Mathematische Grundlagen der Kryptographie

4.3. AES 474.3.1. Multiplikation in F 2 8. Im ersten Schritt der Rundentransformationvon AES wird auf einzelnen Bytes operiert. Die Bytes werden alsPolynome über F 2 vom Grad 7 betrachtet. Eine vernünftige algebraischeStruktur erhalten wir, indem wir in F 2 [X] Reste bei Teilung durch dasPolynomm(x) = x 8 + x 4 + x 3 + x + 1betrachten, also den Ring F 2 [x]/mF 2 [x]. Da m irreduzibel (ein Primelement)ist, ist der Restklassenring ein Körper, jedes von 0 verschiedeneElement in F 28 = F 2 [x]/mF 2 [x] ist invertierbar.Die Byte-Transformation des AES bildet ein von Null verschiedenesByte auf das multiplikative Inverse in F 2 8 ab, 0 wird auf sich selbst abgebildet.Damit ist sichergestellt, dass eine Einzelbitänderung sich durchdie Bytetransformation auf alle bits des Byte, in dem sie aufgetreten ist,auswirken kann.Wir schreiben Elemente aus F 28 als hexadezimale Bytes in der Form0x21 = x 5 + 1.Man beachte, dass die Addition und die Subtraktion (die mit der Additionidentisch ist) durch einfaches und schnelles XOR realisiert werdenkönnen.4.3.2. Multiplikation in F 2 8[X]/(X 4 + 1)F 2 8. Um die Diffusion zuerhöhen, betrachtet AES jeweils 4 Bytes, die wie vorher beschrieben alsZahlen in F 28 aufgefasst werden, als Koeffizienten eines Polynomes vomGrad 3 mit Koeffizienten in F 2 8.Wiederum kann durch geeignete Restklassenbildung bezüglich einesPolynoms M(X) ∈ F 2 8[X] eine interessante algebraische Struktur erzeugtwerden. In diesem Schritt ist es jedoch nicht notwendig, soweit zugehen, dass alle nicht verschwindenden Polynome invertierbar werden.Es genügt, dass die Multiplikation mit einem festen Polynom invertierbarwird. Wie früher bei der Diskussion des erweiterten euklidischenAlgorithmus erläutert, genügt dazu, dass der Multiplikator teilerfremdzum Polynom M ist.Das bei AES verwendete Polynom M(X) = 0x01X 4 + 0x01 ist natürlichnicht irreduzibel, doch es ist relativ prim zuc(X) = 0x03X 3 + 0x01X 2 + 0x01X + 0x02.