Mathematische Grundlagen der Kryptographie

32 3. Mathematische Hilfsmittel3.4.4. Praktische Durchführung. Verfolgt man die Ereignisse beider Durchführung des euklidischen Algorithmus im vorangehenden Abschnitt,kann man s und t auch durch laufende Verwertung der anfallendenQuotienten und Reste ermitteln. Eine elegante Beschreibung davonfindet man in [1], wir reproduzieren sie ohne Beweis.Algorithmus 3.16 (grösster gemeinsamer Teiler). Gegeben sindzwei Elemente u, v ∈ R, wobei der Divisionsalgorithmus im Ring R eindeutigdurchführbar sein soll. Dann findet man mit dem folgenden Algorithmusdrei Elemente (u 1 , u 2 , u 3 ) ∈ R 3 mit der Eigenschaftuu 1 + vu 2 = u 3 = ggT(u, v).(i) Initialisiere die Vektoren ⃗u = (1, 0, u) und ⃗v = (0, 1, v).(ii) Sofern v 3 = 0 ist, ist der Algorithmus beendet.(iii) Berechne den Quotienten q von u 3 /v 3 , und setze⃗t := ⃗u − q⃗v⃗u := ⃗v⃗v := ⃗tEs ist klar, dass nach Schritt (iii) an der dritten Stelle im Vektor ⃗v derRest der Division von u 3 durch v 3 steht. 3Beispiele. Wir führen den Algorithmus an zwei Beispielen durch, einemfür ganze Zahlen, und einem für Polynome mit rationalen Koeffizienten.1. Man finde den grössten gemeinsamen Teiler von 40902 und 24140.Die Rechnung gemäss dem Algorithmus kann in der folgendenTabelle wiedergegeben werden:3 In der Vorlesung wurde dieser Algorithmus leicht anders formuliert, u 1 und u 2hiessen dort s und s ′ , v 1 und v 2 hiessen t und t ′ . v 3 war jeweils der Rest der Divisionu 3 durch v 3 . In der tabellarischen Darstellung war die Reihenfolge der Spalten jeweilsanders, was jedoch auf die Rechnung ohne Einfluss ist.