Einführung des Omega - Mesons in das N ambu-J ona-Lasinio Modell

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellBei der Herleitung wurde nach Ausführung der Ableitungen der Integrand der k-Integration durchden Term f-gf7r U erweitert. Führt man anschließend Sp"! aus, so ergeben sich Terme zu Null undmit nachfolgender Anwendung der Regularisierung ergibt sich (3.1.6) , Die zweite Gleichung desSystems fUhrt zu dem Pionvakuumerwartungswert ;rv = 0, da ansonsten aus der ersten Gleichungdie Beziehung m;f7r = 0 folgt. Als Ergebnis des Systems ergeben sich somit prinzipiell im chiralenLimes ( m 7r = 0 ) zwei Lösungen:1) ;rv = 0 0'V = 02) ;rv = 0 (3.1.7)Die erste Alternative wird Wigner-Mode genannt d.h. die Symmetrieeigenschaften der Lagrangedichtegelten auch für das Vakuum. Im zweiten Fall ist die ~ymmetrie spontan gebrochen undman spricht von der sogenannten Nambu-Goldstone-Phase. Die vorher masselosen Quarks erhalteneine dynamische Masse, die Konstituentenmasse m = go'V. Entscheidet man sich für die zweiteLösungsmöglichkeit, folgt hieraus die Schwinger-Dyson-Gleichung bzw. gap-Gleichung(3.1.8)Der Name ergibt sich aus der Entstehung einer Energielücke (gap) zwischen dem oberen und unterenEnergiespektrum der Einteilchenquarkzustände. Die Rechtfertigung für die Wahl der Phasewird sich in Zusammenhang mit der Berechnung der Bag-Konstante am Ende dieses Kapitelsergeben.3.1.2. MassenidentifizierungN ach Ausnutzung der stationären Phasenbedingungen erfolgt nun die Festlegung des Wertesvon 0'V über die Krümmung des effektiven Potentials am Minimum, welche der Pion- bzwSigmamasse entspricht. Es gilt also2 [PVeff 2 2m 7r = o;r2 IVakuum = -8Ncg h(go'V,A) + J.l (3.1.9)und daraus folgend mit (3.1.8)Der Vollständigkeit halber sei an dieser Stelle noch die Sigmamasse angegeben:(3.1.10)2 o2Vef f 2 2 ')m cr = ou 2 IVakuum = 16Ncg m Il(m,A) + m; (3.1.11)wobei m = gf7r ist.Das Vakuum 19