Einführung des Omega - Mesons in das N ambu-J ona-Lasinio Modell

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Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellAn dieser Stelle möchte ich nun wieder eine Fallunterscheidung betrachten. Wie schon imKapitel 4 erwähnt ist es nicht abwägig bei der Wickrotation auch das chemische Potential /JB zutransformieren. Dieser Ansatz ergibt sich unmittelbar aus der Gleichung (7.3.12), woraus deutlichwird, daß das chemische Potential wie die nullte Komponente des w-Feldes also eines Vektorfeldes,ankoppelt und somit gleiche Transformationseigenschaften haben könnte. Somit ergeben sich nachder Wickrotation in den euklidischen Raum zwei mögliche Ausdrücke für den Valenz anteil derWirkung.1. Fall: das chemische Potential wird wickrotiertS wl R swl + . I swlval = e val 2. m val(7.3.16)mitRe S~~l = - ~ { Sp In (:T + h W + i/J~ ) + Sp In (:T + h W * - i/J~ ) }+ ~ {sp In (:T + h W ) + Sp In (:T W*) + h } (7.3.16a)Im S~~l = - ~i {sp In (:T + h W + i/J'1) - Sp In (:T + h W * - i/J'1 ) }+ ;i {Sp In (:T + h W ) - Sp In (:T + h W*)} , (7.3.16b)wobei die Wickrotation des chemischen Potentials der folgenden Transformation fogt:I •/JB --+ /JB = -Z/JBmit4 . I/JB = z/JB(7.3.17)2. Fall: das chemische Potential wird nicht wickrotiertS w2 R sw2 + . I sw2val = e val Z m val(7.3.18)mitRe S~;l = - ~ {Sp In (:T + h W - /JB) + Sp In (:T + h W * + /JB) }+ ~ {sp In (:T + h W ) + Sp In (:T + h W*) }Im S~;l = - ;i {sp In (:T + h W - /JB) - Sp In (:T + h W * + /JB) }+ ~i {sp In (:T + h W ) - Sp In (:T + h W*)} .(7.3.18a)(7.3.18b)Das Soliton mit Omega-Meson111
Einführung des w-Mesons in das NJL-ModellIch betrachte nun ersteinmal beide Fälle im Grenzfall 9w = 0, also ohne Ankopplung desw-Feldes und hieraus ergeben sich nach Ausführung der Spur über c, " T, x die Ausdrücke:1. Fall:Re s~;/ = - ~NcT I: ~; I: {ln( -iw + (a + ifJ~) + ln(iw + (a -+ ~NcT 100Im S;:;./ = - 21.NcT 100adw I: {ln(-iw + (a) + ln(iw + (a)}-00 211" al -00 211"aifJ~)}dw I: {ln( -iw + (a + ifJ~) -ln(iw + (a - ifJt)}(7.3.19a)+ ~NcT1OO dw I: {ln(-iw + (a) -ln(iw + (a)} (7.3.19b)2t -00 211"a2. Fall:wie sich mittels Kapitel 4 ergab.s;:;/ = -~NcT I: {Ifa - fJBI-I(al} , (7.3.20)aNachdem der 2.Fall der Untersuchung von Kapitel 4.2 entsprach, gilt es nun nur noch denersten Fall zu betrachten. Aber auch die Berechnung des ersten Falles ist eigentlich indirekt schondurchgeführt worden. Entsinnt man sich an Kapitel 7.2, in welchem die Energie des Diracseesbestimmt wurde, so entspricht die Berehnung für diesen Fall der Bestimmung der See-Energie fürein konstantes wo-Feld ( Wo = - fJ B = konst. ) ,wobei jedoch keine Regularisierung eingeführt wird.Mittels des ersten Rechenweges (7.2.16) - welcher sich im Kapitel 7.2 als richtig erwies - ergibt sichim Minkowski-Raum das Ergebniss:!/ = ~NcTLfJB sign( (a ) ,a(7.3.21)wobei die Beziehungenverwendet wurden.regularisiert worden ist.(t = (a - fJB
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