Einführung des Omega - Mesons in das N ambu-J ona-Lasinio Modell

Einführung des w-Mesons in das NJL-Modelldar. Bisher haben wir nur den Fall Nj = 2 betrachtet, welcher zu dem Lagrangian (2.1.1) fUhrte.Im folgenden werden nun die Rechnungen für den verallgemeinerten Fall - N j beliebig - durchgeführt,wobei immer wieder explizit auf die Spezialfälle Nj =2 und 3 eingegangen wird. Imweiteren werde ich zur Vereinfachung der Rechnung den symmetriebrechenden Term vernachlässigen.d.h. ich setze mo = O. Des weiteren werde ich - ebenfalls zur Vereinfachung - dieäußere skalare und pseudoskalare Quelle ersteinmal Null setzen. Nachdem nun in Analogiezu Kapitel 2 dieser Ausdruck bosonisiert, wickrotiert und anschließend eine O-Boson-Loopbzw. 1-Fermion-Loop-Approximation durchgeführt werde, ergibt sich für die effektive Wirkungdie Gleichung2Sejj [U ,5 ,p ,Vp. ,all] = -Sp In (iD) + :GSp (otO)= S~fJ [u ,5 ,p ,Vp. ,all] +S;jj [u ,5 ,p ,Vp. ,ap.] ,(5.2.5)wobei iD gegeben ist durchiD = -i'YlI + M(5.2.6)mit1I1L = op. + i (Vp. + 'Ysap.)M = mO = S + i')'sP .(5.2.6a)(5.2.6b)Der letzte Term der effektiven Wirkung S;j j ist aufgrund der Identität (2.4.2) fur Nj = 2 äquivalentdem schon bekannten Term(5.2.7)Im folgenden soll nun der Realteil der Fermionendeterminante, also der Realteil vonS;j j' entwickelt werden. Nach der Formel (2.4.13) errechnet sich der Realteil aus der Gleichung(5.2.8)Anderseits muß dies äquivalent sein zu dem Ausdruck1 1 {lt I} 1 (t)Re Sejj = '2 Sejj + Sejj = -'2Sp In D D (5.2.9)und somit ergibt sich durch eine naheliegende Mittelung die Gleichheit(5.2.10)für den Realteil der effektiven Wirkung. Führt man nun die Argumente der Logarithmen aus, soergibt sichDDt = (-i')' . lI)(iII . 'Y + Mt)= 'Yp.'YlIllp.fill - i'Y' (lIMt - Mtfi) + M Mt-2 1 - 1 - t t= -ll - '2up.IIFp.1I + -Ti' DM + M M (5.2.11)Die Gradienten-Entwicklung 62