:;: PC-YT X X (271')4 e 1\0 r, x, x L..J n x, X rA2n=O(6.2.43)Man erkennt, daß diese beiden nun hergeleiteten Ausdrücke nicht unbedingt gleich sind.Angemerkt sei noch, daß mit Hilfe von Anhang B.3 folgtunter Verwendung von (2.5.8) . Diese Gleichungen fUhren wie schon hergeleitet auf die Beziehungen(2.5.13) . Für n > 2, also für die konvergenten Terme, gilt1· " 1 4-2nr ( 2 m[)A.:..moo~ci(471')2mi n- , A2= 2;: Ci (4~)2 mt- 2n r (n - 2)t=_l_r (n _ 2) {m 4 - 2n + A 4 - 2n (1_ n) _ m 2 A 2 - 2n (2 - n)}(471')2'(6.2.44)Das Nambu-lona-Lasinio Modell mit w-Meson 89

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellwobei die Gleichung (2.5.11) verwendet wurde.Nachdem in diesem sechsten Kapitel die effektive Wirkung und die Anwendung der Heat­Kernel-Entwicklung aufgezeigt wurde, erfolgt im siebten Kapitel in Analogie zur Behandlung desNambu-Jona-Lasinio Modells ohne w-Meson die Untersuchung des Solitons. Die Behandlung desVakuums entfällt, da sich der Vakuumerwartungswert des w-Feldes zu Null ergab und somit würdedie Untersuchung des Vakuums zu gleichen Ergebnissen wie in Kapitel 3 fUhren.Das Nambu-Jona-Lasinio Modell mit w-Meson 90

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell7. Das Soliton mit Omega-MesonNachdem die effektive Wirkung des NJL-Modells mit w-Meson hergeleitet und diese mittelsder Heat-Kernel-Methode entwickelt wurde, so daß die Yang-Mills-Theorie als Grenzwert kleinerStörungen folgte, soll in diesem siebten Kapitel das Soliton untersucht werden. Hierzu ist es inAnalogie zu Kapitel 4 nötig, die Gesamtenergie und ihre Anteile - den Valenzbeitrag, die Energiedes Diracsees und die Energie der Mesonen - herzuleiten. Anschließend gilt es wiederum diejenigesolitonische Lösung auszuwählen, welche die Gesamtenergie minimiert. In diesem Zusammenhangwird das parametrisierte Soliton und das selbstkonsistente Soliton vorgestellt, wobei beim letzterendie numerischen Rechnungen noch nicht durchgeführt wurden.7.1. Real- und Imaginiirteil der effektiven WirkungIm folgenden werde ich nun an Kapitel 6.1 anschließen, in welchem die effektive Wirkunghergeleitet wurde. Definiert man sich im Minkowski-Raum die Dirac-Hamiltoniansä·~hM = -.- + 'YOgwt.P + 'Yogf7r U%ä·~ho = h'O = -.- + gf7r'Yo ,t(7.1.1a)(7.1.1b)so ergibt sich mittels der folgenden Gleichung(7.1.2)für den fermionischen Anteil der effektiven Wirkung im euklidischen Raum(7.1.3)Das Soliton mit Omega-Meson91

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellSomit gilt für die Hamiltonians in der letzten Beziehungh W = h - ig w w4hü = ho(7.1.3a)(7.1.3b)mit den schon bekannten Dirac-Hamiltonians (4.1.1), wobei die Komponenten Wl, W2 und W3 gleichNull gesetzt wurde, da dies - wie ich später noch zeigen werde - im Einklang mit dem Hedgehog­Ansatz steht. Das Ergebnis (7.1.3) ist insoweit bemerkenswert, denn im Gegensatz zu hund hoder Diracoperator h W nicht hermitisch ist, da er sich aus einem hermitischen und einem antihermitischenAnteil - W4 ist hermitesch - zusammensetzt und somit komplexe Eigenwerte besitzt.Auch dieses zeigt wiederum, daß durch die Einführung des w-Mesons die Behandlung des Nambu­Jona-Lasinio Modells sehr viel komplizierter wird als bei ausschließlicher Anwesenheit skalarerKopplungsterme. Nach Ausführung der Spur über den Farben mittels (4.1.5) und Verwendungvon (4.1.7) giltSf(W4,U,i) = S'f(W4) = -Ne Tjoo d 2w Sp'YTxln(-iw + h - igwW4) ,-00 1f'(7.1.4)wobei man unter der Spur SP'YTX den Ausdruck(7.1.4a)versteht.Nach diesen Vorüberlegungen gilt es in Analogie zur Untersuchung des NJL-Modells ohnew-Meson den Real- und Imaginärteil zu berechnen. In diesem Zusammenhang ergibt sich für denRealteil:mitS'ft = -~Ne T L:Sp'YTxln(iw+h+igwW4)(7.1.5)(7.1.5a)Würde man an dieser Stelle der früheren Vorgehensweise folgen, so ergäbe sich ein Ausdruck derGestalt:Re S'f = --2 1 Ne Tjoo dw Sp~e;xln (w + gwW4)2 + h 2 + i[h,gww41)-00 21f'(7.1.6)An dieser Stelle stößt man auf eine ernste Schwierigkeit, denn die Durchftihrung der w-Integrationist aufgrund des gemischten Terms wg w W4, welcher ein Produkt aus einer ortsabhängigen FunktionW4 und einer Zahl w entspricht, nicht mehr problemlos durchführbar. Dieses bedeutet, daßman zuvor die SP'YTX ausführen muß, um eine mathematisch definierte w-Integration zu erhalten.Hieraus ergibt sich jedoch weiter die unangenehme Tatsache, daß die Eigenwerte des OperatorsDas Soliton mit Omega-Meson 92

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellfür jeden möglichen Wert von w numerisch bestimmt werden müßten. Es gibt nun daraus folgenddrei Gründe, die gegen eine solche Vorgehensweise sprechen. Zum ersten natürlich der numerischsehr große Aufwand; des weiteren die Tatsache, daß ein Diagonalisierungsprogramm, welche diesenOperator behandelt noch nicht existiert und somit neu programmiert werden müßte. Als drittenGrund kann man das Problem ansehen, daß es nicht klar ist, wie die dann erhaltenen Eigenwertezurück in den Minkowski-Raum rotiert werden müssen.Aus dieser kurzen Ausfuhrung wird deutlich, daß es sinnvoll, ist einen anderen Lösungsweg zuwählen. Nach langen Überlegungen schien es vernünftig, die IdentitätIn XXt = In X + In xt (7.1.7)nach Benutzung von (2.4.13) zu verwenden und somit den Realteil in zwei Teile aufzuspalten. Andieser Stelle wird klar, warum durch die im erweiterten NJL-Modell verwendete Regularisierungdas Logarithmusgesetz In ( ab ) = In a + In b nicht verletzt werden darf.Es taucht jedoch an dieser Stelle die Frage auf, warum die Regularisierung nicht erst nachder Anwendung des Logarithmusgesetzes eingefuhrt wird. Diese Vorgehensweise ist jedoch nichtnaheliegend, da die Heat-Kernel-Entwicklung auf die Wirkung (7.1.6) angewandt wurde und somitschon an dieser Stelle die Einfuhrung der Regularisierung fordert.Es ergibt sich somit für den Realteil des fermionischen Anteils der effektiven Wirkung derAusdruckRe Si = -~NcT i: ~~ Sp;7x {ln(-iw + h - igwW4) -ln(iw + h + igwW4)} (7.1.8)Durch Verwendung der Identitätdw f(iw) = 100dw f( -iw) ,100-00 211" -00 211"welche mittels der Substitution w -> -w hergeleitet werden kann, erhält man die Gleichung(7.1.9)(7.1.10)mit (7.1.4). Die Berechnung dieses Ausdruckes erweist sich als sehr viel einfacher, da nur diebeiden Dirac-Hamiltoniansh W= h - ig w w4(7.1.11)h W + = h + ig w w4(7.1.12)diagonalisiert werden müssen.Aus den Beziehungen (7.1.10) und (7.1.4) erkennt man, daß der Realteil der effektiven Wirkungeine gerade Funktion in W4 darstellt und somit durch folgende Entwicklung repräsentiert werdenkann(7.1.13)Das Soliton mit Omega-Meson 93

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellAnders ausgedrückt kann man schreibenwobei zum einen die PauIi-Villars-Regularisierung entsprechend (2.5.4) ausgeführt wurde, undweiterhin wurde die Entwicklung des Logarithmus00 ( l)N+1In (1 + x) = L - NN=lx N(7.1.15)benutzt, welche für kleine x - also für kleine Störungen durch W4 - gilt. Mittels dieser Entwicklungdes Realteiles lassen sich die Koeffizienten aj bestimmen. Falls also die Störungsentwicklung schnellkonvergiert, sind die Ausdücke ( ) und ( ) bekannt und wegen der Zerlegung in Potenzen von W4auch in den Minkowski-Raum transformierbar.N ach der Behandlung des Realteils folgt nun die Untersuchung des Imaginärteils des fermi0-nischen Anteils der effektiven Wirkung. In Analogie ergibt sichIm Si = ;i (Si - sit)= - 21.NcTjOO dw Sp"(Txln(-iw + h - ig w W4)Z -00 2 1r+ 2 1 . NcT JOO d 2w Sp"(TX In (-iw + h + igwW4)Z -00 1r= ;i (Si(w4 ) - Si(-w4 )) , (7.1.16)woraus erkennbar ist, daß der Imaginärteil eine ungerade Funktion von W4 darstellt und somitdurch die Entwicklung(7.1.17)repräsentiert werden kann. Explizit ergibt sich in diesem Fall für die Entwicklung unter Verwendungvon (7.1.15) und(7.1.18)Das Soliton mit Omega-Meson 94

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modelldie Gleichung1 100dw 00 2 {l}NIm SI = 2i NcT -00 271" L 2N _ 1 SP-YTX iW4 iw + h 'N=l(7.1.19)woraus sich die Koeffizienten bj berechnen lassen. Auch hier kennen wir wegen der Potenz reihenentwicklungdie Transformation in den Minkowski-Raum.Es ist wichtig anzumerken, daß der Imaginärteil nicht regularisiert wird, da er endlich istund somit die EinfUhrung einer Regularisierung nicht notwendig erscheint. Die Vermutung fUr dieEndlichkeit des Imaginärteils ergibt sich schon aus der Berechnung des Imaginärteils fUr kleineStörungen durch die Mesonenfelder unter Berücksichtigung der w-Integration. Hierbei ergibt sicheine Reihe, welche gleichmäßig zu konvergieren scheint. Die Bestäti( 'ung ergibt sich später aus dernumerischen Berechnung des Imaginärteils.Im nächsten Unterkapitel 7.2 erfolgt die explizite Berechnung des Real- und Imaginärteils,wobei sich wiederum ein Problem ergeben wird. Es werden nämlich zwei mögliche Lösungenexistieren.7.2. Energie des DiracseesNachdem im letzten Unterkapitel 7.1 der Real- und Imaginärteil des fermionischen Anteils derWirkung diskutiert wurde, erfolgt nun die Berechnung dieser beiden Anteile.Mittels (7.1.10) gilt für den RealteilRe S'1 = - ~ NcT I:1- -2 NcT 100-00 271"~; Sp;i'x In (-iw + h - igwW4)dw Sp;i'x In (-iw + h + ig wW4)(7.2.1)Führt man nun die Eigenwerte (~ und (~*der Operatoren h W und h W + ein(h- ig w W4) I o:W > = (~I o:W >< o:W I (h + ig w W4) =< o:W I (~* ,(7.2.2)(7.2.3)so ergibt sichRe S'1 = -~NcT 100dw L {ln(-iw + (~) + In(iw + (~*)}re9-00 271" Cl''(7.2.4)Das Soliton mit Omega-Meson95

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellwobei die Beziehung(7.2.5)und daraus folgendCl(7.2.00)Spre g h W + _ "'" e W *'YTX - L.J Cl(7.2.6b)benutzt wurde. Es sei angemerkt, daß die Energien f~ und f~* rur gleiches a unterschiedlichsind. Der gleiche Index soll nur symbolisieren, daß bei Abwesenheit des w-Mesons ihre Beträgegleich sind. Des weiteren muß ich erwähnen, daß es mathematisch nicht gesichert ist, daß dieEigenfunktionen I a W > vollständig sind u ld somit die Gleichung (7.2.5) gilt.ClNach Verwendung des Logarithmusgesetztes und der Ausführung der Regularisierung gilt weiter:(7.2.7)Da der Term e~ - e~* imaginär ist, ergibt sich das Argument als reell und mit Hilfe von demIntegral D4 in Anhang D ergibt sich nach Subtraktion des Vakuumbeitrages der Ausdruck(7.2.8)Im Grenzfall W4 = 0, d.h. (~ = (~* = (Cl, ergibt sich natürlich das schon hergeleitete Ergebnis(4.1.11).N ach der Berechnung der Wirkung im euklidischen Raum sollte nun das Ergebnis zurück inden Minkowski-Raum gedreht werden. Hierzu ist es notwendig sich die Energien (t und e;; zudefinieren, welche die analytische Fortsetzungen der Energien f~ und (~* darstellen und somit derGleichungen(h + gwwo) I a+ > = ft I Q'+ >(h - gwwo) I a- > = (~ I a- >(7.2.9a)(7.2.9b)genügen. Dies bedeutet, daß die Wirkung übergeht in den Ausdruck1Re Sf = - '2 NcT I; CiCli((t + (;; ) 2 2 2+m· -m2 I(7.2.10)Das Soliton mit Omega-Meson96

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellund nach der Ausführung der Regularisierung, d.h. der Verwendung der Formel (2.5.11), ergibtsich hieraus(7.2.11)wobei die Funktion R(f,A) durch (4.1.12a) in Kapitel 4 definiert wurde. Durch einen Vergleichmit (4.1.11) wird deutlich, daß die sich ergebende Wirkung (7.2.11) durch die Transformationft +f;2 -fer (7.2.12)in die ursprüngliche Gleichung (4.1.12) - der Wirkung im Fall des NJL-Modells ohne w-Meson -überführt werden kann.Im Anschluß an der Bestimmung des Realteils erfolgt nun die Berechnung des Imaginärteilsder effektiven Wirkung, wobei mittels (7.1.16) und (7.2.6) gilt:Im S, = -~NcT 1: ~~ {ln (-iw + (~) -ln (-iw + f~*)} (7.2.13)Analog zur Bestimmung des Realteils wird nun die w-Integration ausgeführt. Daraus ergibt sichmit Hilfe von Integral D2, welches in Anhang D berechnet wird, die GleichungImS, = - ~iNcTL {sign(Re f~)f~ - sign(Re (~*)f~*}er= - LNcTLSign (f~ ~ f~*) ((~ _ f~*) .er(7.2.14)Dieser Ausdruck ist reell, so daß die gesamte Wirkung im euklidischen Raum komplex ist. Es seiangemerkt, daß der Vakuumanteil des Imaginärteils verschwindet.Des weiteren wird nun wieder die Wickrotation in den Minkowski-Raum ausgeführt, worausdie Formelresultiert. Im Grenzfall Wo = 0, also (t = f;, verschwindet der Imaginärteil der effektiven Wirkung.Dieses Faktum hatte ich in Kapitel 2 schon einmal vorgreifend erwähnt. Interessant ist, daßim Minkowski-Raum der Imaginärteil komplex ist. Somit ist die gesamte effektive Wirkung reellund lautet:(7.2.15)Das Soliton mit Omega-Meson 97

