Einführung des Omega - Mesons in das N ambu-J ona-Lasinio Modell

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Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell.. (k ) 1/' GM)< r 13kljGM > = Nu(lJl r OJ >< r 14kljGM > = Nd( 0)jl_l(kr) I/-lljGM >falls 1 = G + 1 = j + ! 2(F.29)Diese Zustände zeichnen sich unter anderem durch den kontinuierlichen Impuls k, welcherquantisiert werden muß. Um dieses zu ereichen und somit eine diskrete Basis zu erhalten, führtman die RandbedingungjG(knD) = 0(F.30)mit n = 0,1,2"" ein. Hierbei stellt der numerische Parameter D, welche den Namen Dboundträgt, eine Kastenlänge dar, die die Lösung der Dirac-Gleichung auf ein bestimmtes Raumgebietbeschränkt. Sinnvollerweise muß Dbound größer als die Solitongröße R gewählt werden. Betrachtetman z.B. die Besselfunktion nullter Ordnung, so ergeben sich für die Impulse die möglichen Werte11' 211' 311'kn = D' D' D""(F.31)Aus diesem einfachen Beispiel erkennt man, daß die Niveaudichte abhängig von Dbound ist, i.e.je größer Dbound desto dichter liegen die Zustände beieinander. Es sei noch angemerkt, daß dieBedingung (F.30) sichert, daß die diskreten Basiszustände im Bereich 0 < r < Dbound orthogonalsind. Im weiteren läßt sich herleiten, daß für die Normierungskonstanten Nu und Nd die GleichungNu = Nd = {l; IjG±1(knD)I- 1(F.32)erfüllen. Des weiteren gilt nun, daß trotz der Diskretisierung die Anzahl der erhaltenen Basiszuständeunendlich ist, da die Besselfunktionen unendlich viele Nullstellen besitzen. Hieraus ergibtsich, daß ein weiterer numerische Parameter xlam eingeführt werden muß, welcher den Impulsk < x/am(F.33)beschränkt. Somit wird aber auch die zubetrachende Anzahl der Grandspins beschränkt, da dieNullstellen der Besselfunktionen mit ansteigender Ordnung bei immer größeren Impulswerten zufinden sind. Am Ende dieses Unterkapitels werde ich die bei den eingeführten Parameter Dboundund xlam im Fall der Pauli-Villars-Regularisierung so wählen, daß die Ergebnisse - z.B. die Gesamtenergie- nicht erheblich durch die Beschränkung von r, k beeinfiußt werden.Vorerst jedoch soll die zu diagonalisierende Matrix berechnet werden. Hierzu ist es zweckmäßigeine allgemeine Darstellung der Basiszustände einzuführen.ij1(knr) I/jGM »< r 1 u > =< r 1 ukn jlG 7r M >= Nu ( 0< r 1 d > =< r 1 dkm jlG 7r M >= Nd ( .. .../ 0 _. ) ,fJi~kmr) IIJGM >(F.34)Anhang F 155
Einführung des w-Mesons in das NJL-Modellso daß die Berechnug der Matrixelemente< d h+ u >< d h+ d > (F.35)mit (F.8) durchgefuhrt werden muß. = 0< d i l d > = 0 = -sign(K)knonm< d I i l I u > = -sign(K)knonm (F.36a)b) i 2 = B.4oO"(r)mit - O"nm__ T< d I i 2 I d > - O"nm=0_I< d I i 2 I u > = 0 (F.36b)c) i3=iB.457r(r)r.f=0< d i 3 d > = 0 =< ZjGM Ir. fl Ij'GM > ·7r~m< d i 3 u > =< Ij'GM Ir. f IZjGM > ·7r~m (F.36c)Anhang F 156
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