Einführung des Omega - Mesons in das N ambu-J ona-Lasinio Modell

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Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell5. Die Gradienten-EntwicklungIn diesem fünften Unterkapitel soll das Nambu-Jona-Lasinio Modell ohne Vektormesonen beiAnwesenheit von äußeren Quellen nach seinen Gradienten entwickelt werden. Hierbei wird vorerstder chiralbrechende Term und die skalare bzw. pseudoskalare äußere Quelle vernächlässigt, um dieentstehende Rechnung zu vereinfachen. Es sei jedoch angemerkt, daß die Miteinbeziehung dieserTerme die Rechnung wohl kompliziert, jedoch ihren prinzipiellen Verlauf nicht ändert. In diesemZusammenhang sei auf das Preprint [34] verwiesen, in welchem die Untersuchung des folgendenfünften Kapitels auf das vollständige erzeugende Funktional des NJL-Modells angewandt wird. Desweiteren wird in [35] das NJL-Modell mit Vektormesonen im gleichen Kontext untersucht.Bevor im Unterkapitel5.2 die effektive Wirkung mittels der Methode von Lai-Hirn Chan nachseinen Gradienten entwickelt wird und anschließend bis zur zweiten Ordnung mit dem Gell-MannLevi Sigmamodells [10] verglichen wird, stelle ich im Kapitel 5.1 die Methode von Lai-Hirn Chanangewandt auf eine allgemein vorgegebene Wirkung vor. Inhalt des Unterkapitels 5.3 soll unteranderem eine kurze Erläuterung der chiralen Störungstheorie sein, welche als eine Entwicklungder QCD im Bereich kleiner Energien gilt [38] [39]. Es ergibt sich eine effektive Theorie, dienur Pseudoskalare enthält und in Ordnungen des externen Impulses p2 des Pseudoskalares undder Quarkstrommasse mo erscheint. In der vierten Ordnung, also 0 (p4, p2 mo , mo ) ergebensich zehn dimensionslose Parameter, welche mit dem Experiment in Verbindung gebracht werdenkönnen und von Gasser und Leutwyler bestimmt wurden [38] ; sie tragen daher den Namen GasserLeutwyler-Koeffizienten. Nach der Vorstellung dieser Koeffizienten soll anschließend im Kapitel 5.3ein Vergleich des gradientenentwickelten NJL-Modells mit dem effektiven chiral störungsentwickeltenQCD-Modell folgen. Daraus folgend werde ich unmittelbar die Gasser-Leutwyler-Koeffizientenim Fall des NJL-Modells herleiten und ihre Werte mit dem Experiment vergleichen.Die Gradienten-Entwicklung 55
Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell5.1. Die Methode von Lai-Hirn ChanIn diesem Unterkapitel 5.1 soll die Gradientenentwicklung ( derivative expansion) mittelsder Methode von Lai-Hirn Chan vorgestellt werden [52] . Hierzu gebe ich mir erst einmal eineallgemeine Wirkung(5.1.1)vor, wobei U nur ortsabhängig ist. Im folgenden soll diese nun bis zur vierten Ordnung in DIientwickeltwerden.Anders ausgedrückt läßt sich die Wirkung (5.1.1) auch durch die Gleichung(5.1.2)darstellen, wobei d üblicherweise 4 beträgt. Führt man nun den unitären Operator [46]p = e-ikjJxjJpt = e+ikjJxjJ(5.1.3)mit dem Ortsoperator xli- - welcher nach den GleichungenPPli- pt = Pli- + kliPXli- pt = xli-(5.1.4)eine Impulstranslation erzeugt - ein, so ergibt sich aus (5.1.2) durch das Einfügen von zwei Einsender Ausdrucks = -~SP"Y7'C J ddx < x I e-ikjJxjJeikjJxjJ In(-D 2 + U) e-ikjJxjJeikjJxjJ I x >= -~SP"Y7'C J dd;re-ikjJxjJ < x I eikjJxjJ In( _D 2 + U) e-ikjJxjJ I x > eikjJxjJ= -~SP"Y7'C J dd x < x Iln (-(DIi- - ikli-)2 + U) I x> , (5.1.5)wobei zum einen die Impulsunabhängigkeit von U und zum anderen die Eigenwert-Gleichungverwendet wurde. Mittels der Definition(5.1.6)(5.1. 7)erhält man für (5.1.5) den AusdruckS = -~SP"Y7'C J dd x < x Iln (ß- 1 + 2ikIJDIi- - D 2 ) I x > . (5.1.8)Die Gradienten-Entwicklung 56
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