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellWürde der Realteil nicht regularisiert werden, so würde mittels (7.2.10) die FormelSw,n.reg = _ !N T" 1ft - f~ If 2 c L...,. 2er_ !N T" ft - f~. (ft + f~ )4 C L...,. 2 sfgn 2Cl(7.2.16)gelten, wobei die letzte Gleichung im Zusammenhang mit der Einführung des chemischen Potentialsnoch an Bedeutung gewinnen wird.Wenn man sich nun die Berechnung der vVirkung noch einmal anschaut, wird deutlich, daßes keinen Grund gibt, welcher rechtfertigt, die w-Integration vor der Rotation zurück in denMinkowski-Raum durchzuführen. Naiv würde man vermuten, daß auch bei umgekehrter Ausführung- d.h. die w-Integration wird erst im Minkowski-Raum durchgeführt - sich das gleiche Ergebnisergibt. Dieses gilt zumindest bei der Behandlung der Wirkung ohne w-Meson. Erstaunlicherweiseist dieses aber nicht der Fall, wie sich aus der noch folgenden Rechnung ergibt. Diese Tatsachebringt ein neues Problem hervor, welches im weiteren gelöst wird und dessen Ursprung der nichthermitesche Dirac-Operator h W ist.Zur Berechnung des Realteils entsprechend der zweiten Möglichkeit gehe ich von Gleichung(7.2.7) aus. Rotiert man diesen Ausdruck nun zurück in den Minkowsk-Raum, so erhält man denneuen Ausdruck1 100dw ( )Re S'f = -2NcT -00 27r ~ln w 2 + iW(f~ - (t) + ft(~ + mt - m 2 ,Clt(7.2.17)wobei f;t und f~ durch (7.2.9a) und (7 .2.9b) definiert sind. Mittels des Integrals D5 aus AnhangD geht diese Gleichung nach Ausführung der w-Integration die FormRe S'j = - ~NcTLCieri1 _2 +m~-m2--lfI 2 Cl Cl)2f ( + Cl + f~-f+1(7.2.18)über und mit Hilfe von (2.5.11) folgt schließlich1 _Re S'j = - 4NcTL {ktl + If Cl ICl-Iv'z ± ~Ift - f~11{ 1 }A 2 _m 2+sign v'z ± 21ft - (~I 2..fi(7.2.19)Das Soliton mit Omega-Meson 98

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellmitz = (ft ; f~ ) 2 + A 2 _ m2 .(7.2.19a)Im Grenzfall Wo -+ 0 ergibt sich wiederum das schon bekannte Ergebnis (4.1.12).Für den Imaginärteil der effektiven Wirkung ergibt sich mittels (7.2.13) nach der DurchfUhrungder Wickrotation in den Minkowski-Raum zuIm Sf = - ;.NcT L 100t Ct -00 7r~w {ln( -iw + ft) -ln( -iw + (;)}(7.2.20)Verwendet man weiter das Integral D2 aus Anhang D, so giltIm S'1 = - ~iNcTL {ktl-lf~1} (7.2.21)und daraus folgend gilt für die gesamte Wirkung im regularisierten Fall1Re SI = - 4'NcTL {2lftlCtCt-IJz ± ~I(t -

Einführ'ung des w-Mesons in das NIL-Modelle) Rotation zurück in den Minkowski-RaumHieraus folgten die Formeln (7.2.16) und (7.2.15) für die Wirkung.2)a) Trennung von Real- und Imaginärteilb) Regularisierung des Realteilsc) Berechnung von Sp"(TXd) Rotation zurück in den Minkowski-Raume) Berechnung des Integrals J~oo ~~In diesem Fall gelten für die Wirkung die Gleichungen (7.2.22) und (7.2.23).In beiden Fällen ergab sich im Grenzfall Wo = 0 das schon zuvor hergeleitete Ergebnis (4.1.11).Es gilt nun im folgenden das Problem der zwei Lösungen zu diskutieren.Die Frage, welche der beiden regularisierten Vorschriften für die Energie des Diracsees dieRichtige ist, ist nicht einfach zu entscheiden. Es gilt zu betonen, daß jede der beiden Vorschriftendie Energie des Diracsees des NJL-Modells repräsentiert. Eine Möglichkeit, die zur Klärung führenkönnte, wäre die Anwendung der Störungstheorie in gw Wo = h W - h auf die effektive Wirkung,wobei anschließend die Sp"(TX ausgeführt wird. Hierzu ist es notwendig für jedes Energieniveaudie Differenz (~ - (Cl' numerisch zu bestimmen. Das Ergebnis müßte dann anschließend mit denResultaten der beiden Vorschriften verglichen werden. Bisher wurde jedoch diese Untersuchungnoch nicht durchgeführt.Eine weitere Möglichkeit, welche zur Klärung des Problems führt, ist die Untersuchung deseinfachst denkbaren Falles, in welchem ein konstantes wo-Feld ( Wo = konst > 0 ) vorliegt. Hierbeiwürden für die Eigenwerte die Vorschriften(7.2.24a)(7.2.24b)gelten. Hieraus ergibt sich für die regularisierte Wirkung:1. Fall:S1 = - ~NcTLciJ(~ + m; - m 2Cl'l- ~NcTL29wwOSign({a) - «(a -+ (~,WO -+ 0)er(7.2.25)Das Soliton mit Omega-Meson100

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell2.Fall:Si = - ~NcT~Ci Iv't:~ + m: - m 2 + gWWOIcn- ~NcT~Ci Iv't:~ + m: - m 2 - gWWOIal1 ~ 0- '4NcT L..J {lt:a + gwwol-It:a - gwwol} - (t:a --+ t:a,wo --+ 0) (7.2.26)aMan weiß, daß der Realteil der effektiven Wirkung eichinvariant sein muß.Dies ergabsich unmittelbar auch aus der Heat-Kernel-Entwicklung, denn schon in erster Ordnung ergab sichder eichinvariante Term WtLV WtL v . Um einen eichinvarianten Realteil zu erhalten, darf er nichtexplizit von dem wo-Feld abhängen. Im zweiten Fall jedoch zeigt sich für t:val > 0 eine expliziteAbhängigkeit. Aus diesem Grund scheint der erste Fall die richtige Vorschrift zu liefern und somitergibt sich schließlich mit E = f die Formel für die Energie des Diracsees:(7.2.27)Bevor ich mit der Untersuchung der Energiespektren fortfahre möchte ich noch einige Wortezur Wickrotation des wo-Feldes anmerken. Schaut man sich nochmals den ersten bzw. zweitenRechenweg genauer an, so erkennt man, daß eigentlich nur durch die w-Integration das Ergebnisdavon beeinflußt wird, ob das Argument des Logarithmus, genauer gesagt der Dirac-Operator, hermiteschoder nicht hermitesch ist. Dies bedeutet: Da bei dem ersten Rechenweg die w-Integrationim euklidischen Raum durchgeführt wird, geht die Tatsache, daß das wo-Feld wickrotiert wurde, indas Ergebnis ein. Beim zweiten Rechenweg jedoch wird die w-Integration erst im Minkowski-Raumdurchgeführt, so daß das wo-Feld schon wieder zurückrotiert wurde, und somit hat die Wickrotationdes wo-Feldes auf das Ergebnis keinen Einfluß. Das heißt noch einmal explizit:Gegeben seien im euklidischen Raum die bei den WirkungenSE = -NcT 100-00 11"d 2w Sp"{TX In (iw + hE - iw4)(7.2.28a)SE = -NcT1°O d 2w Sp"{TX In (iw + hE + wo) ,-00 11"(7.2.28b)wobei sich die erste Wirkung dadurch auszeichnet, daß das wo-Feld wickrotiert wurde, und im Fallder zweiten Wirkung kein wickrotiertes wo-Feld vorliegt. Dreht man nun vor der Ausführung derw-Integration beide Wirkungen von dem euklidischen Raum in den Minkowski-Raum, so ergibtsich in bei den Fällen das Ergebnis(7.2.29)Das Soliton mit Omega-Meson 101

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellund somit sind die Wirkungen gleich, obwohl in einern Fall das wo-Feld wickrotiert wurde und indem anderen nicht. Würde man jedoch erst die w-Integration im euklidischen Raum durchführenbevor die Rotation in den Minkowski-Raum vollzogen wird, ergäben sich unterschiedliche Ergebnisse,da die Wickrotion des Vektorfeldes zum tragen käme. Dieses bedeutet für das wo-Feld,für welches man bei der Berechnung der See-Energie den ersten Rechenweg wählte und somit dieWickrotation des w-Feldes mit einbezog, daß der Ansatz das w-Feld wickzurotieren von diesemWissensstand bestätigt wird.Im nächsten Unterkapitel werde ich die sich ergebenden Energiespektren untersuchen undanschließend in Kapitel 7.4 den Valenzbeitrag zur Energie herzuleiten. In diesem Zusammenhangwird häufig auf die Ergebnisse dieses Unterkapitels 7.2 zurückgegriffen.7.3. Lösung der Dirac-GleichungZur Bestimmung der Gesamtenergie des NJL-Modells mit w-Meson ist es notwendig, zuerstdie Eigenwerte (t, (;; und (~zu berechnen, d.h. die Dirac-Hamiltonian+ (l.fjh'M = -.- + 'YOglrrU + 'YOgwr.Pz(l.fjh'M - = -.- + 'YoglrrU -'YOgwr.Pz(l.fjho = -.- + 'Yogf1rt(7.3.1)(7.3.2)(4.1.1b)mussen diagonalisiert werden. Für den Spezialfall gw 0 ergeben sich die Eigenwerte (GI' und(~, welche für die Bestimmung der Gesamtenergie des NJL-Modells ohne w-Meson von Bedeutungwaren. Schaut man sich noch einmal im Kapitel 4 die Untersuchung des selbstkonsistenten Solitonsfür das nicht erweiterte NJL-Modell an, so wird deutlich, daß auch die Eigenzustände < x I a >benötigt werden und im Vorgriff gilt dies naheliegend auch für die Eigenzustände < x I a+ > und< x I a- >.Im Anhang F leite ich die zu diagonalisierende Matrix und seine Basiszustände explizit her.Dies schafft die Grundlage für dieses Unterkapitel 7.3, in welchem ich die sich ergebenden Energiespektrendiskutiere bzw. untersuche.Zu Anfang der folgenden Ausführung möchte ich zuerst einige Worte zum Hedgehog-Ansatzanmerken. Mit Hilfe von Anhang F hat sich ergeben, daß bei Verwendung der Mean-Field­Approximation und des Hedgehog-Ansatzes für die Mesonenfelder der Dirac-Operator und derGrandspin gleiche Eigenzustände besitzen, wobei der Grundzustand, welcher Hedgehog-ZustandDas Soliton mit Omega-Meson 102

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellheißt, einen Grandspin Null hatte. Dieses Ergebnis ist insoweit nicht verwunderlich, da sich schonim Skyrme-Modell und bei weiteren chiralen Modellen [52] [58] gleiche Ergebnisse ergaben. EinHedgehog-Zustand hat die allgemeine Form< r I q >= N (u(r) I x >h )i.v(r)ü·rlx>h(7.3.3)mit(7.3.3a)und(7.3.3b)und hieraus eröeben sich mittels der allgemeingültigen Bewegungsgleichungen (6.1.6) die Hedgehog­Ansätze fur die meson ischen Felderu(f') = - 4:J.L 2 (u(r)2 - v(r)2) + :0 = u(r)i(f') = -4 g 22u(r)v(r)r= 7r(r)~7rJ.LrwJl(f') = { 4;:1'7., (u(r)2 + v(r)2) falls J.L = 0o falls J.L = 1,2,3= {wJl(r) falls J.L = 0 .o falls J.L= 1,2,3(7.3.4a)(7.3.4b)(7.3.4c)Historisch ist der Hedgehog-Zustand mit den damit verbundenen einfachen Funktionen furdie mesonischen Felder bedeutsam, da er zum ersten natürlich das zu lösende Problem vereinfachte[42] [31] . In Bag-Modellen ergab sich zusätzlich, daß unter der Annahme der Mean-Field­Approximation die Energie des Systems minimiert wurde [58]. Des weiteren gilt, daß die Beschränkungauf den chiralen Zirkel im chiralen Solitonmodell zu dem Hedgehog-Zustand als Eigengrundzustandführt, jedoch wieder nur unter der Annahme der Mean-Field-Approximation [58] .Besonders der letzte Punkt rechtfertigt die Vorgehensweise für die Mesonenfelder den Hedgehog­Ansatz zu wählen.Aufgrund der Beschränkung auf den chiralen Zirkel ergaben sich fur u(r) und 1r(r) die Ansätze(4.3.2) , wobei im parametrisierten Soliton die Profilfunktion e(r) festgelegt ist. Es stellt sich nundie Frage, welchen Ansatz man dem wo-Feld für das parametrisierte Soliton zuordnen sollte. Schautman sich jedoch noch einmal die Bewegungsgleichung (6.1.6) fur das wo-Feld an, so erkennt man,daß es proportional zur nullten Komponente des Baryonenstroms ist. Weiter weiß man, daß sichaus der Entwicklung der Baryonenstroms des NJL-Modells ohne w-Meson um das Vakuum in ersternichtverschwindender Ordnung der Goldstone-Wilczek-Strom [56] ergibt, welcher die Form(7.3.5)Das Soliton mit Omega-Meson 103

EinfühMlng du w-Mesons in du NJL-ModellG. iCIIICW\ 0gw=3.0-- 11 O~~~--------~~--------------~1-250gw=5.0~~~---------------------------,- "00 F:,=~\ =~\""iI!!~======~~~~~9> I \~ 200 i-- GI 0 ~:--~----------~--------------~IIi -200 iID~i~~--~--~----~--~--~--~~---Q.O D.!Sgw=7.79~~=---~----------------------~>:!-200 IIIIIO~.------~--------~~----------~•~~--~--~--~~--~-------------Q.O D.!SSoJitcngrOOe R [ 1m )Abi. 16: Du Energie-Spektrum du Opcra'or"$ ht für unteT'6ehiedliehe Kopplung,1:outamengkl, ",ollei 9 Jen Wert ./.5 hatDa SOlitOR mit Omega-Muon 104

