Mathematische Grundlagen der Kryptographie

18 3. Mathematische HilfsmittelFalls r + s nicht zwischen 0 und n liegt, muss n subtrahiert werden. dieWahl von k und l spielt offensichtlich keine Rolle. Analog gilt für dieMultiplikation(r + kn)(s + ln) = rs + (rl + ks + kln)n,unabhängig von der Wahl von k und l wird das Produkt immer in dergleichen Klasse sein. Falls rs nicht zwischen 0 und n liegt, muss zunächstder Rest bei Division durch n ermittelt werden.Diese Konstruktion der Restklassen in Z funktioniert in jedem Ring.Die Division mit Rest ist dabei nicht unbedingt wohldefiniert (es gibt jain R im allgemeinen weder eine Division noch einen sinnvollen Teilbarkeitsbegriff),daher muss die Definition leicht modifiziert werden.Definition 3.2 (Ideal). Ein Ideal I ist eine Teilmenge von R mitfolgenden Eigenschaften:I1) I ist additiv abgeschlossen: a + b ∈ I ∀a, b ∈ I.I2) 0 ∈ II3) Die additiven Inversen aller Elemente von I sind ebenfalls in I:(−a) ∈ I ∀a ∈ I.I4) Die Multiplikation mit einem Element von R führt nicht aus Iheraus: aI ⊂ I ∀a ∈ R.Die ersten drei Forderungen besagen, dass I eine Untergruppe von R(betrachtet als abelsche Gruppe) ist. In I4 ist wichtig, dass die Aussagefür alle Elemente a von R gilt, nicht nur für jene von I. Eine multiplikativabgeschlossene Teilmenge ist also noch kein Ideal, oder nur eine Teilmengevon R, die auch ein Ring ist (ein Teilring) ist nicht notwendigerweiseein Ideal.Die oben betrachtete Menge nZ ist ein Ideal in Z. Sie enthält alleVielfachen von n. Sie ist additiv abgeschlossen (Summen von Elementenin nZ bleiben in der Menge), denn die Summe zweier Vielfacher n istebenfalls ein Vielfaches von n. Multipliziert man ein Vielfaches von nmit irgend einer Zahl, bleibt es natürlich ein Vielfaches von n.Satz 3.3 (Restklassen bezüglich eines Ideals). Sei I ⊂ R einIdeal in einem kommutativen Ring R. Die Menge der Restklassen{a + I|a ∈ R}