Mathematische Grundlagen der Kryptographie

74 5. Asymmetrische VerfahrenAus der letzten Gleichung leiten wir ab:λ = 2x3 1 + y 2 1 − bx 2 1 − 2x 1y 1Der Quotient kann mit Mathematica berechnet werden, und hat genaueine Nullstelle, nämlich x 2 :x 2 = −λ + λ 2 − 2x 1 .Damit haben wir x 2 berechnet, und können also auch y 2 berechnen:y 2 = y 1 + λ(x 2 − x 1 ).Wir fassen diese Resultate in einem Satz zusammen:Satz 5.12 (Gruppenstruktur auf einer kubischen Kurve).MengeE a,b (K) = {(X, Y ) ∈ K 2 |Y 2 − XY = X 3 + aX + b} ∪ {(0, 0)}erhält eine Gruppenstruktur wie folgt:a) Die Inverse eines Elementes g = (x, y) ist g −1 = (x, −x − y).b) Das Produkt der Elemente g 1 = (x 1 , y 1 ) und g 2 = (x 2 , y 2 ) wirdwie folgt berechnet:(i) Falls x 1 ≠ x 2 ist λ = y 2−y 1x 2 −x 1x 3 = −(x 1 + x 2 ) + λ 2 + λy 3 = y 1 + λ(−2x 1 − x 2 + λ 2 + λ)Diedefiniert und das Produkt ist(ii) Falls x 1 = x 2 und y 1 ≠ y 2 ist, sind die Elemente g 1 und g 2zueinander invers, das Produkt ist e = (0, 0).(iii) Falls g 1 = g 2 verwendet man die folgende Verdoppelungsregel.Mitλ = 2x3 1 + y 2 1 − bx 2 1 − 2x 1y 1wird der Punkt g 2 = g 2 1x 2 = −λ + λ 2 − 2x 1y 2 = −x 1 − y 1 − λ(x 2 − x 1 )