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellhat mit i = (O",i) und1 falls das Thpel (a,b,c,d) die Reihenfolge (0,1,2,3)oder eine Permutation dieser hatCabcd = -1 falls das Thpel (a,b,c,d) eine ungerade Permutationdes Thpels (0,1,2,3) isto sonstUnter Verwendung des Hedgehog-Ansatzes und der Beschränkung auf den chiralen Zirkel folgthieraus rur die nullte Komponente des Stroms der Ausdruck:Bo(r) = __ 1_sin 2 0(r) d0(r)271"2 r 2 dr(7.3.6)Aus diesen Überlegungen ergibt sich nun, daß mit Hilfe von (6.1.6) [ur das wo-Feld folgendervernünftiger Ansatz [ur das parametrisierte Soliton gefunden werden kann(7.3.7)wobei 0(r) die Profilfunktion darstellt.Es sei darauf hingewiesen, daß fUr das selbstkonsistente Soliton dieser Ansatz nur als Startfunktiongilt. Des weiteren wird sich das wo-Feld immer aus den Bewegungsgleichungen ergeben.Dies steht im Unterschied zum 0"- und 7I"-Feld, welche immer durch die GleichungenO"(r) = f7r cos0(r) (7.3.8)beschrieben werden; diese Funktionsgleichungen sind jedoch Folgeerscheinungen aus der Beschränkungauf den chiralen Zirkel. Nach diesen Vorbemerkungen werde ich im folgenden bei vorgegebenerProfilfunktion, also im Fall des parametrisierten Solitons, Energiespektren bei unterschiedlicherKopplungskonstanten 9 und gw vorstellen.In Abb . 16 ist das Energiespektrum des Operators h+ fUr unterschiedliche Kopplungskonstantengw ( gw=3, 5, J3g ) , wobei die Kopplungskonstante g den festen Wert 4.5 erhält. Hierbeiwerden die Energieniveaus in Abhängigkeit der Solitongröße R, welche in die Profilfunktion alsParameter eingeht, betrachtet. Es sei noch angemerkt, daß das lineare Profil verwendet wurde. ImVergleich zu dieser Abbildung sei auf Abb . 6 verwiesen, welches das Spektrum [ur gw=O darstellt.Man erkennt, daß durch die zusätzliche Ankopplung des vektoriellen Terms - gw :f 0 - ein Anhebender unteren Niveaus, insbesondere im Bereich kleiner Solitongrößen, erzeugt wird.Je größer gw gewählt wird, desto mehr Niveaus steigen auf und des weiteren werden dieerhaltenen Maxima immer größer. Es kommt sogar dazu, daß die Niveaus des unteren Spektrumsin den Bereich der oberen Niveaus eindringen. Auf den Bereich der größeren Solitonradien, scheintDas Soliton mit Omega-Meson 105

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModdlGranasotn 0 GIllIOSOfn ,gw=3_0~ O~-h~--------~~----------------~~Ca~-250>~~Cl)Ca ...~~~~Ca~Wo.s500 - . -- , '\l , l.••,250.. "0-250-5000.05002~0-250'f" I "..v"""~I~;,•o.s~ · ~~ ,.i I: : i!• • ,I•I•,I'.': I "I•: Iovr• •: II • ,• .•I I •gw=5.0-~fl.~ I IIIr (gw=7.793.0---SolitengöOe R [ fm 13.0Abo. 17: DI1$ Energie-Spektrum des OperatDr3 h- für unterschiedliche Kopplungs1:Dnstanten91>1, wobei g den Wert 4.5 hatDas Soliton mit Omega-Meson 106

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modelldie zusätzliche Ankopplung des vektoriellen Terms geringeren Einfluß zu haben. Im Bereich desSolitonradius, welcher ein Minimum im Verlauf der Gesamtenergie erzeugt, ist der Effekt derzusätzlichen Ankopplung wohl merklich, aber nicht drastisch.Im Unterschied hierzu ist in Abb .17 das Energiespektrum des Dirac-Operators h- aufgezeigt,wobei wiederum die Kopplungskonstante gw die Werte 3,5 und v3 annimmt. In diesem Fall tauchendie Energieniveaus des oberen Spektrums in das untere ein. Dieses Verhalten, also die Anzahl dereintauchenden Niveaus und die Eintauchtiefe, wird wieder mit ansteigendem gw ausgeprägter.Schaut man sich die erhaltene Energieformel (7.2.27) im Kapitel 7.2 nochmals an so tauchthier der gemittelte Energiewert (+!(- auf. Es sei ausdrücklich darauf verwiesen, daß es sich hierbeinicht um die Eigenwerte des Dirac-Operators h+ t h - handelt. In Abb . 18 ist dieses gemittelteSpektrum fur g=4.5 und unterschiedlicher Kopplungskonstante gw ( gw =3,5 und ..J3 ) dargestellt.Hierbei sinken die oberen Niveaus ab und die unteren Niveaus steigen auf, jeweils im Bereichkleiner Solitonradien. Im Unterschied zu den Spektren der Operatoren h+ und h- kreuzen jedochdie Niveaus nicht mehr die Nullinie.Am Schluß sei noch angemerkt, daß dieses Verhalten der Niveaus qualitativ nicht von demGrandspin abhängt. Niveaus mit großem Grandspin werden jedoch erst bei größeren Werten derKopplungskonstante gw beeinflußt.Zusammenfassend kann man sagen, daß die Untersuchung der Energiespektren zu sehr überraschendenErgebnissen fUhrte, da im Bereich kleiner Solitonradien die Energieniveaus sehr starkdurch das zusätzlich angekoppelte w-Meson beeinflußt werden. Man sollte diese Resultate jedochnicht überbewerten. Es ist nämlich zu bedenken, daß die vorgegebene. Funktion fur das wo-Feld(7.3.7) sich aus einer Entwicklung fur große Solitonradien ergab, so daß der gewählte Ansatz imBereich kleiner Solitonradien keine Rechtfertigung hat. Man könnte somit im Zusammenhang mitden Ergebnissen dieses Unterkapitels schließen, daß der Ansatz (7.3.7) nicht ganz glücklich gewähltist. Versuche eine geeignetere Profilfunktion zu finden sind jedoch fehlgeschlagen, so daß man sichin diesem Zusammenhang damit begnügen muß, daß die Untersuchung des parametrisierten Solitonsfür große Solitonradien zu vernünftigen Ergebnissen fuhrt. Im Bereich kleiner Solitongrößenjedoch könnte sie jedoch zu etwas verfälschten Ergebnissen, so daß nur der tendenzielle Charakterder Ergebnisse gesichert ist. Insgesamt muß man auf selbstkonsistente Rechnungen warten, die imRahmen dieser Diplomarbeit jedoch noch nicht durchgeführt wurden.Die Untersuchung dieses Unterkapitels werden im nächsten Kapitel 7.3, in welchem ich denValenz anteil herleite, wieder aufgegriffen werden, um ein System mit einer Baryonenzahl 1 zuerzeugen.Das Soliton mit Omega-Meson 107

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell500Ga!'lOSClillO ~1gw=3.0> 260~CI 0CI"Ca~-250-500Q.O Q.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5600.00>~200CICI"Ca -200~-400gw=5.0-600Q.O Q.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5600gw=7.79.00>~200CD 0CD"Ca! •W-400",-6000.0 Q.5 ,.0 1~ 2.0 2.5 3.0 3.5Solitorv6ße R [ fm 1Abb. 18: Das Spektrum der gemittelten Energie-Eigenwerte der Operatoren h- und ht fürunterachiedliche Kopplungskonstanten 9W/, wobei g den Wert ../.5 hatDas Soliton mit Omega-Meson 108

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell7.3.1. Valenzbeitrag zur EnergieIn dem nun folgenden Kapitel soll der Valenzbeitrag zur Energie hergeleitet werden. Bisherhabe ich den mesonischen Energieanteil und die regularisierte Energie des Diracsees aufgezeigt,welche sich mittels (7.2.27) und (6.1.13) zu(7.3.9)mit(7.3.9a)(7.3.9b)(7.3.ge)(7.3.9d)ergeben. Die Einführung des Valenzbeitrages erfolgt - wie schon im Kapitel 4 - durch die Berücksichtigungder zugrunde liegenden Nebenbedingung, welche der Baryonenzahl (4.2.2) den Wert Einszuweist. Die Ankopplung dieser Nebenbedingung erfolgt wiederum mittels des chemischen Potentials,so daß für die Variation der Wirkung bzw. Energie gilt:6(SW - J.1BNcT B) = °bzw. 6 (E W - J.1BNcB) = °In Analogie zu Kapitel 4 definiert man sich nun wieder eine großkanonische Wirkung(7.3.10)S':Jj[o-,i,wO,J.1B] = S':Jj[o-,i,wO,J.1B = 0]- J.1BNcT B= S':jj[o-,i,WO,J.1B = 0]- J.1B J d"xij'YOq ,(7.3.11)wobei S':Jj[o-, i, Wo, J.1B = 0] durch (6.1.13) gegeben ist und somit gilt im Minkowski-Raum für dieWirkung:(7.3.12)mitSit = -Sp ln(-i~ + gf1rU + gw'YOWO - J.1B'YO)2S~ = J.1 2J d 4 x (0- 2 + i 2 ) - rr;~ JSbr = - ma;2 J d 4 x (0- - f1r)d 4 x w6(7.3.12a)(7 .3.12b)(7.3.12e)Das Soliton mit Omega-Meson109

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellSubtrahiert man nun von der großkanonischen Wirkung den Vakuumanteil und erweitert diesenAusdruck mit 0, so führt dies zu:(7.3.13)mitS:al[U,wO,JlB] = S:fJ[U,WO,JlB] - S:fJ[U,WO,J.tB = 0]S:fJ[U,wo] = S:fJ[U,WO,J.tB = 0] - S:fJ[UV,WOV,JlB = 0](7.3.13a)(7.3.13b)Der zweite Anteil S:J J[U, wo] ist wiederum in Analogie zu Kapitel 4 bekannt; er setzt sich ausdem Beitrag des Diracsees und dem mesonischen Anteil zusammen und führt zu der Energieformel(7.3.9). Im Gegensatz dazu bildet S:al den Valenz an teil , einen neuen Beitrag, welcher nunberechnet werden soll. Dieser Anteil wird in Analogie zu dem vierten Kapitel nicht regularisiert.Zu Anfang ist es wichtig den Valenz anteil mit 0 zu erweitern, so daß die GleichheitS:al = - Sp In (-i~ + gf1rU + gw,OwO - /-lB'O)- S:fJ[U,wo, JlB = 0]= - ~Sp In (-i~ + gf-rr.U + gw,OwO - JlB'O)- ~Sp In (-i~ + gf1rU - gw,OwO + J.tB'O)- i;iSP In (-i~ + glrrU + gw"lwo - JlB'o)+ i;iSP In (-i~ + gf1rU - gw,OwO + /-lB'o)- S:fJ[U,wo, JlB = 0] (7.3.14)gilt. Aufgrund dieser geschickten Auf teilung habe ich wiederum einen Imaginärteil und einenRealteil erzeugt. Mittels der Identität (7.1.2) gilt somit mit h'M = h+ und (7.2.9)S:al = Re S:al + iI m S:al (7.3.15)mitRe S:al = - ~ {Sp In (:r + h+ - J.tB) + Sp In (:r + h- + /-lB) }+ ~ {Sp In (:r + h+ ) + Sp In (:r + h-) } (7.3.15a)Im S':al = - ;i {Sp In (:r + h+ - JlB) - Sp In (:r + h- + JlB) }+ ;i {Sp In (:r + h+) - Sp In (:r + h-)} . (7.3.15b)Das Soliton mit Omega-Meson 110

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellAn dieser Stelle möchte ich nun wieder eine Fallunterscheidung betrachten. Wie schon imKapitel 4 erwähnt ist es nicht abwägig bei der Wickrotation auch das chemische Potential /JB zutransformieren. Dieser Ansatz ergibt sich unmittelbar aus der Gleichung (7.3.12), woraus deutlichwird, daß das chemische Potential wie die nullte Komponente des w-Feldes also eines Vektorfeldes,ankoppelt und somit gleiche Transformationseigenschaften haben könnte. Somit ergeben sich nachder Wickrotation in den euklidischen Raum zwei mögliche Ausdrücke für den Valenz anteil derWirkung.1. Fall: das chemische Potential wird wickrotiertS wl R swl + . I swlval = e val 2. m val(7.3.16)mitRe S~~l = - ~ { Sp In (:T + h W + i/J~ ) + Sp In (:T + h W * - i/J~ ) }+ ~ {sp In (:T + h W ) + Sp In (:T W*) + h } (7.3.16a)Im S~~l = - ~i {sp In (:T + h W + i/J'1) - Sp In (:T + h W * - i/J'1 ) }+ ;i {Sp In (:T + h W ) - Sp In (:T + h W*)} , (7.3.16b)wobei die Wickrotation des chemischen Potentials der folgenden Transformation fogt:I •/JB --+ /JB = -Z/JBmit4 . I/JB = z/JB(7.3.17)2. Fall: das chemische Potential wird nicht wickrotiertS w2 R sw2 + . I sw2val = e val Z m val(7.3.18)mitRe S~;l = - ~ {Sp In (:T + h W - /JB) + Sp In (:T + h W * + /JB) }+ ~ {sp In (:T + h W ) + Sp In (:T + h W*) }Im S~;l = - ;i {sp In (:T + h W - /JB) - Sp In (:T + h W * + /JB) }+ ~i {sp In (:T + h W ) - Sp In (:T + h W*)} .(7.3.18a)(7.3.18b)Das Soliton mit Omega-Meson111

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellIch betrachte nun ersteinmal beide Fälle im Grenzfall 9w = 0, also ohne Ankopplung desw-Feldes und hieraus ergeben sich nach Ausführung der Spur über c, " T, x die Ausdrücke:1. Fall:Re s~;/ = - ~NcT I: ~; I: {ln( -iw + (a + ifJ~) + ln(iw + (a -+ ~NcT 100Im S;:;./ = - 21.NcT 100adw I: {ln(-iw + (a) + ln(iw + (a)}-00 211" al -00 211"aifJ~)}dw I: {ln( -iw + (a + ifJ~) -ln(iw + (a - ifJt)}(7.3.19a)+ ~NcT1OO dw I: {ln(-iw + (a) -ln(iw + (a)} (7.3.19b)2t -00 211"a2. Fall:wie sich mittels Kapitel 4 ergab.s;:;/ = -~NcT I: {Ifa - fJBI-I(al} , (7.3.20)aNachdem der 2.Fall der Untersuchung von Kapitel 4.2 entsprach, gilt es nun nur noch denersten Fall zu betrachten. Aber auch die Berechnung des ersten Falles ist eigentlich indirekt schondurchgeführt worden. Entsinnt man sich an Kapitel 7.2, in welchem die Energie des Diracseesbestimmt wurde, so entspricht die Berehnung für diesen Fall der Bestimmung der See-Energie fürein konstantes wo-Feld ( Wo = - fJ B = konst. ) ,wobei jedoch keine Regularisierung eingeführt wird.Mittels des ersten Rechenweges (7.2.16) - welcher sich im Kapitel 7.2 als richtig erwies - ergibt sichim Minkowski-Raum das Ergebniss:!/ = ~NcTLfJB sign( (a ) ,a(7.3.21)wobei die Beziehungenverwendet wurden.regularisiert worden ist.(t = (a - fJB

