Einführung des Omega - Mesons in das N ambu-J ona-Lasinio Modell

Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellUntersucht man den Dirac-Operator im Fall des Vakuums, so stellt man fest, daß die folgendenRelationen aufgrund der Kugelsymmetrie gelten:[ho.J1 = [ho, P] = 0[ho,L] # 0(F.9)(F.10)Hierbei stellt P = B.4oPo den relativistischen Paritätsoperator dar, wobei der nicht relativistischeParitätsoperator Po der BeziehungPo h(i) = h( -i)(F.ll)genügt. Aufgrund der Tatsache, daß der freie Dirac-Operator - also der Dirac-Operator für dasVal-uum - mit dem Gesamt-Drehimpuls J vertauscht, jedoch anderseits nicht mit dem Bahn­Drehimpuls L kommutiert, ergibt sich als sinnvoller Ansatz fur den Eigenzustand die Beziehung= (aal) = (if(r)1 ~jm» .0'02 g(r) Il'Jm >(F.12)Hierbei sind Iljm > die Gesamt-Drehimpuls-Eigenzustände, welche sich mittelsIljm >= L (t ~ j I m' ~ m ) }Im/X!rn/I-'(F.13)1darstellen lassen, wobei }Im bzw. X~ die Eigenzustände des Bahn-Drehimpulses bzw. Spinssind und die Vorfaktoren (l ! j I m' ~ m) die Clebsch-Gordan-Koeffizienten darstellen. Da derEigenzustand I 0'0 > jedoch auch Eigenzustand des Paritätsoperators sein muß, da die Relation[ho, P] = 0 gilt, ergibt sichi f(r) Po Itjm »P < r 10'0> = ( --g(r) Po Iljm >=(if(r)(-l)~I~m» ,-g(r) (_1)1 Iljm >(F.14)wobei die Gleichheit(F.15)verwendet wurde. Hieraus ergibt sich unmittelbar1=1±1und mit der Gleichheit j = 1 ± ! gilt daraus folgend:- { 1 + 1 falls j = 1 + !1 = 2j -I =1 - 1 falls j = 1 - !(F.16)(F.17)Anhang F152