Einführung des Omega - Mesons in das N ambu-J ona-Lasinio Modell

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Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell4. Das SolitonN ach der Bestimmung des Vakuum-Sektors erfolgt nun die Untersuchung des solitonischenSektors. Unter Solitonen versteht man die Lösungen von nicht linearen Wellengleichungen, die indiesem Modell durch die Bewegungsgleichungen - welche die Mesonen und Quarkfelder verbinden- repräsentiert werden. Das sich hieraus ergebende Soliton wird dann als Baryon interpretiert [8] .In diesem vierten Kapitel werde ich, ausgehend von der effektiven Wirkung des Nambu-JonaLasinio Modells, die Berechnung der Gesamtenergie des Solitons behandeln. Der Unterschied zufrüheren Arbeiten - z.B. [65] [54] [55] - liegt in der Wahl der notwendigen Regularisierung, alsoder Verwendung der Pauli-Villars-Methode. Anschließend gilt es das Soliton so zu wählen, daßdie Gesamtenergie minimiert wird. Dies erfolgt numerisch über eine Selbstkonsistenz-Prozedur,welche im Unterkapitel 4.4 vorgestellt wird. Um ein Gefühl für die Abhängigkeit der Energie vonder Größe des Solitons zu erhalten, erfolgt zuvor im Unterkapitel 4.3 die Parametrisierung der mesonischenFelder mit Hilfe einer fest vorgegebenen Profilfunktion (chiraler Winkel). Hiernach sinddie Mesonenfelder nur noch von einem Parameter, der die Solitongröße darstellt, abhängig undes ist möglich die Energie als Funktion der Solitongröße aufzuzeigen. Das sich hieraus ergebendeResultat kann sowohl Hinweise auf eventuell auftretende Schwierigkeiten geben, als auch auf dieExistenz von selbstkonsistenten Lösungen hinweisen. Abschließend sei angemerkt, daß im Zusammenhangmit der Bestimmung der Gesamtenergie auch der Valenzbeitrag hergeleitet wird. Dieserfolgt in dem Unterkapitel4.2 nach der Methode von R.T.Cahill und A.G.Williams [30] durch dieEinführung eines Lagrange'schen Parameters, der den Namen chemisches Potential trägt.Als Ergebnis des vierten Kapitels werde ich neben der sich ergebenden Gesamtenergie weitereObservablen, wie quadratischen Radius< r 2 >, axiale Kopplungskonstante GA und denSigma-Kommutator 2: mit Hilfe der selbstkonsistenten Mesonenfelder bestimmen und mit experimentellenDaten vergleichen. Hieraus ergibt sich, wie im Vakuum-Sektor, sowohl eine Wertungder Pauli-Villars-Methode als auch des verwendeten NJL-Modells.Das Soliton 29
Einführung des w-Mesons in das NJL-Modell4.1. Energie des DiracseesEs erfolgt nun die Bestimmung der Energie mittels der effektiven Wirkung (2.4.12) , wobeider Valenzbeitrag und der Mesonenteil noch nicht betrachtet werden, und sich somit als Ergebnisdie Energie des Diracsees, kurz Seeanteil, ergibt.Der regularisierte fermionische Anteil ist in Unterkapitel 2.5 durchR S _!"" 'S I {I igf7ffJU + g2{;(UUt - I)}e I - 2 ~ CI P n + lOl2 2i-u + mi(2.5.4)gegeben. Führt man nun die Dirac-Hamiltonians hund ho mitä·~h = -.- + gfrr/oUlä·~ho = -.- + gf7f/ol(4.1.1a)(4.1.1b)ein, so ergibt sich mittels der Gleichung(4.1.2)und der Beschränkung auf den chiralen Zirkel fur die WirkungRe SI = -~ ~CiSP In { (:r + h) (- :r + h) + mr -m 2 }I+ ~ ~ Ci Sp In { (:r + hO) (-:r + hO) + mt -m 2 } ,I(4.1.3)wobei /r die Ableitung nach der euklidischen Zeit darstellt und gleichbedeutend dem AusdruckRe Si = -~ ~c;SP In {- (:,), +h' + mi-rn'}+2 1"" ~CiSP In{(- or 0 )2 + ho 2 + mi2- m2}(4.1.4)ist. Bei der letzten Umformung wurde die Beschränkung, daß die Mesonenfelder zeitunabhängigsind, benutzt. Wendet man sich nun der Spur zu, so weiß man, daß folgendes gilt:Sp A = NcSPr"'( J d 3 x Jdr < x 1 A 1 x > mit 1 x >=1 x >I r> ( 4.1.5)Um die Spur über die Zeitkomponente auszuführen, muß man ein vollständiges System von Eigenfunktionen1 Wn > des Operators /r einfugen. Es gilt(4.1.6)Das Soliton 30
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