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellGrunde ist es naheliegend, daß das Ergebnis (7.3.20) für den Valenzanteil richtig ist und somitsollte das chemische Potential nicht wickrotiert werden.Nach diesen Vor überlegungen gehen wir nun also von der Formel (7.3.18) aus - d.h. das chemischePotential wird nicht wickrotiert - , führen die w-Integration durch und anschließenddrehen wir das Ergebnis zurück in den Minkowski-Raum.Also nach Gleichung (7.3.18) giltS~al = Re S~al + i I m S~al(7.3.22)mitRe ~al = - ~NcT 1: ~; {ln(iw + f~ -IlB) + In(iw + f~* + IlB)}+ -2 1 NcT 100-00 27rIm ~al = - 21.NcT 100z-00 7rdw {ln( iw + f~) + ln( iw + f~*}d 2w {ln(iw + f~ -IlB) -ln(iw + f~* + IlB)}+ ~NcT1OO dw {ln(iw + f~) -ln(iw + f~*}2z -00 27rMittels des Integrals D2 in Anhang D ergibt sich der AusdruckS~al = - ~NcTsign (Re f~ -IlB)(f~ - I'B)+ ~NcTsign (Re f~) f~(7.3.22a)(7.3.22b)(7.3.23)und nach der Wickrotation gilt im Minkowski-Raum folgende Formel f"ür den ValenzanteilS w - _ ~N T· (f t + t:;; - 21'B) ( + _ )val - 2 c szgn 2 fO' IlB1 N . (ft + f;;) ++ 2" cTszgn 2 fO' • (7.3.24)++ -Wir betrachten nun in Analogie zu Kapitel 4 das Spektrum der Energiezustände ~ undgeben uns ein positives chemisches PotentialllB vor. Es gilt nun:,t +,;; >0 o

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellHierbei wählte ich zusätzlich das chemische Potential so geschickt, daß keine Zustände existieren,+ -welche die Bedingung (0 ~eo = f.lB erfüllen. Somit ergibt sich für den Valenzanteil(7.3.27)Man kann nun wiederum drei Fälle unterscheiden:Region 1 :Region 2 :Region 3 :(+ +(-val val > 11 > 02 ,..B S~al = 0 (7.3.28a)(+ +(-I'B > val val> 02(+ + (-li > 0 > val va.l,..B 2(7.3.28b)(7.3.28c)Im folgenden werde ich in Analogie zu Kapitel 4 die Baryonenzahl B behandeln, für welchenach der Gleichung (4.2.11) die Beziehung(7.3.29)gilt, so daß sie sich im erweiterten NJL-Modell zu(7.3.30)ergibt. Auch die Baryonenzahl erechne ich nun für die drei möglichen RegionenRegion 1 :Region 2:Region 3 :(+ +(-val va.l > 11 > 0 B = 02 ,..B (7.3.31a)(+ +(-f.l B > val val > 0 B = 12(+ +(-11 > 0 > val val B = 1,..B 2(7.3.31b)(7.3.31c)und somit wird wiederum durch die Festlegung B(I'B) = 1 das chemische Potential beschränkt.Zusammenfassend kann man also festhalten, daß für die großkanonische Wirkung der AusdruckS:!! =Sj + S~ + Sbr+ { -NcTf.lB + NcT(tal-NcTI'B(7.3.32)Das Soliton mit Omega-Meson114

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellermittelt wurde und sich hieraus folgend mit den Gleichungen (7.3.10) und (7.3.11) die GesamtenergieE~e8 =E':;;al + E Uoop=Ncrytalftal + EUoop(7.3.33)mit(7.3.33a)herleiten läßt, wobei die Energie E uoop durch die Gleichung (7.3.9) gegeben ist.Abschließend sei noch angemerkt, daß die Herleitung des Valenzbeitrages zur Energie in demerweiterten NJL-Modell nicht so problemlos ist wie im Fall des NJL-Modell ohne w-Meson. Hierzusei auf die Abb . 7 in dem Kapitel 4 und im Vergleich dazu die Untersuchung des Spektrums (;1; 1(;;-+ -im Unterkapitel 7.3.2 verwiesen. Man erkennt, daß bei dem Spektrum CO !(Q die eintauchendenNiveaus bei kleinen Solitonradien bei der Festlegung des chemischen Potential PB Probleme bereiten.Es ist jedoch zu beachten, daß zum einen das Energieminimums nicht in dem problematischenBereich liegt und im weiteren ist es möglich den Wert des chemischen Potentials variabel zu wählen,so daß in diesem Bereich stets die Bedingung /lB > (:;al~(;al > 0 erfüllt ist, jedoch höhere Niveausimmer oberhalb des chemischen Potential liegen.Nach der Bestimmung der Gesamtenergie, welche widerum das Valenzbild beinhaltet, giltes nun diese Energie wiederum zu minimieren, wobei diese Minimierung in den nächsten beidenUnterkapiteln durchgeführt wird. Im Rahmen dieser Untersuchung wird sowohl das parametrisierteSoliton als auch das selbstkonsistente Soliton vorgestellt werden.7.4. Das parametrisierte SolitonIn diesem Unterkapitel werde ich das parametrisierte Soliton für das Nambu-Jona-LasinioModell mit w-Meson untersuchen. Ich erinnere nochmals daran, daß hierbei die Form der Mesonenfelderaufgrund einer vorgegebenen Profilfunktion 8( r) eingeschränkt ist. Die Form der Profilfunktionkann hierbei mittels eines Parameters R - der Solitongröße - variert werden. Zusätzlichgebe ich für das w-Feld den Ansatz1 9w sin 2 8(r) d8(r)Wo ( r ) = - -2 -2 227r mdrw r(7.4.1)Das Soliton mit Omega-Meson 115

Einführung duw-Mc80JU in dtu NJL-ModcllR=O.94 fm R=1.41 fm R=1.88 fm200- >aJ:2160120g=4.5-80'------...............40.... ....oc=~~---=---~0.00 0.50 1.00 1.50 2.00.... 0 .....3Ort r [ fm ]Abb. 19: Dtu wo-Feld au Funktion aC8 Ortel r für unter8chiedliche Solitongröpen R beieiner vorgegebenen Kopplung8l:on,tante g"" mit gw = ../3gvo:-, welcher im Kapitel 7.3.2 hergeleitet wurde.In Abb . 19 ist diese Funktion für das wo-Feld bei einer festgelegten Kopplungskonstante gwund unterschiedlichen Solitonradien R in Abhängigkeit des Ortes r dargestellt, wobei das lineareProfil (4.3.4) verwendet wurde. Man sieht, daß das Maximum dieser Funktion an der Stelle r=Ozu finden ist, wobei der Funktionswert den endlichen Wert'lrg wwo(r = 0) = - 2m~R3annimmt. Somit ist der Wert des Maximums - im Gegensatz zum (T- und r-Feld - abhängig von derSolitongröBe R und nimmt bei ansteigendem R ab. Die Steigung dieser Funktion nimmt ebenfallsbei anwachsenden R ab, so daß rur r 2: R die Funktion den Wert 0 annimmt.Für das (T-und das 'Ir-Feld gelten auf grund der Beschränkung auf den chiralen Zirkel dieAnsätze (7.3.8). Naeh dieser Vorarbeit kann nun die Energie (7.3.33) in Abhängigkeit von derAusdehnung der meson ischen Felder. also dem Solitonradius, untersucht. werden. Durch die Beschränkungauf den chiralen Zirkel ergibt sich der Anteil e; f tP:: (002 + r - I;) zu Null; derAnteil ~ f JJ::W5 verschwindet jedoch nicht.. Da er jedoch dem Faktor 2m~Rl proportinal ist,wird sein Wert für größere Solitonradien R verschwindend klein. Für sehr kleine Solitonradien Rwird er jedoch sehr groB und strebt gegen unendlich. Dies steht im Wiederspruch zu der Tatsaehe,DtU Soliton mit Omega-Me,on 116

Einführung des w-Mesons in das NIL-Modelldaß an der Stelle R=O, also bei verschwindendem Soliton, der Vakuumfall vorliegen muß. An dieserStelle wird wiederum deutlich, daß der Ansatz für das wo-Feld im Fall des parametrisierten Solitonsnicht ideal gewählt ist. Es scheint somit sinnvoll den Massenterm bei der Untersuchung desparametrisierten Solitons zu vernachlässigen , da dieser zu einer Verfälschung des Kurvenverlaufsder Gesamtenergie im Bereich kleiner Solitonradien führen würde. Es wird sich anhand der Energiekurvenin Abhängigkeit von dem Solitonradius zeigen, daß die Vernachlässigung seines Wertesbis in den Bereich sehr kleiner Solitonradien den prinzipiellen Verlauf der Gesamtenergie nichtwesentlich ändert.Der symmetriebrechende Term wird wiederum vorerst aufgrund seines kleinen Wertes vernachlässigt.In Abb . 20 sind der Valenz-, Real- und Imaginärteil der Energie des Diracsees und die Gesamtenergiegegen die Solitongröße R aufgetragen, wobei g die Werte 3 und 4.5 annimmt. Manerkennt das Auftreten eines deutlichen Minimums im Verlauf der Gesamtenergie für R =I 0 und hatsomit einen ersten Hinweis für das Vorhandensein einer selbstkonsistenten Lösung. Hierbei wurdedie Formel g~ = 3g 2 für die Festlegung der Kopplungskonstanten gw zu grunde gelegt. Durch einenVergleich der beiden Abbildung in Abb . 20 folgt, daß sich der Wert des Minimums der Gesamtenergiebei ansteigendem g erhöht und bei immer größeren Solitonradien R zu finden ist. Betrachtetman jedoch den Wert des Minimums, so erkennt man, daß er im Vergleich zum NJL-Modell ohnew-Meson noch höher liegt und somit noch weiter von dem erwarteten Wert abweicht. Es sei angemerkt,daß durch die Einführung weiterer Vektormesonen ein Herabsetzen dieses Wertes erwartetwird, wie Rechnungen im NJL-Modell bezüglich des p-Mesons von R.Alkofer und H.Reinhardt [18]zeigen. Das w-Meson ist somit repulsiv und das p-Meson attraktiv.Auffallend an dem Kurvenverlauf der Gesamtenergie ist das sehr ausgeprägte Maximum, welchesbei anwachsendem g einen immer höheren Wert hat. Diese Tatsache zeigt, daß durch dieEinführung des w-Mesons das Soliton deutlich an Stabilität gewinnt. In diesem Zusammenhangsei auf das Adkins-Nappi-Modell [16] verwiesen, bei welchem gleiche Ergebnisse bezüglich derStabilität erhalten wurden. Aufgrund des sehr ausgeprägten Maximums ist aber auch die Vernachlässigungdes Massenterms für den prinzipiellen Verlauf unerheblich.Wie im NJL-Modell ohne w-Meson existiert ab einer kritischen Kopplungskonstante gkrit keinSoliton mehr. Dieser kritische Wert hat jedoch im erweiterten NJL-Modell einen sehr viel kleinerenWert und liegt erst weit außerhalb des physikalisch interessanten Bereichs.Bezieht man nun noch Abb . 8 in die Untersuchung mit ein - dort hatte g den Wert 4.5 undgw den Betrag 0 - , so erkennt man, daß durch die Einführung des w-Mesons tendenziell folgendeVeränderungen des Kurvenverlauf der Gesamtenergie auftreten:a) deutlicher ausgeprägtes Maximumb) Emin ist größerDas Soliton mit Omega-Meson 117

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell50004000 \> \())\\~ 3000())2000Real. Imaginär Valenz. Gesamt.--------- - - - --\\." .,...,.,,~_.~--......g=3.0())'Öl 1000 ------- .....Q;...c--W 0 --- ---- - ---10000 1 2 3 4Solitongröße R [ fm90007000>())~ 5000--()) 3000())-------1000...Cl ...()) " ,", ,\..,c , ,I ' IW -1000 ,I I ,I ,I 'I I 'Real. Imaginär Valenz. Gesamt.--------- ----- ---, , I II ,I Ig=4.5..,-------------------------30000 1 2 3 4Solitongröße R [ fmA bb. 20: Die Energie des parametrisierlen Solitons als Funktion des Paramters R bei verschiedenenKopplungskonstanten g - gw = ../3g -Das Soliton mit Omega-Meson 118

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellc) E:es(Rmin) ist größerZusammenfassend läßt sich also feststellen, daß es sehr wahrscheinlich ist - trotz der eingeschränktenGültigkeit der Ergebnisse aufgrund der nicht idealen Wahl des Ansatzes fUr das wo-Feld- ,daß selbstkonsistente Lösungen existieren, wobei das selbstkonsistente Soliton sehr stabil ist.Der Wert der Energie ist jedoch zu groß, wobei dies eventuell durch die Einführung weitere Vektormesonenbeseitigt wird oder auf die Wahl des wo-Feldes zurückzufUhren ist.Zum Abschluß sei noch kurz auf den Kurvenverlauf des Imaginärteils eingegangen. Für kleineKopplungen g und damit verbundenen kleinen Kopplungskonstanten gw ist der Imaginärteils vomBetrag her nur sehr klein. Erhöht man aber die Kopplungskonstanten, genauer gesagt gw, so ergibtsich für kleine Solitonradien R eine deutlich oszillierende Kurve. Diese Oszillationen sind jedochaufgrund des sehr hohen Betrages des Realteis in diesem Bereich der Soliton größe für den Verlaufder Gesamtenergie kaum bedeutsam. Im weiteren könnte auch dieses Verhalten auf das ungünstigewo-Feld zurückgeführt werden, da es gerade bei großen Kopplungen auftritt. Der Kurvenlauf desImaginärteils weist nochmals im Bereich der Solitongröße, in welchem der Valenzanteil eintaucht,ein kleines Maximum auf.In Kapitel 6.2 wendete ich die Heat-Kernel-Entwicklung auf den Realteil des fermionischenAnteils der Wirkung an. Hieraus ergab sich in erster Ordnung eine ent.wickelte Wirkung, welchenur die kinetischen Terme der mesonischen Felder enthielt, wenn der eutoff A und gw so gewähltwurden, daß die Gleichungen (6.2.37) und (6.2.38) erfüllt wurden. Eine Folgeidentität dieser beidenBedingungen lautete g~ = 3g 2 . Es stellt sich nun die Frage, inwieweit der exakt erechnete Realteildes fermionischen Anteils der Energie mit der aus der Heat-Kernel-Entwicklung folgenden Energiefür große Solitonradien - also geringe Störungen durch die mesonischen Felder - übereinstimmt undob die Gleichheit g~ = 3g 2 sich bestätigen läßt. Diese Untersuchung ist auch in soweit interessant,da die Wahl des parametrisierten wo-Feldes gerade durch eine Entwicklung in diesem Bereich desSolitonradius motiviert ist. Es ist festzuhalten, daß dies eine Überprüfung ist, inwieweit das von unsgewählte Verfahren der Wickrotation beim wo-Feld mit der Heat-Kernel-Entwicklung konsistentist.In diesem Zusammenhang sei zunächst auf die Abb . 21 verwiesen, in welcher ein Vergleichdes Realteils der fermionischen Energie mit den kinetischen Energien der Mesonenfelder bei unterschiedlichenKopplungskonstanten g unter Verwendung des linearen Profils durchgefUhrt wird.Hierbei ergibt sich die Kopplungskonstante gw aus der hergeleiteten Beziehung g~ = 3g 2 . Es stelltsich heraus, daß bei einer Kopplungskonstante von g=4.5 die beiden Kurven fUr große Solitonradienübereinstimmt. Gibt man sich jedoch eine größere Kopplungskonstante g vor, so weichendiese beiden Kurven durch eine Parallelverschiebung voneinander ab, wobei die Breite der Parallelverschiebungbei einer wachsenden Kopplungskonstante g sehr schnell ansteigt. Es sei angemerkt,daß die kinetische Energie der mesonischen Felder vom Wert her geringer ist als der Realteil derDas Soliton mit Omega-Meson 119

