Einführung des Omega - Mesons in das N ambu-J ona-Lasinio Modell

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Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell1) Die Eichinvarianz der Lagrangedichte sollte trotz Regularisierung erhalten bleiben.2) Die Gleichung ln(a . b) = ln(a) + ln(b) sollte ihre Richtigkeit auch nach Einführung derRegularisierung behalten d.h. ln(a . b) Ireg= lna Ireg +lnb Ireg.Die erste Bedingung ergibt sich aus der Tatsache, daß das w-Meson im Falle verschwindenderMasse die Rolle eines Eichfeldes spielt. Das Logarithmusgesetz wird bei der Bestimmung der Wirkungim sechsten bzw. siebten Kapitel benötigt. Zur unmittelbaren Verfügung stehen die Eigenzeit[24] , 0(3) [55] ,0(4) [54] und die Pauli -Villars -Regularisierung [14] . Untersucht man diese, soerkennt man, daß nur Letzere beide Eigenschaften besitzt. Die Eigenzeit-Regularisierung ist trotzdemnoch für mein Problem eine ernstzunehmende Methode, da sie wenigstens eine, nämlich diewichtigere erste Bedingung, erfüllt. In Kapitel 3 werde ich jedoch zeigen, daß sie im Gegensatz zurPauli-Villars-Regularisierung sehr schlechte Werte für die Vakuumobservablen hervorbringt undsomit ihre Anwendung nicht geeignet ist.N ach diesen Vorüberlegungen gilt es nun, die Pauli-Villars-Regularisierung vorzustellen. Erstmalsverwendet und veröffentlicht wurde sie im Jahre 1949 von ihren Namensgebern W.Pauliund F.Villars [14] . Das Prinzip der Pauli-Villars-Regularisierung besteht darin, die divergentenIntegrale In(m) zu regularisieren, indem man von diesen eine Linearkombination von Integralenderselben Art, aber mit einem Cutoff bzw einer Regulatormasse mj subtrahiert. Das heißt, manmacht folgenden Ubergang:(2.5.2)wobeiCo = 1mo=mgewählt wird*. Aufgrund der Summenbildung verschwinden die Divergenzen bei geeigneter Wahlder Ci 's, wie man an dem folgenden Beispiel, in welchem ich die Diverenz zweier logarithmischdivergenter Integrale h bestimme, erkennt.Bezüglich der Rechnung sei noch einmal auf Anhang B.I verwiesen.Als Realteil der Fermionendeterminante ergibt sich somit der Ausdruck:(2.5.3)(2.5.4)*Dieser Übergang gilt auch für die konvergenten Integrale.Das Nambu-Jona-Lasinio Modell 13
Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellMan könnte an dieser Stelle auf die Idee kommen, auch im Zähler des Logarithmusargumentes denMassenterm durch eine Regulatormasse mi zu ersetzen. Rechnungen von E.Ruiz Arriola habenjedoch ergeben, daß fur diesen Fall die im nächsten Kapitel behandelte Bag-Konstante, welcheeinen positiven Wert haben muß, negativ ist und somit diese Art der Regularisierung zu keinemsinnvollen Resultat fUhrt. Des weiteren werde ich im Rahmen des sechsten Kapitels zeigen, daß dieregularisierte Wirkung (2.5.4) die Anwendung der im Anfang dieses Unterkapitels erwähnten HeatKernel-Entwicklung erlaubt. Wendet man die Heat-Kernel-Entwicklung auf (2.5.4) an, so erhältman eine Summe, wobei jeder Summand proportional einem regularisiertem Feynman-Integral ist,welches die im folgenden hergeleitete Gestalt besitzt.Es erfolgt nun die Bestimmung der Pauli-Villars-regularisierten Feynman-Integrale.In diesemZusammenhang ist es günstig, die Integrale 1 n (m) in eine andere Form zu bringen. Hierfür gibtes unterschiedliche Möglichkeiten, indem man sich andere Regularisierungen zunutze macht. ImAnhang B.2 wird die Herleitung für die regularisierten Integrale der 0(4), 0(3) und ProperTime-Regularisierung zusammengefaßt dargestellt. Diese Ergebnisse werden nun im unendlichenCutoff-Limes betrachtet und Pauli-Villars- regularisiert. Aus diesen drei Rechnungen ergeben sichnatürlich die gleichen Ergebnisse, der Vollständigkeit halber werde ich sie jedoch alle aufführen.Der Übersicht wegen befinden sich die Berechnungen, welche auf der 0(3) bzw Proper-TimeRegularisierung aufbauen, im Anhang B.3.Im Falle der O( 4)-Regularisierung gilt fUr die regularisierten Feynman-Integrale:(2.5.5a)(2.5.5b)Wendet man nun Gleichung (2.5.2), also die Pauli-Villars-Regularisierung an, so erhält man:I, ~ zt" I,(m"A) ~ zt I~' {In (I + !;) -A' ~'m; }1, ~ zt" l,(m"A) ~ zt I~' {A' -m;l+
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