Einführung des w-Mesons in das NiL-ModellRealteilg=4.5Heat-Kemel~r-------------------------------~500001.00 1~0 2.00 2.50g=3.5> 4000~3000QIQI 2000·ö.. #~ •• - ..~.....1000W01.00 1~0 ~oo 2.50 3.00g=6.0Sooo~~----------------------------1> Aooo~3000QIQI 2000·ö~ 1000WO~----~----~------~----~----~1.00 1.50 3.00Solitongöl3e R [ fm ]Abb. fl: Der Realteil der Energie des Diracsees und die Energie, welche sich mittels derHeat-Kernel-Entwicklung ergibt, als Funktion des Paramters R bei verschiedenen Kopplungskonstanteng, wobei hier g", = ../39 genommen wurdeDas Soliton mit Omega-Meson 120

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellfermionischen Energie. Für Kopplungen 9 < 4.5 ergibt sich ebenfalls eine Parallelverschiebung,wobei jedoch die Kurve der kinetische Energie unterhalb verläuft. Es zeigt sich aber, daß dieseVerschiebung wesentlich geringer als für große Kopplungen ist. Bei abnehmender Kopplung nimmtwiederum die Parallelverschiebung zu. Zusammenfassend kann man also festhalten, daß die Übereinstimmungder Kurven im physikalisch motivierten Bereich bei g=4 zufriedenstellend ist. Diesgilt insbesondere im Vergleich zu der Untersuchung des NJL-Modell ohne w-Meson, wobei sichbei jeder Kopplung eine sehr deutliche Verschiebung ergab. Ein endgültiges Urteil kann jedocherst gefällt werden, wenn selbstkonsistente Rechnungen und konkrete Observablen des Nukleonsberechnet worden sind.Es ist nun interessant herauszufinden, inwieweit die Verschiebung bzw Übereinstimmung vonder zugru 1.de gelegten Beziehung g~ = 3g 2 abhängt.In Abb . 22 ist bei einer festgelegten Kopplungskonstante von g=4.5 die Kopplungskonstantegw variert worden. Die zuvor erhaltene Übereinstimmung der beiden Kurven geht verloren. BeiWerten für gw mit gw > .,;3g ergibt sich eine Parallelverschiebung, welche bei wachsender Kopplungskonstantegw zunimmt. Hierbei liegt der Wert der kinetischen niedriger als der Realteil derfermionischen Energie. Umgekehrt ist die kinetische Energie größer als die fermionische Energie,wenn die Kopplung gw kleiner als .,;3g ist. Wiederum vergrößert sich die Parallelverschiebung beikleiner werdendem gw, bis zu einem Wert, welcher dem des NJL-Modells ohne w-Meson entspricht.Zusammenfassend läßt sich also festhalten, daß fur jede Kopplungskonstante g durch Variationvon gw Übereinsitimmung des Realteils der fermionischen Energie und der Energie, welche sichmit Hilfe der Heat-Kernel-Entwicklung ergibt, erzielt werden kann. Im physikalisch interessantenBereich um g=4.5 wird die Übereinstimmung jedoch durch die Erfüllung der Formel g~ = 3g 2gewährleistet, so daß dieses Ergebnis bestätigt wird. Insgesamt ergeben sich somit für das lineareProfil in diesem Zusammenhang bessere Ergebnisse im erweiterten NJL-Modell als im NJL-Modellohne w-Meson.Nach diesen Ergebnissen stellt sich nun nur noch die Frage, wie sich das Verhalten der bei denKurven bei anderer Profilfunktion verändert. In Abb . 25 ist bei einer Kopplungskonstante vong=4.5 unter Verwendung des exponentiellen Profils (4.3.5) der Realteil der fermionischen Energieund die kinetische Energie der Mesonen aufgetragen. Die beim linearen Profil erhaltene Übereinstimmungliegt beim exponentiellen Profil nicht vor; anstelle dessen existiert eine Parallelverschiebung,wobei die kinetische Energie der Mesonen den geringeren Wert besitzt. Gleiche Resultatebezüglich der Abhängigkeit der Parallelverschiebung von der jeweiligen Profilfunktion 6(r) ergabensich - wie schon im Kapitel 4 erwähnt - auch bei dem NJL-Modell ohne w-Meson [54]. Essei an dieser Stelle jedoch angemerkt, daß das Problem der Parallelverschiebung nicht überbewertetwerden sollte, aus Gründen, die ich im folgenden aufzeigen werde. Es ergibt sich für großeSolitonradien folgender SachverhaltEGrad = Cl'. RDas Soliton mit Omega-Meson 121

Einführung des W-Me30fU in du NJL-ModellRealteilHeat-Kernelg=4.54000~------------------------------------~> 3000(l)~-Q) 2000Q)'Öl'- (l) 1000CWgw=6.05000o~--~~--~~~--~------~~--~----~1.50 2.00 2.50 3.00SOlitongröOe R [ fm 1g=4.5- >4000~-... 3000

(lJ~"-""C1.IC1.ICl\..Cl)cWEinfühnmg des ",,-Mesons in das NJL-ModellRealteilHea t-Kernelg=4.55000400030002000.........._.---- .......... ........-..1000 "...-_....-_..--- -----~----.. --- ---_..--o~~ .... ~~~~~~~~~~~~~~~~~~0.90 1.20 1.50 1.80 2.10Solitongröße R [ fm JAbb. 23: Der Realteil der Energie des Diracsees und die Energie, welche 8ich mittels derHeat-Kernel-Entwicl:lung ergibt, als Fun1:tion des Paramters R • unter Verwendung des ez·ponentiel1en Profils. , wobei die )\opplungsl:onstanten 9 und g"" die Werte 9 = 4.5 undg"" = J3g besitzten(7.4..2)wobei Cl' eine Konstante darstellt. Untersucht man nun das Verhältnis dieser beiden Größen, soergibt sich:EGuamt 1 AE~=== +-EGrarl RDa der Vergleich dieser beiden Energien für R - 00 vollzogen werden soll, ergibt sich das Verhältnissehr schnell zu Eins, wenn AE nicht sehr groB ist. In unseren Betrachtungen haben wiraufgrund numerischer Schwierigkeiten nur Solitonradien betrachtet, welcher nicht sehr groß sind.Das Auftreten einer Parallelverscbiebung ist somit nicht verwunderlich.Nach dieser Untersuchung des parametrisierten Solitons, welche befriedigende Ergebnisse z.B.bezüglich der Stabilität zeigte, wird im nächsten Kapitel das selbstkonsistente Solit.on des NJL­Modells mit w-Meson vorgestellt.Das Soliton mit Omega-Meson 123

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell7.5. Das selbstkonsistente SolitonIn diesem Unterkapitel werde ich die Einschränkung der mesonischen Felder aufgrund derEinführung einer vorgegebenen Profilfunktion 6(r) weglassen und eine im Vergleich zu Kapitel 4etwas veränderten Selbstkonsistenz-Prozedur vorstellen, welche die exakte Berechnung der mesonischenFelder und der damit verbundenen Gesamtenergie zuläßt. Es sei vorgreifend erwähnt, daßdie damit verbundenen numerischen Rechnungen noch nicht durchgeführt wurden, so daß im folgendennur die selbstkonsistenten Gleichungen für die mesonischen Felder und die Selbstkonsistenz­Prozedur vorgestellt, jedoch keine Ergebnisse angegeben werden.Die Vorgehensweise der Untersuchung entspricht der aus Kapitel 4.4. Ich gehe somit wiederumvon der bisher untersuchten Variation bezüglich der Solitongröße R und der sich daraus ergebendenBedingungo (E W - /lBNcB) = 0 (E W - /lBNcB) = 0o6(~oR(7.5.1)(7.5.1a)mit den Lösungen u(r, Rmin), 7r(r, Rmin) und wo( r, Rmin) rur die :t\1esonenfelder, zu den allgemeingültigenBedingungeno (E W - /lBNcB) = 0 = oE wou(~ou(~(7.5.2a)o (E W - /lBNcB) = 0 = oE woif(r)oif(r)(7.5.2b)o (E W - /lBNcB) oE w~-ow-o!..-:'( r~)--=--!. = 0 = -ow-o-( r-) (7.5.2c)über, welche zu den Bewegungsgleichungen für u(r), if(r) und wo(r) führen. Im folgenden werdeich nun diese Variation ausführen, wobei wieder der Hedgehog-Ansatz verwendet wird. Der Vakuumanteilder Energie ist nicht expizit von den Mesonenfeldern abhängig und verschwindet daherbei der Variation.An dieser Stelle empfielt es sich, die Variation bezüglich der Einteilchenenergien t:;t und t:~auszuführen. In Analogie zu Kapitel 4.2 gilt somit mit der Gleichung (7.2.9):mitt:± _ < o± I h ± I a± >0< - < a± I a± >= J d 3 x

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellDaraus ergibt sich(7.5.4)(7.5.5)(7.5.6)mits;(r) = J dncp;(r,n)cp;(r,n)p!(r) = J dncp;(r,n)i-ysfcp;(r,n)d;(r) = J dncp;(r, n)-Yocp;(r, n)(7.5.7)(7.5.8)(7.5.9)Bezüglich der u-Feldes ergibt sich somit fur die Variationmit6EW 6Ei 6E w __ = __ + ----2!L + __ 6Eb 6Ewr + --1!.!L. i6u(r) 6u(r) 6u(r) 6u(r) 6u(r)Re Ei = -~Nc L {! t f ; f~ ! R (f t ; (~ ,A) -I(~IR ((~,A)}erIm Ei = - LN c LSign ((t; (~) ((t - (~)E~ = ~2 JermO/-l 2 JEbr = --g-E W -N 7]+ (+val - c val vald 3 x (u 2 + if2 -d 3 x(u - !'Ir)f:) - ~~ J d 3 x w5(7.5.10)(7.5.11a)(7.5.11b)(7.5.11c)(7.5.11d)(7.5.11e)mit(+ +e-1 falls !lg l "01 > 07]+ - 2{val - +o+ - ,falls (.'gl (ya! < 02wobei die einzelnen Summanden den Gleichungen6E W 6Re E W 6Im EW_f_= f+ i f6u(r) 6u(r) 6u(r)(7.5.12)Das Soliton mit Omega-Meson125

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellmitundoRe Ej IN ""{. (' )R(' A) I' IdR(iex,A)} 2, ()oer( r) = - 2 C L...J szgn (ex (ex, + (ex diex gr Sex rex6ImEj_ 1 T"". , 2,C () - - -;l\c L...Jszgn«(ex)gr sex(r)oer r 4zexoEW--!!!:... =47rJl2 r2er(r)oer(r)OEbr 2 26er(r) = - 47rm7r f7r r8E w--1!!li =N 1]+ gr 2 s+ (r)oer( r) C val val(7.5.12a)(7.5.12b)(7.5.13)(7.5.14)(7.5.15)erfüllen. Hierbei gelten die Defintionen:, 1 (+ _)(ex =2 (ex + (ex8ex (r) =~ (st(r) + s~(r))Für die Bewegungsgleichung des er-Feldes ergibt sich also mit (7.5.2) und (7.5.10) der Ausdruck:mit.Die Ableitung der Regularisierungsfunktion ist hierbei durch die Gleichung (4.4.11) gegeben.(7.5.16)(7.5.16c)N ach der Herleitung der Bewegungsgleichung für das er-Feld bestimme ich hierzu analog dieBestimmungsgleichung für das 7r-Feld. Wiederum gilt:oE w oEj oE W OEb oE w /-_- = -_- + ~ + ~ + ---:;lliL ,o7r(r) o7r(r) o7r(r) o7r(r) o7r(r)wobei die einzelnen Summanden den Gleichungen6E w oRe E W 6Im EW_f__ f+ i fo7f(r) - 67f(r) 67f(r)(7.5.17)(7.5.18)mitoRe Ej IN ""{. (' )R(' A) I' IdR(fex,A)} 2- ()67f(r) = - 2 C L...J szgn (ex (ex, + (ex diex gr Pex rex(7.5.I8a)(7.5.18b)Das Soliton mit Omega-Meson126

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellund6E'::t 2 2 -( )61r(r) =41rJ-L r 1r r6Ebr =061f( r)6E'::al + 2-+ ( )60"(r) =Nc 1Jvalg r Pval r(7.5.19)(7.5.20)(7.5.21)genügen. Nach Einführung der Funktion Pö'(r) - gegeben durchP. -W( ) 1", {R(' A) 1 ,dR(i a }. (') - ( )o r = -"2 L...J (a, + "2 + (a dia szgn (a Pa r ,a(7.5.22)wobei p, durch die IdentitätPa(r) = ~ (Pa+(r) + Pa-(r))definiert ist - führt dies mit (7.5.17) und (7.5.2) zu der Gleichung-( ) Ncg { + -+ P'- W ()}1r r = - 41rJ-L2 1JvalPval + 0 r(7.5.23)Zm Abschluß sei noch die Bewegungsgleichung für das wo-Feld hergeleitet. Wieder gilt:__ = __ + __ m_ + __6~ 6~ 6~ 6~ r_ + --lliL. 6~16wo(r) 6wo(r) 6wo(r) 6wo(r) 6wo(r)(7.5.24)mit6ReE'1 IN ",{. (' )R(' A) ",dRUa,A)} 2d ()6wo(r) = -"2 C L...J szgn f a (a, + (a dia gr a ra(7.5.24a)(7.5.24b)(7.5.25)(7.5.26)(7.5.27)undNach der Einführung der Funktion DQ(r), welche durch die IdentitätDO'(r) = -~ I: { RUa, A) + ~ + ia d~~a } sign(ia) da(r) ,a(7.5.28)Das Soliton mit Omega-Meson127

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modelldefiniert ist, ergibt sich für die Bewegungsgleichung des wo-Feldes der Ausdruck(7.5.29)Mit Hilfe der nun gewonnenen Gleichungen (7.5.29), (7.5.23) und (7.5.16) läßt sich nun inAnalogie zu Kapitel 4 eine Prozedur starten, welche zu selbstkonsistenten Mesonenfeldern führt undmittels des Computers durchgeführt werden kann. Das Prinzip dieser Selbstkonsistenz-Prozedurist auf der folgenden Art anschaulich darstellbar:I 6 n(r)I Anfang!!WO,n(r)O"n(r), 7r n (r), WO,n(r)!I h~ I cx~ >= (~n I cx~ > I!I so~±(r,n) I!!ja: 6 n+l (r) = 6 ende(r)nem :n+1--+n!I Anfang IAls Startprofil verwendet man aufgrund der schnelleren Konvergenz das lineare Profil und [urdas wo-Feld gibt man sich die Startfunktion (7.4.1) vor. Wie schon zu Anfang dieses Unterkapitelserwähnt, habe ich die numerischen Rechnungen hierzu noch nicht ausgeführt. Ihre Durchführungsoll aber in nächster Zukunft vollzogen werden, da durch die Untersuchung des parametrisiertenSolitons die Vermutung nahe liegt, daß selbstkonsistente Lösungen existieren. Ich schließe somit dieVorstellung der Untersuchung des NJL-Modells mit w-Meson ab und weise auf das Schlußkapitelhin, in welchem weitere Untersuchungen, die auf diese Arbeit aufbauen könnten, aufgezeigt werden.Das Soliton mit Omega-Meson 128

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell8. Zusammenfassung und AusblickZiel dieser Diplomarbeit sollte es sein, das Nambu-Jona-Lasinio Modell durch die zusätzlicheBerücksichtigung des w-Mesons zu erweitern. Hierbei stellte sich als erstes die Frage nach derRegularisierung, da das NJL-Modell nicht renormierbar ist. Die Regularisierung sollte hierbei -sich unmittelbar aus dem Problem ergebend - folgende Eigenschaften besitzen:1) Die Eichinvarianz der Lagrangedichte sollte trotz der Einführung der Regularisierung erhaltenbleiben.2) Das Logarithmusgesetz ln(a·b) = In a+ln b sollte durch die Verwendung der Regularisierungseine Gültigkeit nicht verlieren.3) Zusätzlich sollte diese Regularisierung mit der Heat-Kernel-Entwicklung verträglich sein, umzu überprüfen, ob die Yang-Mills-Approach erftillt ist.Diese Überlegungen führten schließlich zu der Einführung der Pauli-Villars-Regularisierung. Dajedoch das durch die Pauli-Villars-Methode regularisierte NJL-Modell noch nicht betrachtet war,galt es - vor der Einftihrung des w-Mesons - diese Untersuchung durchzuführen ( Kapitel 2 - 4 ).Insgesamt ergab sich hierbei - im Vergleich mit anderen Regularisierungsschemen - ein positivesGesamtbild. Abgesehen von den sehr zufriedenstelIenden Ergebnissen der Observablen im Vakuum­Sektor , sind auch die Werte der solitonischen Observablen mit dem Experiment vergleichbar. EineObservable jedoch fiel wie auch bei der Verwendung anderer Regularisierungen aus dem Rahmen:die Mean-Field-Energie. Diese liegt um einige hundert MeV zu hoch und ist Grund ftir die Annahme- welche durch Rechnungen in anderen Modellen [15] [17] motiviert ist - , daß Vektormesonen indas Nambu-Jona-Lasinio Modell eingeführt werden sollten, wozu diese Diplomarbeit durch dieBerücksichtigung des w-Mesons einen Beitrag leisten soll.Nach der Untersuchung der notwendigen Pauli-Villars-Regularisierung führte ich nicht sofortdas w-Meson in das NJL-Modell ein, sondern untersuchte zuerst das noch nicht erweiterteNJL-Modell bezüglich der Gradienten-Entwicklung ( Kapitel 5 ). Obwohl im ersten AugenblickZusammenfassung und Ausblick 129

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modelldiese Ausftihrung nicht im direkten Zusammenhang mit der Einführung des w-Mesons steht, ergabein anschließender Vergleich mit der Gasser-Leutwyler-Theorie, welche sich mit Hilfe der chiralenStörungstheorie aus der QCD herleiten läßt, wiederum die Notwendigkeit der Einführung von Vektormesonen.Somit begründet diese Untersuchung ebenfalls die Betrachtung des NJL-Modell mitw-Meson.In den Kapiteln 6 und 7 schließlich führte ich das w-Meson in das NJL-Modell ein. Diehierbei verwendete Vorgehensweise - insbesondere die Wickrotation des w-Feldes - reproduzierteein Modell, welches eichinvariant ist und das Valenzbild benutzt. Mit Hilfe der Heat-Kernel­Entwicklung ergab sich anschließend wiederum ein Modell, das nur einen freien Parameter enthält.Die nachfolgende Untersuchung des Solitons, wobei bisher nur im Bereich des parametrisiertenSolitons numerische Rechnungen durchgeführt wurden, ergab tendenziell, daß das Sditon deutlichan Stabilität gewinnt. Die Untersuchung des Energieprofils ergab jedoch auch, daß die Mean­Field-Energie noch weiter erhöht wurde und der Imaginärteil - dieser beträgt im Gegensatz zumNJL-Modell ohne Vektormesonen nicht Null - im Bereich kleiner Solitonradien eine oszillierendeFunktion darstellt. Schon die Betrachtung der Energiespektren deutete darauf hin, daß sich derVerlauf des Energieprofils im Bereich kleiner Solitonradien gravierend verändern würde. Obwohlim Detail die gravierenden Ergebnisse von dem gewählten Profil abhängen und nur ftir großeSolitonradien begründbar sind, sollte man festhalten können, daß der Effekt des w-Mesons merklichist und eine starke Stabilisierung des Solitons zur Folge hat. Es ist anzumerken, daß sich dasgleiche Resultat auch beim Adkins-Nappi-Modell ergab [16] . Bezüglich der Mean-Field-Energieist zu sagen, daß sie sich wahrscheinlich erhöht. Diese negative Tendenz kann jedoch durch diezusätzliche Ankopplung des p-Mesons, welches das Soliton stabilisiert und die Mean-Field-Energiedeutlich herabsetzt, - siehe dazu die Rechnung von R.Alkofer und H.Reinhardt - wieder aufgehobenwerden, so daß zu erwarten ist, daß die Berücksichtigung von p-, A- und w-Meson schließlich zueinem Mean-Field-Energiewert führt, welcher mit dem Experiment vergleichbar ist.Zum Schluß meiner Diplomarbeit untersuchte ich das Verhalten des Energieprofils des NJL­Modells mit w-Meson im Bereich größerer Solitonradien. Diese Untersuchung ist insoweit interessantund aufschlußreich, daß der Ansatz ftir das wo-Feld in diesem Bereich gerechtfertigt ist. Esist festzustellen, daß bis auf eine Parallelverschiebung, weIche schon beim NJL-Modell mit reinskalaren Kopplungstermen auftrat, die asymptotische See-Energie mit der gradientenentwickeltenübereinstimmt. Dies ist ein wichtiger Konsistenzscheck, der die vorgestellte Methode zur Behandlungdes w-Mesons unterstützt.Ausgehend von dieser Zusammenfassung ergibt sich die Notwendigkeit baldiger numerischerRechnungen bezüglich des selbstkonsistenten Solitons des erweiterten NJL-Modells. Es ist in diesemZusammenhang zu erwarten, daß selbst konsistente Lösungen existieren. Im weiteren solltedanach das p- und A-Meson angekoppelt werden, um somit schließlich die Ergebnisse der Observablenim Vergleich mit dem NJL-Modell ohne Vektormesonen zu verbessern.Zusammenfassung und Ausblick 130

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellInsgesamt kann man festhalten, daß die Berechnungen des NJL-Modells mit Vektormesonenmit Hilfe dieser Arbeit einen Schritt vorangekommen sind, insbesondere da gerade die Einführungdes w-Mesons im Vergleich zum p- und A-Meson die größten Schwierigkeiten bereitet.Zusammenfassung und Ausblick 131

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellAnhang A.A.l Minkowski-MetrikDer Notation von Bjorken-Drell [48] folgend gilt unter der Verwendung vonn=c=1(A.1)für den kontra- und kovarianten Vierervektor:cll- = (:c 0 ,:c l ,:c 2 , :c 3 ) = (t, i):Cll- = (:co, :Cl, :C2, :C3) = (t, -i) ,(A.2a)(A.2b)welche sich mittels dem metrischen Tensor(A.3)durch(A.3a)ineinander überführen lassen. Hierbei wird üblicherweise die Einstein'sche Summenkonventionverwandt. Die ,-Matrizen ,Il- = (,0, f) der Diracgleichung erfüllen die Antivertauschungsrelationen(AA)und haben die folgende explizite Form:= ",0 = (1 0)ß I 0-1ß5. = f = _(0 iJ)-(1 0(A.5a)(A.5b)wobei die Komponenten von iJ die bekannten Pauli-Matrizen darstellen:(A.5e)Anhang A 132

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellWeitere häufig verwendeten Kombinationen der "Y-Matrizen sind"Y 5 = i"Y 0 "Y 1 "Y 2 "Y 3 = "Y5 = (~ ~)mit "Yg = 1 , {"Y Jl '''Y 5 } = 0 und(A.6)(A.6a)(A.7)(A.7a)Für die hermitesch konjugierten Dirac-Matrizen gilt:(A.8)Im weiteren ist es bequem die Schreibweise mit dem Feynman- Dagger einzufuhren:(A.9a)insbesondere(A.9b)Abschließend seien noch die folgenden Spuridentitäten [Ur die "Y- Matrizen erwähnt:Sp "Y5 = 0Sp 1 = 1(A.lOa)(A.lOb)(A.lOc)Die Spur einer ungeraden Anzahl von "Y-i\1atrizen verschwindet.A.2 Euklidische MetrikDer Wechsel von der Minkowski-Metrik zur euklidischen Metrik entspricht einer Rotation dernullten Komponente des Vierervektors auf die imaginäre Achse und dieses bedeutet:x--x - ..., =x -(A.1la)(A.1lb)Definitionsgemäß gilt nun weiterxf = ixO IxE = i' = x,(A.12a)(A.l2b)Anhang A133

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellwelche die Raum-Zeit-Komkonenten im euklidischen Raum darstellen. Es ist wichtig herauszustellen,daß die Zeitkomponente im euklidischen Raum nicht komplex ist. Hieraus ergibt sich für dasIn tegrationsmaß(A.13)und für das Quadrat des Betrages(A.14)Auch die ,-Matrizen unterliegen einer Transformation und zwar gilt,0 --+ ,0' = _i,o = -hf,i --+ ,i1 = ,i = ,f(A.15a)(A.15b)woraus sich die Antivertauschungsrelationen(A.16)mitgE - 6 -J1.//-- J1.//-(I00-1 00 -10 0o 0 )0-1(A.17)und die hermitesch konjugierten Matrizen.....E+ - _ .. ,,E1J1. - 1J1.(A.18)ergeben. Für den Feynman-Dagger ergeben sich im euklidischen Raum die Beziehungen:(A.19a)(A.19b)Abschließend sei noch angemerkt, daß es naheliegt auch Felder mit Vektorcharakter (AO, Ä) wickzurotieren d. h.AO --+ AO I = -iAo = -iAfÄ --+ Ä' = Ä = ÄE(A.20a)(A.20b)Anhang A134

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellAnhang B.B.1 Feynman-Integrale (1)Ein Feynman-Integral hat im euklidischen Raum die Forma=3-n.(B.I)Es ist endlich im Fall d < 2a, wie man aus den folgenden Rechnungen erkennen kann. Es gilt(B.2)Die Winkelintegration kann nun mit Hilfe der Formel(B.3)wobei(B.4)die Eulersche Gammafunktion ist, ausgeführt werden. Nach (n-l)-facher Anwendung ergibt sichldfür den Winkel anteil 2~~d) , woraus der Ausdruck(B.5)folgt. Üblicherweise gilt d = 4.wählt man a = 1 (n = 2), so erhält man1x k3Ii(m) '" lim dk k 2 2x ..... OO 0 + m= lim (k 2 2_ m In (k 2 + m 2 )) IXx ..... OO 2 2 0:z;2lim -x ..... OO 2(B.6)und somit ein quadratisch divergentes Integral. Dieses Integral weist natürlich auch eine logarithmischeDivergenz auf, welche jedoch gegenüber der quadratischen Divergenz unbedeutend ist.Anhang B 135

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellIm weiteren gilt für 0' = 2 (n=l)= lim In z (B.7)und somit liegt in diesem Fall eine logarithmische Divergenz vor.Für 0' ::; 3 ist das Integral konvergent und es ergibt sich zu4 ( ) _ 21r(l- n) 2n-2n m - 7r r(3 _ n) m , (B.8)wobei die Formelbenutzt wurde.00 x2ß-l r(ß)r(O' - ß) 1~:---;:;-:"-dx - -...,---.."..1o (x 2 + a 2 )Cl' - r(O') 2a 2(Cl'-ß)(B.9)Im folgenden werde ich verschiedene Methoden zur Regularisierung der divergenten Integralevorstellen, welche schon in anderen Arbeiten [60] [54] [55] untersucht wurden.8.2 Regularisierungsmethoden0(4 )-RegularisierungBei der O( 4)-Regularisierung [60] erfolgt der Übergang(B.10)mit der Stufenfunktion1 für x > 0() {o für x ::; 0ex =und somit die Einführung eines Cutoffs A. Angewandt auf die Feynman- Integrale In führt dies zu(B.11)Anhang B 136

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellIm Fall n = I gilt also:(B.12)und für n = 2 ergibt sich(B.I3)0(3 )-RegularisierungIm Gegensatz zur O( 4)-Regularisierung wird hier [60] die ko-Integration erst ohne jeglicheEinschränkung durchgerührt und danach die Stufenfunktion 6(x) eingeflihrt, d.h. es erfolgt derÜbergang(B.I4)Dies führt zu den Feynman-Integralen:(B.15)wobei0' = 3 - nn= I:h (m, A) = -82 dk _ 37!' 0 (k 2 +m 2 )2I l A i?(B.16)Nach partieller Integration ergibt sich(B.17)Anhang B 137

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modelln = 2:(B.18)Eigenzeit-RegularisierungDiese Methode baut auf die gegebene IdentitätmitIn Cl' = _ lim ]00 dr e- TQ + C ooA-..oo..L,,2C oo= ]00 dr e- T1 rA2auf. Aus dieser ergibt sich durch Ableitung nach Cl' weiter die IdentitätCl'-n = lim 1 ]00 dr e-TQr n - 1 für nfN .A-..oo (n - 1)! ..L,,2 .r(B.19)(B.19a)(B.20)Unter Verwendung dieser Formel kann man das Feynman-Integral(B.21)in die Form(B.22)bringen. Daraus folgend gilt:(B.23a)(B.23b)mit(B.24)Anhang B 138

Einführung des w-Mesons in das NJL-Model/8.3 Pauli- Villars-RegularisierungIm Gegensatz zu Kapitel 2 soll nun die Pauli Villars-Methode mittels der 0(3) bzw Eigenzeit­Regularisierung auf die Feynman-Integrale angewandt werden.Der Rechnung von 0(4) im Kapitel 2.5 folgend ergibt sich im Falle der 0(3)-Regularisierung:h - I>i h(mi,A),C'= ~8;2I{ln (_A + VI + _A_2) _ --;==A==}mj mr JA2 + m~(B.25)Nach dem Grenzübergang A -00 erhält man:CI . { A m2 j m2}jh - "" - In - + In 2 + - + ... - 1 - - + ...~ 811'2 mi 4A2 2A2I"" Cj {2 m[ 2 A 2 }12 - L.J - A + - + ... - m· In - + m· In 2. 811'2 2 I mj II(B.26)Dies führt durch die Forderung der Beseitigung von vorhandenen Divergenzen wiederum zu denBedingungen (2.5.8)und die Integrale erhalten wie erwartet die Form aus der Berechnung für 0(4):I: Ci 2. 1611'2 I11 = - -- In m·I12 = I: -- 1611'2 Ci m 2 In m·2i I2.5.10a2.5.10b'Vendet man die Eigenzeit-Regularisierung auf die Feynman-Integrale an, so ergibt sichAnhang B 139

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell(B.27)\Viederum erfolgt nun die Pauli-VilIars-Regularisierung (2.5.10). Mit Hilfe von partieller Integrationund der Formelr(o, x) = -(rE + In x) + lex)(B.28)mitlex) = - (1- e- t )la x dto trE = 0.577Eulersche Konstanteerhält man dann nach dem Grenzübergang A -+ 00:h = L 1:~2 {-rE -ln m~ + In A 2 + 1(0)} = - 2.;: 1:~2 In m;I'" Ci 2 { mr A 2 } '" Ci 2 212 = - ~ 1671"2 mi -rE -ln A2 + 1(0) - (m) + 1 = ~ 1671"2 mi In miII(B.29)Die Beseitigung der Divergenzen erfolgte wieder über die Bedingungen (2.5.8).B.4 Feynman-Integrale (2)Im Gegensatz zu Anhang B.1 betrachte ich nun das Integral(B.30)welches im Fall 2s + 271 + d < 6 konvergent ist. Analog zu Anhang B.1 folgt schließlich(B.31)für den konvergenten Fall.In der Wirkung (5.2.45) treten die IntegraleAnhang B 140

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellauf, wobei die Integrale J~,o(m), J~'f(m), ~'i(m) die Bedingung 2s + 2n + d < 6 erfüllen, somitkonvergent sind und mittels der Formel (B.31) nun angegeben werden können:(B.32)(B.33)(B.34)An dieser Stelle sei nochmals angemerkt, daß stets auch die konvergenten Integrale regularisiertwerden.Die Integrale I{,o(m) und J~'i stellen divergente Integrale dar. Es sei darauf hingewiesen, daßdas divergente Integral I{,o(m) dem Integral h(m) entspricht und somit schon im Kapitel 2.5 undAnhang B.3 berechnet wurde. Es ergab sich zuJ4,o() 1 -2 '" A,O() 1 '" 1 21 m = --()2 m --+ L.JCi11 mi = --()2 L.JCi n mi47r . . 47r., Iund muß daher nicht noch einmal betrachtet werden.Um das Integral J~'i(m)verwendet man die Hilfsgleichung(B.35)zu bestimmen,(B.36)wobei das Integral ~tt,2 rur ( > ° konvergent ist und mittels der Formel (B .31) angegeben werdenkann:(B.37)Betrachtet man nun den Grenzwert (-+ 0, so ergibt sich:lim '" ciJ~tt,2(mi) = lim {( 1)2 r«()(47r)-f '" Cimr}f-tO ~ f-tO 47r ~, I= lim {_1_ (_~ + rE - (~7r2 + ~rk) (+ ... )f-tO (47r) 2 ( 12 2(1-1n(4.), +.) ~>; (1+ .In m; +) }= ( 1)2 lim '" ci {-~ + In(47r)rE -ln m;}47r f-tO~ (,1 '" 2= - (47r) 2 ~Ci In mi,(B.38)Anhang B 141

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellBei diesen Umformungen wurde zum einen die Bedingung (2.5.8) verwendet und zum anderen dieFormel [44](B.39)benutzt. Somit sind in diesem Anhang B.4 alle für die Berechnung der Wirkung (5.2.45) notwendigenIntegrale ermittelt worden.Im Zusammenhang mit den Berechnungen in Anhang B sei zusätzlich auf [45] verwiesen.Anhang B 142

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellAnhang C.Berechnung der Bag-KonstantenFür die Bagkonstante gilt nach (3.3.4)Verwendet man nun die Berechnung des Integrals D3 in Anhang D, so ergibt sich mit den Bedingungen(2.5.8)die GleichungLCi = 0 und Lmrci = 0LI {( 2 2)2 (2 2) 4 2} 1 J.l2 2 2 2- . t 871"2 t t t t 2 g2 7r 7rB--Ne C'- m· -m In m· -m -m·ln m· ---m +f mt(C.1)Die Gültigkeit der Beziehung (2.5.11)fuhrt auf die Ausdrücke:2;:cd(m~) = f(m 2 ) - f(A 2 ) + (A 2 - m2)~(~:itf(m 2 ) = Ne m41n m871"22mit Hilfe von lim x 2 ln x = 0x-+Of(A2) = _ Ne {(A2 _ m2)21n(A2 _ m2) _ A41n A2}871"2~(~:i = - -~~ {2(A 2 - m 2 ) In(A 2 - m 2 ) + (A 2 - m 2 ) }_ Ne {-2A2In A2 _ A2}871"2(C.1a)(C.1b)(C.1c)So ergibt sich(C.2)Verwendet man weiter die gap-Gleichung (3.1.8) und den Ausdruck (2.5.13) fur 12, so erhält manals Resultat fur die Bag-Konstante (3.3.5)Anhang C 143

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellAnhang D.Berechnung notwendiger Integrale1)(D.1)Mit.tels partieller Intergration und der Beziehungw In(w 2 + c)[oo = w In w 2 [00für c endlich(D.2)erhält man den Ausdruck:1 100w 2 1 100D 1 = - - dw + - dw21T' -00 w 2 + a 2 21T' -00 w 2 + b 2w 21 1 w 1 00 1 1 w 1 00= -- arctan - --- arctan-21T' a a -00 21T' b b -001= 2' (Ial- Ibl)(D.3)mit2)1dw-00 1T' -00 1T'D2 = -2 ln(iw + z) - -2 ln(iw + zo)00 dw 100(D.4)z = a + ibZo = ao + ibo(D.4a)Es gilt:100 dw 100dw { { }l b + w}-00 21T' ln(iw + z) = -00 21T' In (w + b)2 + a 2 2 + i arctan -a-(D.5)Betrachtet man nun diese heiden Anteile getrennt, so folgt100 dw b + w i 1 R +b x-i arctan -- = lim - arctan -dx-00 21T' a R$oo 21T' -R+b a= lim [x arctan:: - ~2 In(a 2 + x 2 R b)] I +R-+oo a -R+b= !..sign(a) . b (D.6)2Anhang D 144

Einführung des w-Mesons in das NJL-Model/RH- -ln 1 { (w + b)2 + a } 1 2 = lim -4 dx In { x 2 + a 2 }-00 27r 2 R-+oo -RH 7r100 dw= lim -x In(x 2 + a 2 ){ 1 \R+b }R-+oo 47r -R+b1 jRH x 2 }lim -- dxR-+oo { 27r -R+b x 2 + a 2 · .(D.7)Der Logarithmusterm verschwindet durch die Diverenz bildung fur sehr große R. Somit gilt:D2 = i..sign(a) . b - J.. {x - a ar~tan::'} I RH -Ca --+ ao; b --+ bo)2 27r a -R+b= ~Sign(a). (a + ib) - (a --+ ao;b --+ bo)= ~ {sign(a)· z - sign(ao) . zo} (D.8)3)Es gilt(D.9)(D.lO)wobei partielle Integration verwendet wurde. Weiter gilt für den zweiten Summanden1 . lX d 4 k k 2 1. {I 4 2 2 4 ( x 2 )}-- 11m -- =--- hm -x -x a +a In 1+-2 x-+oo 0 (27r)4 k 2 + a 2 327r 2 x-+oo 2 a 2 (D.ll)Durch Diverenz bildung und der Entwicklung(D.l2)erlangt man die GleichungAnhang D 145

Einführung des w-Mesons in das NIL-Modell4)(D.14)Es gilt die Gleichheit(D.15)nachdem die Gleichung (D.7) verwendet wurde und der Logarithmusterm aufgrund der Diverenzbildungverschwand. Daraus folgtD 4 = - -1lim{x - Vc . arctan -x } \R+lm (~11" R-oo Vc -R+lm (~(D.16)mitund somit gelangt man zu der Gleichung(D.16a)(D.17)4erg5)Ds = i:~; In (w 2 + iaw + b) - i:~; In (w 2 + iaow + bo)(D.18)f5Anhang D 146

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellmitao = 0b = (t t:;; + m; - m 2b o = (02 + m~ _ m 2Q(D.18a)I(D.19)wobei der imaginäre Anteil verschwindet, da der Integrand eine ungerade Funktion darstellt.Als erstes gilt es nun das Argument des Logarithmus in ein Produkt der Form1[(w 2 + at)(w 2 + a~)] 2(D.20)umzuformen. Es gilt(D.21a)wobei sich unter Verwendung der Identitäten(D.21b)4ba 2 + a 4 = ((; - (t)2 [((; - (t)2 + 4m; - 4m 2 ] > ,04boaZ = 02b + a 2 - 2m~ _ 2m 2 + (+2 + (-2 > 0- I Q Q2bo + aZ = 2«(~2 + mt - m 2 )die Ungleichung Wi,2 < 0 ergibt. Hieraus ergibt sich nun fur die Größen ab a2 die Formel:Unter Berücksichtigung des Integrals D1 und des noch zu subtrahierenden Vakuumanteils giltAnhang D 147

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellund somit ergibt sich für das Integral Ds das Ergebnis+_ m~ _ m2 + _(!+2 + (;1 { 1 _2' 2 Ci Ci2)_((ä' + !;; ) + m· 2 - m 21t-- t+ 12 " Ci Ci2 } t!t + t;:;) + 2 21 - + 12 }tm· - m (; - (;2 I Ci Ci(D.24)oder anders ausgedrückt1Ds =- 2 ( !tt;:;)2 + m~ _ m2 + ~I(;- _ !+I2 ' 2 Ci Ci1+- 2 ( ttt;:;) 2 +m~-m2-~lt--t+12 ' 2 Ci Ci(D.25)Anhang D148

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellAnhang E.BewegungsgleichungSei die Lagrangedichtec = f6 Sp (DJtU+ DJtU)4gegeben. Da die Randbedingung U+ U = 1 gilt, setze ichC' = f1 Sp (DJtU+ Dp.U) - aSp (U+U) ,(E.l)(E.2)wobei ader Lagrange-Parameter ist. Es ergeben sich mit Hilfe der Euler-Lagrange Gleichungendie Gleichheiten(E.3a)(E.3b)und schließlich ergibt sich durch SubtraktionAndererseits gilt(D 2 U+) U - U+ D 2 U = 0 .U+ D 2 U + (D 2 U+) U = -2Dp.U+ Dp.U(E.4)(E.5)Quadriert man nun diese beiden Gleichungen so ergibt sich[U+ (D 2 U) r [( D 2 U+) ur + u+ (D 2 U) (D 2 U+) U + (D 2 U+) (D 2 U) = 4 [Dp.U+ Dp.U] 2(E.6a)(E.6b)purch die Subtraktion dieser Gleichungen fuhrt dies zu(E.7)Auf der anderen Seite kann man zeigen, daß die Identität(E.8)gilt und somit ergibt sich schließlich(E.9)Diese Gleichung ist im Gegensatz zu der zugrunde gelegten Lagrangedichte von vierter Ordnungin Dp.. Es sei noch angemerkt, daß der Lagrange-Multiplikator mittels der Gleichung(E.I0)bestimmt werden kann.Anhang E 149

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellAnhang F.Dirac-GJeichungIn diesem Anhang F werde ich die Dirac-Matrix, welche numerisch diagonalisiert wird, herleiten.Im Rahmen der Durchführung werde ich der Methode von Ripka und Kahana [43] folgen,welche schon für den Fall des NJL-Modells ohne w-Meson in einem Preprint von F.GrÜmmer [61]dargestellt wurde.Es sei schon vorgreifend erwähnt, daß die Notwendigkeit besteht zwei numerische Parameter,nämlich Dbound und xlam, einzuführen. Die Größe Db1und, welche in Kapitel 4 schon vorgreifendeingeführt wurde, beschränkt die Dirac-Gleichung auf einen endlichen Kasten, so daß sich einediskretisierte Basis, in welcher sich die Eigenzustände darstellen, ergibt. Die Größe xlam wirddaraus folgend notwendig, um eine endliche Anzahl von Basiselementen zu erzeugen.In meiner Ausführung beschränke ich mich auf die Vorstellung der Diagonalisierung der Dirac­Matrizen hM + und h o, wobei sich die erhaltenen Ergebnisse leicht durch die Transformation gw -+-gw auf die Dirac-Matrix hM - übertragen lassen.Zu Begin der Ausführung ist es erst einmal günstig, die Dirac-Gleichung zu skalieren. Hierzuist es notwendig, die dimensionslosen, also ebenfalls skalierten Größen,~ .., gf7r~X --+x =-xncI 1(I --+ (I = -(If7r~ -I 1 ~7r --+ 7r = -7rf7r_ _I l_w --+w =-wf7r(F.la)(F.1b)(F.1c)(F.ld)einzuführen, wobei hieraus folgend auch die Eigenzustände r,ot(x) =< x I a+ > transformiertwerden müssen, da ansonsten ihre Normierung nicht mehr Eins beträgt. Es ergibt sichund somit gilt für die skalierte Dirac-Gleichung mit den skalierten Energien (t'(F.le)h W +~ I a+ 1 > = h+ I a+ 1 >gf7r{ä.f; (" ~""") B 9W'I/} I +'= -i- + B.4o (I + zB.4sT· 7r + .40 g'f" a >= (t' I a+ 1 > ,(F.2)Anhang F150

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellwobei ich im weiteren auf den Index I verzichten werde. Verwendet man die Matrizen-Schreibweise,so lautet die Dirac-Gleichung+ + ( u+ a;woh 0' >= ~I -;- er.V·- - l7r . T-+ 9.!4L 9 U - • W -(F.3)und im Vakuumfall - also uv = 1, 11v = 0 und Wj = 0 für i=O,1,2,3 - ergibt sich die vereinfachteDirac-Gleichungho 10'0 >= (~I-;- 0'10Ü'V) ( )-1 0'20'Des weiteren werde ich nun wieder den Hedgehog-Ansatz verwenden, in welchem die Felder u,11 und Wo sphärische Symmetrie aufweisen und die Komponenten w}, W2 und W3 des w-Feldesverschwinden. Dies bedeutet:(F.4)u(r) = u(r)11(r) = 7r(r)~ = 7r(r)rrwo(r) = wo(r)Wj(r) = 0 mit i = 1,2,3(F.5a)(F.5b)(F.5c)(F.5d)Auf diesen Punkt wird im Unterkapitel 7.3.2 noch eimal eingegangen werden.Führt man im weiteren den neuen Operator K mitl{ = - B .40 ( jf. L -) + 1 = - B .40(T'l J - L -2 + 4" 1)(F.6)ein, wobei l für den Gesamt-Drehimpuls und l für den Bahn-Drehimpuls steht, so ist es möglichauch den Term ~ in sphärischen Koordinaten darzustellen. Es giltä·f; -. [8 1 ]-i- = -zB.45u r 8r + ;:(1 + B.4ol{) (F.7)wobei Ur durch Ur = jj. r gegeben ist und somit ergibt sich für den Dirac-Operator der Ausdruckh+ = - iB.45u r [:r + ;: (1 + B.4oI bilden.Anhang F 151

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellUntersucht man den Dirac-Operator im Fall des Vakuums, so stellt man fest, daß die folgendenRelationen aufgrund der Kugelsymmetrie gelten:[ho.J1 = [ho, P] = 0[ho,L] # 0(F.9)(F.10)Hierbei stellt P = B.4oPo den relativistischen Paritätsoperator dar, wobei der nicht relativistischeParitätsoperator Po der BeziehungPo h(i) = h( -i)(F.ll)genügt. Aufgrund der Tatsache, daß der freie Dirac-Operator - also der Dirac-Operator für dasVal-uum - mit dem Gesamt-Drehimpuls J vertauscht, jedoch anderseits nicht mit dem Bahn­Drehimpuls L kommutiert, ergibt sich als sinnvoller Ansatz fur den Eigenzustand die Beziehung= (aal) = (if(r)1 ~jm» .0'02 g(r) Il'Jm >(F.12)Hierbei sind Iljm > die Gesamt-Drehimpuls-Eigenzustände, welche sich mittelsIljm >= L (t ~ j I m' ~ m ) }Im/X!rn/I-'(F.13)1darstellen lassen, wobei }Im bzw. X~ die Eigenzustände des Bahn-Drehimpulses bzw. Spinssind und die Vorfaktoren (l ! j I m' ~ m) die Clebsch-Gordan-Koeffizienten darstellen. Da derEigenzustand I 0'0 > jedoch auch Eigenzustand des Paritätsoperators sein muß, da die Relation[ho, P] = 0 gilt, ergibt sichi f(r) Po Itjm »P < r 10'0> = ( --g(r) Po Iljm >=(if(r)(-l)~I~m» ,-g(r) (_1)1 Iljm >(F.14)wobei die Gleichheit(F.15)verwendet wurde. Hieraus ergibt sich unmittelbar1=1±1und mit der Gleichheit j = 1 ± ! gilt daraus folgend:- { 1 + 1 falls j = 1 + !1 = 2j -I =1 - 1 falls j = 1 - !(F.16)(F.17)Anhang F152

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellMan kann nun weiter zeigen, daß der Operator K ebenfalls die Eigenzustände I 0:0 > besitzt, sodaß giltK I 0:0 >= I\, I 0:0 > (F.18)mit/ falls j = / - 1- { - (/ + 1) falls j = / + ~I\, - 2(F.18a)und somit läßt sich der Eigenzustand I 0:0 > auch durch die Quantenzahlen 1\"7r anstatt der Quantenzahlen j ,1 und m kennzeichnen. Hieraus ergibt sichI- (i f(r)n~m)< r 0:0 >- () 'Ir9 rn_Kmm und der Parität(F.19)und mittels (FA) erhält man zwei gekoppelte Differentialgleichungen für die radialen Funktionenf(r) und ger):(1- f~)f(r) + [:r + ;(1- 1\,)] ger) = 0(1 + f~)g(r) + [:r +;(1 + 1\,)] f(r) = 0(F.20a)(F.20b)Hieraus ergibt sich eine Differentialgleichung zweiter Ordnung für f(r)(F.21)wobei sich durch die Sustitutionen p = kr und k = Jf~ 2 - 1 eine Differentialgleichung für sphärischeBesselfunktionen{p2 :;2 + 2p :p + p2 - 1\,(1\, + I)} f(p) = 0 (F.22)mit f(r) = j/(kr) ergibt. Somit gilt für die Lösung der Eigenzustände im Fall des Vakuums derAusdruck:I (ii/(kr) I/jm > )-sign(lC)l:(~it{kr) I/jm >= -(F.23)N ach der Untersuchung der Dirac-Gleichung für das Vakuum, soll nun die vollständige Dirac­Gleichung (F.2) betrachtet werden. Aufgrund des Auftretens des Term r . f kommutiert dieserOperator nicht mit dem Gesamt-Drehimpuls j und dem Isospin-Operator f; jedoch gilt die Relation(F.24)wobei ä den sogenannten Grandspin-Operator darstellt, welcher definiert ist durch die Identität(F.25)Anhang F 153

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellHieraus ergibt sich unmittelbar, daß man nicht mehr mit den Eigenzuständen des Gesamt-DrehimpulsesI/jm > arbeiten muß, sondern die Eigenzustände des Grandspins I/jG M > betrachten muß, rurwelche die DefinitionI/jGM >= L (j ~ GI m Tz M) I/jm > xtmTz(F.26)1gilt. Hierbei stellt X~z einen Eigenzustand des Isospins dar. Man kann nun zeigen, daß sich rur dieMatrixelemente < l'j'GM I f·; I/jGM > folgendes gilt:< 1'j'GM I f·;l/jGM >=. G 1 . G 1J= -- J = 2+- 2j'=G-~-12., G 1J = +- ( - 2"jf""=.G:'":"':( G""-+--l)212G+ 1(F.27)Für die Basiszustände, welche definiert sind durch einen Spinorindex s=1,2,3,4 , den Impuls k,der Parität (_1)1 und ihren Grandspin ä und dessen Projektion M, kann natürliche Partät d.h.(_1)1 = (_l)G oder natürliche Parität (_1)1 = (_l)G+1 vorliegen. Explizit ergeben sich somitfolgende Basiszustände rur die beiden Fälle:natürliche Parität:" (k ) I/'GM )< r 11kljGM > = Nu lJI r OJ >(< r 12kljGM > = Nd( 0)jl+1(kr) II + lljGM >falls I = G = j - ~2- (" (k ) I/'GM )< r 13kljGM > = Nu lJI r OJ >< r 14kljGM > = Nd( 0)jl_l(kr) 1/- lljGM >falls I = G = j + ~(F.28)unnatürliche Partät:" (k ) 11'GM )< r 11kljGM > = Nu lJI r OJ >(< r 12kljGM > = Nd( 0)jl+l(kr) II + lljGM >falls I = G - 1 = j - ~Anhang F 154

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell.. (k ) 1/' GM)< r 13kljGM > = Nu(lJl r OJ >< r 14kljGM > = Nd( 0)jl_l(kr) I/-lljGM >falls 1 = G + 1 = j + ! 2(F.29)Diese Zustände zeichnen sich unter anderem durch den kontinuierlichen Impuls k, welcherquantisiert werden muß. Um dieses zu ereichen und somit eine diskrete Basis zu erhalten, führtman die RandbedingungjG(knD) = 0(F.30)mit n = 0,1,2"" ein. Hierbei stellt der numerische Parameter D, welche den Namen Dboundträgt, eine Kastenlänge dar, die die Lösung der Dirac-Gleichung auf ein bestimmtes Raumgebietbeschränkt. Sinnvollerweise muß Dbound größer als die Solitongröße R gewählt werden. Betrachtetman z.B. die Besselfunktion nullter Ordnung, so ergeben sich für die Impulse die möglichen Werte11' 211' 311'kn = D' D' D""(F.31)Aus diesem einfachen Beispiel erkennt man, daß die Niveaudichte abhängig von Dbound ist, i.e.je größer Dbound desto dichter liegen die Zustände beieinander. Es sei noch angemerkt, daß dieBedingung (F.30) sichert, daß die diskreten Basiszustände im Bereich 0 < r < Dbound orthogonalsind. Im weiteren läßt sich herleiten, daß für die Normierungskonstanten Nu und Nd die GleichungNu = Nd = {l; IjG±1(knD)I- 1(F.32)erfüllen. Des weiteren gilt nun, daß trotz der Diskretisierung die Anzahl der erhaltenen Basiszuständeunendlich ist, da die Besselfunktionen unendlich viele Nullstellen besitzen. Hieraus ergibtsich, daß ein weiterer numerische Parameter xlam eingeführt werden muß, welcher den Impulsk < x/am(F.33)beschränkt. Somit wird aber auch die zubetrachende Anzahl der Grandspins beschränkt, da dieNullstellen der Besselfunktionen mit ansteigender Ordnung bei immer größeren Impulswerten zufinden sind. Am Ende dieses Unterkapitels werde ich die bei den eingeführten Parameter Dboundund xlam im Fall der Pauli-Villars-Regularisierung so wählen, daß die Ergebnisse - z.B. die Gesamtenergie- nicht erheblich durch die Beschränkung von r, k beeinfiußt werden.Vorerst jedoch soll die zu diagonalisierende Matrix berechnet werden. Hierzu ist es zweckmäßigeine allgemeine Darstellung der Basiszustände einzuführen.ij1(knr) I/jGM »< r 1 u > =< r 1 ukn jlG 7r M >= Nu ( 0< r 1 d > =< r 1 dkm jlG 7r M >= Nd ( .. .../ 0 _. ) ,fJi~kmr) IIJGM >(F.34)Anhang F 155

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellso daß die Berechnug der Matrixelemente< u h+ u >< u h+ d >< d h+ u >< d h+ d > (F.35)mit (F.8) durchgefuhrt werden muß.< u I i l u > = 0< d i l d > = 0< u i l d > = -sign(K)knonm< d I i l I u > = -sign(K)knonm (F.36a)b) i 2 = B.4oO"(r)mit< u I i 2 I u > - O"nm__ T< d I i 2 I d > - O"nm< u I i2 I d >=0_I< d I i 2 I u > = 0 (F.36b)c) i3=iB.457r(r)r.f< u 13 u >=0< d i 3 d > = 0< u 13 d > =< ZjGM Ir. fl Ij'GM > ·7r~m< d i 3 u > =< Ij'GM Ir. f IZjGM > ·7r~m (F.36c)Anhang F 156

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellmit (F.27) und< u I i 4 I< d i 4 dgw Iu > = -WOnm9gw T> = -wOnm9< u i 4 d > = 0< d i 3 u > =0 (F.36d)mitHieraus ergibt sich mittels (F.28) und (F.29) die Matrix(F.37)wobei jedes Matrixelement Hij wieder eine N x N-Matrix - N stellt die Anzahl der k n -Werte dar -darstellt. Es sei noch angemerkt, daß für G = 0 nur j = G + ! = ! gelten kann, so daß in diesemFall die Basiszustände mit dem Spinindex s=1,2 nicht existieren und sich eine 2N x 2N -Matrixergibt.Nun seien die Ergebnisse der Matrizen Hij zusammengestellt:natürliche ParitätG gw GH11 = 0' nm + -wOnm9G+1Hgw G+122 = -0' nm + -W Onm9G gw GH 33 = O'nm + -wOnm9HG-l gw G-l44 = -0' nm + -W Onm9H - H - k C + 1 .... G,G+l12 - 21 - nOllm 2G + 1 "nm (F.38)Anhang F157

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellSee.Valenz.xlam=5800r-----------------------------------~» -------------------------------------------------------~4> 7004>'Öl~4>CW 600~4 6R=O.82fm, ,8 10,12 14Dbound(skaliertAbb. ~4:DboundDie Energie des Diracsees ES ee und die Valenzenergie EVAI in Abhängigkeit vonH13 = H31 = 0H14 = H.n = - 2G 2 + 1 ..JG(G + 1)T.~,f-1H23 = H32 = - 2G 2 + 1 ..JG(G + 1)T.~,;t1,GH24 = H42 = 0H - H - k ~ 1 ""G,G-134 - 43 - - nOnm - 2G + 1 "nmunnatürliche ParitätHHG-1 glll G-19G glll Gg11 = er nm + -w Onm22 = -er nm + -wOnmH - er G + 1 + glllw G +133 - nm 9 OnmHGglll G4 .. = -er nm + -wOnm9Anhang F158

Einführung des w-Me3ontl in du N1L-ModellSee.Valenz.......>Q)-~Dbound=101000~""'-----------------------------------800\\\\\\\,\\\\" ...-----------------..-..--------------,---------1Q) R=O.82fmQ)'5 600Gicw400~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2 4 6 8 10 12xlam(skaliert)Abb. 25: Die Energie de3 Diraaees Es" und die Valenzenergie EVAl in Abhängigkeit von:14m---L- .... G-l.GH H -I: ~12 - 11- "U"m - 2G+ 1"ftmH13 =H31 =0H14 = H41 = -2G~ IVG{G + l)r~~l.G(F.39)H13 = H32 = - 2 VG{G + 1)r G • G +12G+ 1 ftmH'24 = H42 = 0H ... - H .... - -I: 6+ ---L-r G+l.G.... - -. - ""m 2G+ 1 ftmNach der Herleitung der Matrixelemellte und der damit verbundenen numerischen Diagonalisierung,gilt es nun noch die numerischen Parameter xlam und Dbound festzulegen. Als Hilfestellungverwende ich hierzu das Nambu lona.-Lasinio-ModeU ohne w-Meson. Es sei angemerkt, daßsich gleiche Ergenisse auch mittels des erweiterten NJL-Modells ergeben.In Abb • 24 habe ich die Energie des Diracsees und die Valenzenergie nach (4.1.15) und(4.2.15) bei variierendem Obound aurge~ragen. Hierbei verwendete ich das lineare Profil bei einemSolitonradius, welcher in dem Bereich des Energieminimums lag. Xlam gab ich willkürlich denWert 5 und hielt es konstoutt. Aus der sich ergebenden Kurve erkennt man, daß sich für beideAMang F 159

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellEnergiekurven ein Plateau ergibt, so daß die Energiewerte rur Dbound > 9 nahezu konstant bleiben.Ich entschied mich daher zu der Festlegung Dbound = 10. Es verbleibt somit noch die Untersuchungder Variation von xlam, wobei die Ergebnisse in Abb . 25 zu finden sind. Hierbei ließ ich den Wertrur Dbound = 10 fest und gab mir wiederum das lineare Profil vor. Wiederum ergeben sich zweiPlateaux, welche die Festlegung von xlam = 8 rechtfertigen. Somit habe ich gewährleistet, daßtrotz der Einführung der beiden numerischen Parameter xlam und Dbound die sich ergebendenErgebnisse von ihnen nicht beeinflußt werden. Es sei nochmals darauf hingewiesen, daß es natürlicherstrbenswert ist, die numerischen Parameter möglichst klein zu wählen, da sie maßgeblich dennumerischen Aufwand bestimmen d.h. bei ihrer Erhöhung wird die zu diagonalisierende Matrixvergrößert.Nach dieser Untersuchung ist es nun möglich die Energieeigenwerte und die Eigenzuständenumerisch zu bestimmen. Im Unterkapitel 7.3 stelle ich die sich ergebenden Spektren vor.Anhang F 160

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